141?，?当?t?时，切线l与AD,AB都相交，正方形292144ABCD被切线l所截的左下部分是直角三角形，S(t)=()(2t)???7分
29t921112（ⅲ）当切点为F(,)时，切线l为：y??x?，切线l与BC的交点坐标为(1,)
3323612故当?t?时，切线l与AD,BC都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直
23144t?241]??2???9分 角梯形，S(t)=(?29t9t29t9t（ⅱ）当切线过点B(1,0)时，t
14?12(?9t?8t)t?(,)?439?41?4t?[,]???????10分 综上所述：S(t)??92?912?41?t?(,)?9t9t223?
(Ⅲ)解：当t?(近
149414,)，S'(t)??(t?)?0,故S(t)在(,)上递增，S(t)最大无限接3929394 ，S(t)无最大值和最小值???????????11分 9122(1?2t)124?0,(,)当t?(,)时，S'(t)?在上递减，最大无限接近，S(t)S(t)S(t)3239t239无最大值和最小值???????????12分
414,]，S(t)?成立??????13分 9294综上所述：S(t)在定义域上存在最大值，不存在最小值.????14分.
9故当t?[
高三数学(文)第11页共11页
2013年4月韶关市高三第二次模拟测试数学试题(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填在答
题卡上。用2B铅笔将答题卡上试卷类型（A）涂黑。在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”内填写座位号，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如果需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交。 参考公式：锥体体积
V?1sh s表示底面积，h表示锥体的高 3如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)
2n(ad?bc)2两个分类变量X与Y的独立性假设检验中k?，
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)其中n?a?b?c?d
K2?10.828时，有99.900的把握认为“X与Y有关系” K2?7.879时，有99.500的把握认为“X与Y有关系” K2?6.635时，有9900的把握认为“X与Y有关系” K2?2.706时，没有充分的证据显示“X与Y有关系”
第一部分 选择题 (共50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
(1?i)21. 复数（i是虚数单位）=
iA．2
B．?2
C．2i D．?2i
2．若集合M??x|x?2?0?, N?x|x2?4x?3?0，则M?N?
A．?x|?2?x?2? B．?x|x?2? C．?x|1?x?2? D．?x|1?x?3? 3．函
??f(x)?2x?2?x在定义域上是
A．偶函数 B.奇函数
高三数学(文)第1页共11页
C．既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 4．已知等差数列{an}中，a3?a7?a10A．78
?8,a11?a4?4，记Sn?a1?a2???an，则S13=
C．156
D．168
B．152
5. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等 腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个 几何体的全面积为 ．．． A．
3 22
B．2
正视图 侧视图
C.3?2D．3?3 2
?x?y?0? 俯视图
6. 已知?3x?y?0，则2x?y的最大值是
?x?y?2?0?5A、3 B、 C、0 D、?3
27.?ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A．直角三角形
?AB?AC??BC?0，则?ABC一定是
D．钝角三角形
B．等边三角形 C．锐角三角形
8．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的 仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米 （如图所示），则旗杆的高度为 A．10米 B．30米 C．103米 D．106米 9．下列说法正确的是 ( )． A． “x?1”是“x?1”的充分不必要条件
2B．“x??1”是“x?5x?6?0”的必要不充分条件．
22C．命题“?x?R，使得x?x?1?0”的否定是：“?x?R， 均有x?x?1?0”． D．命题“若???，则sin??sin?”的逆否命题为真命题．
10．已知函数
21f(x)??lnx，正实数a、b、c满足f(c)?0?f(a)?f(b)，若实数d是
x函数f(x)的一个零点，那么下列四个判断：①d?a；②d?b；③d?c；④d中可能成立的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
?c．其
第二部分 非选择题(共100分)
二.填空题（每小题5分, 共20分.）
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11. 中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线y??3x为渐近线的4双曲线方程为__________________________.
12 如图，是一程序框图，则输出结果为 k?____,s? . (说明，M?N是赋值语句，也可以写成M?N，或M:?N) 13. 以下四个命题： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
K>4 ??0.1x?10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报③在回归直线方程y?增加0.1个单位 变量y④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%以上.其中正确的序号是__________. ．．
选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分. 14. （参数方程与极坐标）已知F是曲线??x?2cos?1(??R)的焦点，点M(,0)，则
2?y?1?cos2?|MF|的值是 15. （几何证明选讲） 如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF?6,PD?23,则?DFP?__________.
D
PEO
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.(本题满分12分)
F如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，
?AOP??6，?AOQ??,???0,??．
Y QPXOA（Ⅰ）若Q(34??,)，求cos?????的值； 556??????????（Ⅱ）设函数f????OP?OQ，求f???的值域．
17.(本题满分12分)
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
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（Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：
92?82?102?22?62?102?92?466，
甲 5 7 4 3 2 4 2
乙 1 2 3 1 2 3 7 3 1 0 72?42?62?32?12?22?112?236）
18.(本题满分14分)
如图，在等腰梯形PDCB中，PB?3,DC?1,PD?
BC?2, A为PB边上一点，且
PA?1,将?沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)若M是侧棱PB中点，截面AMC把几何体分成的两部分,求这两部分的体积之比.
P
ABP
M
BA CD
DC
19. (本题满分14分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%. （Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？
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20．(本题满分14分) 如图，已知圆C：x2?y2率e??2与x轴交于A1、 A2两点，椭圆E以线段A1A2为长轴，离心
2． 2（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x??2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．
YQ
P XA2 A1FO
21. (本题满分14分)
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1). (Ⅰ)已知函数
f(x)?212(其中x?(,)),过f(x)图象是任意一点R的切线l将正方形9x33ABCD截成两部分,设R点的横坐标为t,S(t)表示正方形ABCD被切线l所截的左下部分
的面积,求S(t)的解析式；
(Ⅱ) 试问S(t)在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S(t)的最大值和最小值；若不存在，请说明理由.
Y
D 1 A
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CB1X
2013年4月韶关市高三第二次模拟测试数学试题(文科)答案
一、选择题答案 BCBCD ABBDB
x2y22??1 ， 12.5,（2分，3分） ， 13.②○二、填空题 11. 3④ ，
516914.
2?， 15.30 2三、解答题
16.(本题满分12分)
如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，
?AOP??6，?AOQ??,???0,??．
Y QPXOA（Ⅰ）若Q(34??,)，求cos?????的值； 556??????????（Ⅱ）设函数f????OP?OQ，求f???的值域．
解：（Ⅰ）由已知可得cos? ?cos???34?,sin??????????????255分 ?????sin????????????3分 ??cos?cos?sin6?66??3341????5252????????????4分
33?4?10????????????（Ⅱ）f????OP?OQ ??cos,sin???66??
????????6分 ?cos?,?sin?31co?s?sin?????????????7分 22
???????????????8分 ?sin????3????4?[,)????????????9分 ???[0,?) ????333
?3????sin?????1????????????11分 23?? 高三数学(文)第6页共11页
?3??f???的值域是???2,1?????????????12分
??注：若结果写成闭区间或开区间扣1分
17. (本题满分12分)
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
（Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：
92?82?102?22?62?102?92?466，
甲 5 7 4 3 2 4 2 乙 1 2 3 1 2 3 7 3 1 0 72?42?62?32?12?22?112?236）
解：（Ⅰ）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23???????2分
14?17?15?24?22?23?32?21???????3分
712?13?11?23?27?31?30?21???????4分 x乙?7（Ⅱ）?x甲?
222222221-14?21-17?21-15?21-24?21-22?21-23?21-32??????????????236S2??甲77
???????????????????????????????5分
222222221-12?21-13?21-11?21-23?21-27?21-31?21-30??????????????466S2??乙77???????????????????????????????????6分
22?S甲?S乙，从而甲运动员的成绩更稳定????????????7分
（Ⅲ）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49?????8分
其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场
甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场 ?????10分
从而甲的得分大于乙的得分的概率为P?26????????????12分 49 高三数学(文)第7页共11页
18. (本题满分14分)
如图，在等腰梯形PDCB中，PB?3,DC?1,PD?BC?2, A为PB边上一点，且
PA?1,将?沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)若M是侧棱PB中点，求截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比.
P
ABP
A CD
D
:(Ⅰ)证明：依题意知PA?1,MBCPD?2?AD?AB，
又CD∥AB?CD?AD????????3分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD，由面面垂直的性质定理知， CD?平面PAD……………………………………. ………………………………6分 (Ⅱ) 解：设N是AB的中点，连结MN,依题意，PA?AD,PA?AB,所以，
PA?面ABCD,因为MN∥PA，所以MN?面ABCD.????????????8分
11111VMABC?MN?S?ABC????2?2?????????????10分
3322611CD?AB11?21VPABCD?PA?SABCD?PA?AD??1??1?????11分
332322111所以，VPADCM?VPADCB?VMACB??? ?????12分
263
VPADCM:VMACB?两部分体积比为2:1????????????14分
19.(本题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%. （Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？ （Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为800万元，公比为组织首项为400万元，公比为
4的等比数列，每年旅游业收入55的等比数列。????????????2分 44n?15n?1所以，an?800?(),bn?400()????????????4分
54
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4800(1?()n)5?4000(1?(4)n)???5分 （Ⅱ）解，经过n年，总收投入sn?451?55400(1?()n)4?1600((5)n?1)?????6分 经过n年，总收入Tn?541?45n4n 设经过n年，总收入超过总投入，由此，Tn?Sn?0,1600(()?1)?4000(1?())?0
454n5n 化简得 5?()?2?()?7?0????????????8分
544n2设x?()代入上式整理得，5x?7x?2?0
52解得，x?,或x?1（舍去）????????????10分
54n24n2562410242????12分 ?，n?5，()n＝由()?，n?4时，()?55625531255554x因为 y?()在定义域上是减函数，所以 n?5????????13分
5答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。????????????14分
20.(本题满分14分) 如图，已知圆C：x2?y2率e??2与x轴交于A1、 A2两点，椭圆E以线段A1A2为长轴，离心
2． 2（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x??2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明． 18. 解：（Ⅰ）因为a?2,e?2,所以c=1……………2分 2QYx2?y2?1……………………4分 则b=1,即椭圆E的标准方程为2（Ⅱ）当点P在圆C上运动时,直线PQ与圆C保持相切……6分 A1FOPXA2证明:设P(x0,y0)（x022?2?x0,所以??2）,则y0kPF?y0x?1,kOQ??0, x0?1y0x0?1x y0
……………9分
所以直线OQ的方程为y?? 高三数学(文)第9页共11页
所以点Q（－2,
2x0?2） y0 ………………11分
y0?所以kPQ?2x0?2y0y02?(2x0?2)?x02?2x0x????0,………………13分
x0?2(x0?2)y0(x0?2)y0y0又kOP?y0,所以kOP?kPQ??1,即OP?PQ,故直线PQ始终与圆C相切……14分 x021.(本题满分14分)
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1). (Ⅰ)已知函数
f(x)?212,(其中x?(,)),过f(x)图象是任意一点R的切线l将正方9x33形ABCD截成两部分,设R点的横坐标为t,S(t)表示正方形ABCD被切线l所截的左下部分的面积,求S(t)的解析式；
(Ⅱ) 试问S(t)在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S(t)的最大值和最小值；若不存在，请说明理由.
Y
D 1 A 解：设R(t,CB1X121221，f(x)图象上的两端点为E(,),F(,) f(t))（其中t?(,)）333333224又f'(t)??2,过点R(t,f(t))的切线l的方程为：y??2x?????2分
9t9t9t1214（ⅰ）当切点为E(,)时，t?，切线l为：y??2x?，
333314切线l与CD的交点坐标为(,1).当切线过点D(0,1)时，t??????4分
6914故当?t?时，切线l与CD相交，此时正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯
391(4?9t)t1?2t]?(?9t2?8t)????6分 形，S(t)=[224 高三数学(文)第10页共11页
141?，?当?t?时，切线l与AD,AB都相交，正方形292144ABCD被切线l所截的左下部分是直角三角形，S(t)=()(2t)???7分
29t921112（ⅲ）当切点为F(,)时，切线l为：y??x?，切线l与BC的交点坐标为(1,)
3323612故当?t?时，切线l与AD,BC都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直
23144t?241]??2???9分 角梯形，S(t)=(?29t9t29t9t（ⅱ）当切线过点B(1,0)时，t
14?12(?9t?8t)t?(,)?439?41?4t?[,]???????10分 综上所述：S(t)??92?912?41?t?(,)?9t9t223?
(Ⅲ)解：当t?(近
149414,)，S'(t)??(t?)?0,故S(t)在(,)上递增，S(t)最大无限接3929394 ，S(t)无最大值和最小值???????????11分 9122(1?2t)124?0,(,)当t?(,)时，S'(t)?在上递减，最大无限接近，S(t)S(t)S(t)3239t239无最大值和最小值???????????12分
414,]，S(t)?成立??????13分 9294综上所述：S(t)在定义域上存在最大值，不存在最小值.????14分.
9故当t?[
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