第二章 光的衍射
1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第к个带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。
解：
r???r 而
rk?r0?2k2k20rk?r0?k?2
k?2
?k2?r02?r0?k?2
将上式两边平方，得
k2?2??r?r?kr0??4
2k202022?? 略去k?项，则 kkr0?
-8k?1,r?100cm,??4500?10cm带入上式，得 0 将
??0.067cm
2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样
改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm。
解：（1）根据上题结论
?k?kr0?
-5r?400cm,??5?10cm代入，得 0将
?k?400?5?10?5k?0.1414kcm
当k为奇数时，P点为极大值； k为偶数时，P点为极小值。 （2）P点最亮时，小孔的直径为
2?1?2r0??0.2828cm
3．波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm
的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。
r?1m Rhk1?0.5mm Rhk2?1mm ??500nm解：根据题意 R?1m 0
22?11?Rh(R?r0)Rh?k??????r0R?r0R??? 有光阑时，由公式
2Rhk1?0.52?11?1?1??k1???????1?6????r0R?500?10?10001000?
得
2Rhk1?122?1?k2??????500?10?6?rR?0?
1??1????410001000??
按圆孔里面套一个小圆屏幕
11?11?1ap???a1?a3??a1?a2??a2?a3?a122?22?2
没有光阑时
a0?a12
所以
4．波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？
解：（1）P点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时, 波带数为
?1.3822k????3?63?r0?r0632.8?10?10
故P点为亮点.
(2) 当P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时, P点变成
暗点,此时, P点至圆孔的距离为
2??d2?21.382r0??mm?750mm?6k?4?632.8?10
则P点移动的距离为
?r?r0?r??100cm-75cm?25cm
当P点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时, P点也变成暗点。
与此对应的P到圆孔的距离为
?21.382r0??mm?1500mm?6k?2?632.8?10
? 则P点移动的距离为
??r?r0?r0?150cm-100cm?50cm
５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r1的不透明圆盘,第二半波带是半径r1
至r2的透明圆环,第三半波带是r2至r3的不透明圆环,第四半波带是r3至r4的透明圆环,第五半波带是r4至无穷大的不透明区域,已知r1:r2：r3:r4=1:2:3:4,用波长500nm的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.
解：因为5个半波带组成的半波带片上,K1?1,r1不透光;K2?2,r1至r2透
光;
K3?3,r2至r3不透光;K4?4,r3至r4透光;K5?5,r4至无穷大不透光.
r1:r2:r3:rr?1:2:3:4 单色平行光??500nm R0??
?3f?r?10mmr?1m?1000mm0第一条最亮的像点在0的轴上,即1
2Rhr12f??r0??k?1?? (1)
?r1?r0k??103?1?500?10?6?0.5?0.707
222Ip?4a2?16I0I?A?(a?a)?4aPP24(2) 像点的光强: 所以
f?f?f?,,?(3) 光强极大值出现在轴的位置是(即357)
??f1?r?1m?103mm
?f2??f1?11?f1?1?f1??m f3??m f5??m ??335577
6. 波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带
(1,3,5,……)。另外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:I0.
解: 100个奇数半波带通光总振幅
A100??a?100a11002I?(100a)
同样焦距和口径的透镜可划分为200个半波带通光
总振幅为
A200??a1??a1?200a121992002??I?200a?4(100a)0
2I(100a)21???2I4 4?(100a)0
7. 平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.
分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.
?解：设P点离焦点的距离为y，透镜的焦距为f。缝宽为b，则位相差和光程差的关
???系式为
2????2??bsin??2??btan??2??byf?
y?故
?f???2?b
?当缝的两边到P点的位相差为2时，P点离焦点的距离为
?f?4.8?10?4?600?y??????0.18mm2?b2??0.42
?当缝的两边到P点的位相差为6时，P点离焦点的距离为
?f?4.8?10?4?600?y????????0.06mm2?b2??0.46
8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光
波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.
解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知
1??bsin???k0???2? ?
1?1???bsin???3??????2???2?2? ?? 得
??? 所以
5??428.67nm
所以该光为紫色光.
9. 波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少?
解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:
bsin??btan??b
y?k?f?
得第一、第三最小值的位置分别为
y1?f?1000???5.461?10?4?0.5461mmb1 f???1.638mmb
y3?3 由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式
bsin?k0?b
y?1???k0???f??2?
得
y10?3f?31000?????5.461?10?4?0.819mm2b21
10. 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小
值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?
解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式
sin?k??2k0?1?2b
得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为
?y?y2?y1?2f??b?f??b?f??b
?? 那么
?y?b0.02?0.885?590nm?f300
?8 如果改用??40?10cm时
?f?300?40?10?8?y???6?10?3cmb0.02
12. 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二
光谱的始端的衍射角θ之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为400nm，最长的红光波长为760nm)
解：由光栅方程 dsin??j?得
7.6?10?4sin?1???3.8?10?2d0.02
所以 ?1?2.18?
?红4.0?10?4sin?2?2?2?4.0?10?2d0.02
?紫
所以 ?2?2.29?
d?式中
1?0.02mm50
?3???所以 ????2??1?2.29??2.18??636?2?10rad
13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎
样？若重叠，则重叠范围是多少？
解：根据光栅方程
dsin??j?
得 j?1,
sin?1??红d?760nmd 800nmd
j?2，
因为
sin?2?2?紫d??2>?1 所以 一级和二级不重叠.
?红?1520nmd
而 j?2, sin?2?2d j?3,
因为
sin?3?3?紫d?1200nmd
?3
?紫d
33?紫??400?600nm22
设第3级紫光和第2级波长的光重合
2 则
?1d?3所以
?1?设第2级红光和第3级波长为?2的光重合
3 则
?2d?2?红d
2?760?506.7nm3
所以
?2??红?23综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的600~700nm与三级光谱的
400~506.7nm重叠.
14. 用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10'，求该光栅1cm内的缝数是多少？
）解: ?dsin??j?(j?0,1,2,?12
?
1sin??15?10?1???????222(条/cm）?7dj?j?1802?589?10
15. 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以30?角入射时,最多能观察到几级光谱?
解:(1) 根据光栅方程 dsin??j? 得
j?d?sin?
可见j的最大值与sin??1的情况相对应(sin?真正等于1时,光就不能到达屏上).
d? 根据已知条件
11mm?cm4004000,并取sin??1,则得
14000?4.2j?5890?10?8 (此处j只能取整数,分数无实际意义)
即能得到最大为第四级的光谱线. (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程
d(sin?sin?0)?j?(j?0,?1,?2,?),可
j?得 同样,取sin??1,得
d(sin??sin?0)?
1?(sin30??1)j?4000?6.4?85890?10
即能得到最大为第六级的光谱线.
16. 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光？其颜色如何？
1?250条毫米d解: 由题意可知 ??30? 390nm???760nm
当??760nm时,
由公式dsin??j?
j? 得
d?sin30??1?2.6250?760?10?6?2 j?dsin30??1?5.1?6250?390?10?2
当??390nm时,
? 所以 2.6?j?5.1 这里j可取3, 4, 5
当j?3时
??dsin?1??667nm?6j3?250?10?2 (为红色) dsin?1??500nm?6j4?250?10?2 (为绿色) dsin?1??400nm?6j5?250?10?2 (为紫色)
当j?4时
?? 当j?5时
??17. 用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明
部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？ 解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度
2?2?6.240?10?5?2???2?1???10.4?10rad?3b1.2?10
(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定
d0.041??3.42b0.012
式中d为光栅的光栅常数. 所以看到的级数为3.
??? (3) 谱线的半角宽度的公式为: 令 cos??1(即??0）
?Ndcos?
6.24?10?5??＝?3?1.52?10?5radNd10?0.0041
? 18. NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，(1)试证
明相邻两离子间的平均距离为
3
M?0.28192NA?nm
式中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数；（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X射线的波长.
dd,那么亮离子间的平均距离d0为。现先计算晶胞的2解: (1) 晶胞的棱边为棱边
长d,由于每个晶胞包含四个NaCl分子,那么密度ρ为
??
m4mNaCl?Vd3
这里,NaCl分子的质量由下式给出
mNaCl?MN
13所以晶胞的棱边由上面两式联立解得
?4M?d???N?????
那么相邻两离子间的平均距离
d0为
d0?
dM58.5?3?3?0.2819nm22N?2?6.02?1023?2.17时
2d0sin?0?j? 在j?2时
(2) 根据布喇格方程
??2d0sin?0?2.819sin1??0.0049nm2
19 波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm问光线
与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。 解：?
2dsin?0?j?
j?2?0.0147?10?10sin?0???0.00525?92d2?0.28?10 ?
???0.3?18' 0
光线与界面成18′的角度时，能观察到二级光谱。
20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：
sin2u?bsin??dsin?u?,v?I??I0[3?2(cos2v?cos4v?cos6v)]??u2 式中
证明：设单缝衍射的振幅为
a?,三缝衍射的总振幅为A?，则
A?x＝a?（１＋cos??+cos3??）
A?y＝a?（１＋sin??+sin3??）,
I?=A?2=A?2x+A?y=a? [（１＋cos??+cos3??）2+（１＋sin??+sin3??）2]
2a=? [3+2 (cos??+cos2??+cos3??)]
又?
22a?＝
a0sinu?bsin?u， u=?
2?dsin?????2u??dsin?? v=
?
I??a0(2sinu2sinu2)[3?2(cos2v?cos4v?cos6v)]?I0()[3?2(cos2v?cos4v?cos6v)]uu
u? 其中
?bsi?n?dsi?n,v???，得证．
21一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕。如图所示，以波长??500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一
端由1mm均匀变薄到0.5mm，试问第一辑主最大方向的改变了多少？
tanA?解：首先求玻璃片的顶角A,
1?0.5?0.02520
θ0 ?A?0.025rad?1.43?
单色平行光经劈后的偏向角为
?0?(n?1)A?0.0125rad
A 故玻片未加前的光栅方程为 dsin??j? ，
21 题图
j??1时，
sin???16?d，
??500nm,d??104nm将
代入上式，得
???arcsin(?)??17.46?d
玻片加入后的光栅方程为
d(sin?'?sin?0)???
代入数据得：sin?'?0.2875或sin?'??0.3125
??即 ?'?16.71或?'??18.21
那么，第一级最大的方向改变为 ????'????45' 22一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成53°的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。 （1） 试求入射角
?0角，在和法线成11°和
?0；
（2） 试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线？ 解：（1）如图(a)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的同侧， 根据光程差的计算，
d(sin??sin?0)?? (1)
光栅方程为
如图(b)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的两侧， 根据光程差的计算，
11 0d θ0
dsin?'?sin?0?? (2)
光栅方程为：
sin?0?1(sin?'?sin?)2 (3)
(1)- (2)，得
(a)
?????17.7??11,?'?530将代入(3)得
（2）当位于法线两侧时，满足
sin??sin?0?j?d
??d
sin53?sin17.7?一级谱线：
????d 故d?sin53?sin17.7
(4)
θ0 (b)
二级谱线：
sin??sin?0?2?d (5)
将(4)代入(5)得
sin??sin?0?2(sin?'?sin?0)?1.29?1
dsin??j??dsin?0 ，
故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。 当位于法线同侧时，满足
j?2时，sin??2?d?sin?0（6）
将(4)代入（6）得sin??0.6855?1 故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。
23 波长为600nm的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在
sin?1?0.2和sin?2?0.3处，第四级为缺级。
（1）试求光栅常量；
（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；
（3）在确定了光栅常量与缝宽之后，试列出在光屏上世纪呈现的全部级数。 解：(1)光栅方程为 dsin?1?j? dsin?2?(j?1)?
sin?2j?10.3??sin?1j0.2 ，j?2 故
d?故
j?2?600??6000nm?6?10?3mmsin?0.2
?3即光栅常量为6?10mm
b?(2) 由第四级缺级，得
d?1.5?10?3mm4
?3即光栅上缝的最小宽度为1.5?10mm
sin??sin(3)
?2 故最大的级次为 j?10
故其时最多观察到 j??9,又考虑到缺级?4,?8，所以能呈现的全部级次为
j?0,?1,?2,?3?5,?6,?7,?9