第1章 微积分研究的对象----函数
习题1－1
2. (5) y?5-x?lg(x?1) 9．证明函数y?证明
x在(??,??)上是有界的． x2?12xx1，对一切|??222x?121?x因为(1?x)2?0,所以1?x2?2x, 故f(x)?|x?(??,??)都成立．所以函数在(??,??)上是有界函数．
10．证明函数y?1在(0,1)上是无界的． x2证明 对于无论怎样大的M?0,总可在(0,1)内找到相应的x.例如取x0?使得f(x0)?1?2x0(11M?1?M?1?M，所以f(x)?)21?(0,1) M?11在(0,1)上是无界函数． 2x13．求下列函数的反函数：
（1）y?解（1）由y?
1?x； 1?x1?x1?x1?y，解得x?，故反函数为y?． 1?x1?x1?y习题1-2
1．下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
(1) y?3arcsinax； （2）y?sin3lnx； （3）y=atanx； （4）y?ln[ln2(ln3x)] 解 (1)令u?arcsina,则y?3u,再令v?a,则u?arcsinv,因此y?3arcsinax是由基本初等函数y?3u,u?arcsinv,v?ax复合而成的．
(2)令u?sinlnx,则y?u3,再令v?lnx,则u?sinv．因此y?sin3lnx是由基本初等函数y?u,u?sinv,v?lnx复合而成．
22u(3)令u?tanx,则y?a,再令v?x,则u?tanv,因此y?atanx是由基本初等函数
22xx3y?au,u?tanv,v?x2复合而成．
233(4)令u?ln(lnx),则y?lnu,再令v?ln(lnx)则u?v,再令w?lnx,则v?lnw,
23
3再令t?lnx,则w?t,因此y?ln[ln2(ln3x)]是由基本初等函数y?lnu,u?v2,v?lnw,
w?t3,t?lnx复合而成．
习题1－4
2．是非题，若非，请举例说明．
（1）设在常数a的无论怎样小的?邻域内存在着{xn}的无穷多点，则?xn?的极限为（ ） a．
（2） 若limx2n?a,limx2n?1?a，则limxn?a．（ ）
n??n??n??（3）设xn?0.11?1（n个），则limxn?n??n??n??1．（ ） 9（4）若limxn存在，而limyn不存在．则lim(xn?yn)不存在．（ ）
n??（5）若limxn存在，而limyn不存在．则lim(xnyn)不存在．（ ）
n??n??n??（6）若limun,limvn都存在，且满足un?vn(n?1,2,?),则limun?limvn．（ ）
n??n??n??n??(?1)nn3,a?． 解（1）（错）例如 xn?1?2n?12（2）（对）．
（3）（对）． （4）（对）．
111,yn?sinn,lim?0,limsinn不存在，但limsinn?0存在
n??nn??n??nn1111,vn?,un?vn(n?1,2,?),但lim2?lim?0 （6）（错）例如 un?2n??n?1n??nn?1n（5）（错）例如 xn?4．如果limxn?a，证明limxn?a．举例说明反之未必成立．
n??n??证明 因为limxn?a, 所以任给 ??0,存在N?0, 当n?N时， 有xn?a??，又
n??xn?a?xn?a??(n?N)时，所以limxn?a.
n??例如，数列1,?1,1,?1?， lim(?1)n??n?1?1，但lim(?1)n?1不存在．
n??111?2???n有极限． 2?12?12?1111111?2???n??2???n? 证明 数列{xn}显然单调增加，且xn?2?12?12?12228．证明数列xn?
11[1?()n]22?1 ．所以{x}单调增加有上界，故有极限．
n11?29．设x1?2,xn?1?2?xn(n?1,2,?)，证明数列xn有极限，并求出该极限． 证明 以下证明 ①?xn?有上界；②?xn?单增
①（用归纳法证） 当n?1时，x1?2?2，假定n?k时，xk?2，则当n?k?1时，xk?1?2?xn?2，
所以xn?2(n?1,2,?)
②?xn?单调增加 事实上xn?1?xn?2?xn?xn?22?xn?xn2?xn?xnn?????xn?2??xn?1?由于x2?xn?xnn?2，所以
xn?1?xn?0，由①②，据极限存在准则Ⅱ知limxn存在．
设极限为a，则a?2?a,解得a1?2,a2??1（舍去）所以limxn?2．
n??习题1－5
2．用极限定义证明： （1）limx?11?; （2）lim(2x?1)?1；
x??2x?1x?12证明（1）对任意??0要使
x?11322??????， 2x?1222x?12x?12x?1取M?12x?11x?112(?1), 只要x?M时，就有?． ????,所以limx??2x?12?22x?122x?1 （2）对任意??0要使(2x?1)?1?2x?1?? 取???2，只要当x-1??时，就有
(2x?1)?1?2x?1??，所以lim(2x?1)?1．
x?13．设y?2x?1，问?等于多少时，有：当x?4??时，y?7?0.1? 解 欲使y?7?0.1，即 y?7?(2x?1)?7?2x?8?2x?4?0.1 从而 x?4?
0.1?0.05, 即当??0.05时，有：当x?4??时，y?7?0.1（如下图）． 2
5．验证lim
x?0
x
证明 limxxx不存在．
x??0?limx?xx?lim(?1)??1; lim?lim?lim1?1.左右极限存在但不相
x??0xx??0xx??0x??0xx??0等．所以limf(x)不存在．
x?0
习题1- 6
１．选择题
x2?2x?sinx （1）lim（ ）
x??2x2?sinx （Ａ）不存在 （Ｂ）0 （Ｃ）2 （Ｄ）
1x1 2（2）设f(x)?e?12e?1x，则limf(x)（ ）
x?0?1 （Ａ）? （Ｂ）不存在 （Ｃ）0 （Ｄ）
1 2?x3,x?1,??x,x?1, （3）设f(x)?? g(x)?? 则limf?g(x)?（ ）
x?1?2x?1,x?1.?3?x,x?1; （A）?1 (B) 1 (C) 4 (D) 不存在
(1?a)x4?bx3?2??2, 则 a,b的值分别为 （ ） （4）lim32x??x?x?1 （A） a??3,b?0 (B) a?0,b??2 (C) a??1,b?0 (D) a??1,b??2 （5）设0?a?b,则lima?b?（
n??nnn ）
（A）1 （B）0 （C）a （D）b
解 （１）D；（２）B；（3）D；（4）D；（5）D． 2．求下列各式的极限：
x3x2(3x?1)70(8x?1)30?)； （1）lim； （2）lim(2100x??2x?1x??2x?1(5x?2)（3）limxx?x?x2x???(x?h)2?x2； （4）lim；
h?0h2x2?x?1（5）limx(x?1?x)； （6）lim；
x?1x???x?1
（7）lim(t?112111?)lim(1?????)； ； (8)
n??1?t1?t2242n（9） lim x?1x?1； x?1x2?1（11） lim2；
x?1x?2x?3解 （1）lim(3x?1)(8x?1)x??(5x?2)100703011(3?)70(8?)30370830xx?lim?100.
x??21005(5?)xx3x2x2(x?1)1?)?lim?. （2）lim(22x??2x?1x??2x?1?2x?1?(2x?1)4（3）limxx?x?xx????lim11?11?xxxx????1.
(x?h)2?x2?lim(2x?h)?2x． （4）limh?0h?0h（5）limx(x?1?x)?limx???2x???1?.
x2?1?x2x2x2?x?1(x?1)(2x?1)?lim?3. （6）limx?1x?1x?1x?1（7）lim(t?112t?11?)?lim??.
t?11?t21?t1?t221112n?1?2． ????n)?limn??12421?21?1（8）lim(1?n??(9) lim x?1x?1(x?1)(x?1)11?lim ?lim ?． x?1x?1x?1(x?1)(x?1)x?120（11）x?1时，分子和分母的极限都是零(型).先约去不为零的无穷小因子x?1后再
0(x?1)(x?1)x2?1x?11?lim求极限． lim2?lim?.（消去零因子法） x?1(x?3)(x?1)x?1x?2x?3x?1x?32x3?ax2?x?4?m ， 试求a及m的值． 3．设limx??1x?1
解 因为lim?x?1??0，所以 limx?ax?x?4??1?a?1?4?0,a?4
32x??1x??1???x?1??x2?5x?4?x3?4x2?x?4 lim?lim?10,m?10． x??1x??1x?1x?1??x?3,x?35．已知f(x)??，且limf(x)存在，求a．
x?3x?3??x?a,f(x)?lim(x?a)?3?a，limf(x)?limx?3?0，因为limf(x)存在，所以解 lim????x?3x?3x?3x?3x?33?a?0，从而a??3．
习题1－7
１．计算下列极限： （2）lim （5）limtan3x； （3）limxcotx；
x?0tan5xx?0cosx?cos3xsinx?sina； （8）lim． 2x?0x?ax?axtan3xtan3x33解（2）lim?lim3x??．
x?0tan5xx?0tan5x555x（3）limxcotx?limx?0x?1．
x?0tanx2cosx?ax?asin22?cosa． x?a（5）limsinx?sina?limx?ax?ax?acosx?cos3x2sin2xsinx4sin2xsinx?4. ?lim?lim?22x?0x?0x?02xxxx2．计算下列极限：
（8）limx2x?3x?112)； （1）limln(1?2x)； （2）lim(1?)； （4）lim(x?0x??2x?1x??x1x1x12x21x解 （1）limln(1?2x)?lnlim(1?2x)?ln[lim(1?2x)]?2．
x?0x?0x?0x1121x?12（2）lim(1?)?lim(1?)?e2?e．
x??x??xx2x33??13(1?)322x?3x?1e22x)?lim?1?e． （4）lim(x??2x?1x???112x?1(1?)2e22x4．求下列极限：
1x2x)； （1）limxsin；（5）lim(2x??x??x?1x解（1）limxsinx??1?limxx??1xsin1x?1.
????2?1??1?xxxxxx)?lim()()?lim?（5）lim(2??lim???1. x??x?1x??x?1x??x??11x?1?1???1?????x??x???xx习题1－8
2．判断下列命题是否正确：
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
(6) y?xsinx在(??,??)内无界，但limxsinx??；
x??? (7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量．
解 （1）错误，例如，第1题例1； （2）正确．
cotx为无穷大量，sinx是有界函数，cotx?sinx?cosx（3）错误，例如，当x?0时，
不是无穷大量； （4）正确．
（5）错误，例如，当x?0时，是无穷大量；
（6）正确，因为?M?0，?正整数k，使2kπ+1111与?都是无穷大量，但它们之和?(?)?0不xxxxππ?M，从而f(2kπ+) 22πππ?(2kπ+)sin(2kπ+)?2kπ+?M，nix在(??,??)内无界，即y?xs又?M?0，
222无论X多么大，总存在正整数k，使kπ>X，使f(2kπ)?kπsin(kπ)?0?M，即x???
时，xsinx不无限增大，即limxsinx??；
x???（7）正确．
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量．零是无穷小量，但其倒数无意义． 4．根据定义证明：当x?0时，y?xsin证明 ???0,要使 x2sin21为无穷小． x11?0?|x2|sin?x2??,只须|x|??,取???,则当xx11?0??, 所以 limx2sin?0.
x?0xx0?|x?0|??时，恒有x2sin5．求limsinx.
x??x解 因为 limsinx11?lim?sinx， 而当x??时, 是无穷小量, sinx是有界量
x??x??xxxsinx?0. (|sinx|?1), 所以 limx??x（1） 当x?1时，
7．比较下列各组无穷小：
1?x与1?x； 1?x2（2） 当x?0时，(1?cosx)2与sinx； （3） 当x?1时，1?x与1?3x．
1?x(1?x)(1?x)1?x?1所以x?1时～1?x. 解（1）因为 lim1?x?limx?11?x?11?xx(1?x)(1?x)1(x2)2(1?cosx) （2）因为 lim?lim22?0. 故(1?cosx)2为比sin2x高阶的无穷小； 2x?0x?0sinxx21?x(1?x)(1?3x?3x2)323?lim?lim(1?x?x)?3.所以，无 （3）因为 lim32x?11?3xx?1x?133(1?x)(1?x?x)穷小1?x是1?3x的同阶无穷小． 8．利用等价无穷小代换，求下列各极限：
11e2x?1?)； （4）lim(（5）lim；
x?0sinxx?0ln(x?1)tanx解
x211tanx?sinx（4）lim(?)?lim?lim2?0；
x?0sinxx?0xtanxx?0sinxtanxe2x?12x（5）lim?lim?2；
x?0ln(x?1)x?0x习题1－9
?ln(1?2x),x?0,?6．设f(x)??求k值使得f(x)在点x?0处连续． x?x?0,?k,解 因为 limf(x)?limx?0ln(1?2x)2x?lim?2.所以当k?f(0)?limf(x)?2时，f(x)x?0x?0x?0xx在点x?0处连续． 7．a取何值时，f(x)???cosx,x?0, 在x?0处连续．
?a?x,x?0,x?0f(x)?lim解 因为 f(0)?a, limcosx?1,limf(x)?lim(a?x)?a.要使????x?0x?0x?0x?0?limf(x)?limf(x)?f(0), 必须a?1. 故当且仅当a?1时，函数f(x)在x?0处连续． ?x?0?x?2,x?0,8．讨论f(x)?? 在x?0处的连续性．
x?2,x?0,?f(x)?lim(x?2)?2?f(0),limf(x)?lim(x?2)??2?f(0), 解 因为lim????x?0x?0x?0x?0右连续，但不左连续，故函数f(x)在点x?0处不连续．
9．指出下列函数的间断点及其所属类型，若是可去间断点，试补充或修改定义，使函数在该点
连续．
x2?xx2?1（1）y?； （3）y?2； 2x?3x?2x(x?1)x2?xx2?x解 （1）函数无定义的点为x?0,x??1,因为 lim?1,lim??1 22x?0?x(x?1)x?0?x(x?1)所以 x?0为第一类间断点．
1x2?x1 x?1y(1)?又因为 lim，所以为可去间断点，补充定义，则函数在?x?1x(x2?1)22x?1处连续，
x2?x而lim??，故x??1为第二类间断点 x??1x(x2?1)x2?1??2,（3）因为lim2x?1x?3x?2续；
x?1为可去间断点，补充y(1)??2，则函数在x?1处连
x2?1??，所以x?2为无穷间断点． 又lim2x?2x?3x?214．证明方程x3?2x?6至少有一个根介于1和3之间．
证明 设f(x)?x2?2x?6，则f(x)在[1,3]上连续，且f(1)??3?0,f(3)?9?0， 由零点定理，在(1,3)内至少有一点?，使f(?)?0．即方程x?2x?6在(1,3)内至少有一根．
19．若f(x)在[a,b]上连续，a?x1?x2???xn?b，则在[x1,xn]上必有?，使
2f(?)?f(x1)?f(x2)???f(xn)．
n证明 因为f(x)在[x1,xn]?[a,b]上连续，所以f(x)在[x1,xn]上有最大值M和最小值m，
f(x1)?f(x2)???f(xn)?M，由介值定理，
nf(x1)?f(x2)???f(xn)至少存在一点?，使f(?)?
n则m?f(xi)?M(i?1,2,?,n)， 从而m?复习题1解答
1．是非题
（1）无界数列必定发散； ( ) （2）分段函数必存在间断点； ( ) （3）初等函数在其定义域内必连续； ( ) （4）若f(x)在x0连续，则必有limf(x)?f(limx)； ( )
x?x0x?x0（5）若对任意给定的??0，存在自然数N，当n?N时，总有无穷多个un满足
un?A??，则数列?un?必以A为极限． ( )
解 （1）√；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×． 2．填空题
（1） limn???n?2?n?n?1? _________________；
f?x???ln?1??f?x?sin2x??lim? _________________； （2）已知lim，则?52xx?0x?0x3?1（3）limx?ex?0?12xsinx?? _________________，
?e2x?1,x?0?（4）函数f?x???x在???,???上连续则a? ____________；
?acosx?x2,x?0?
x2?ax?b?3，则a? _________________，b? _________________；（5）已知lim
x?1x?1解（1） 1； （2） 10ln3； （3） e； （4） 2； （5）1,?2． 3．选择题
（1）设f?x?在R上有定义，函数f?x?在点x0左、右极限都存在且相等是函数f?x?在3点x0连续的( )
（Ａ）充分条件 （Ｂ）充分且必要条件 （Ｃ）必要条件 （Ｄ）非充分也非必要条件
x????x2（2）若函数f??a,x?1cos?x,x?1在R上连续，则a的值为( ? （Ａ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）-1 （Ｄ）-2 （3）若函数f?x?在某点x0极限存在，则( ) （Ａ） f?x?在x0的函数值必存在且等于极限值； （Ｂ）f?x?在x0函数值必存在，但不一定等于极限值； （Ｃ）f?x?在x0的函数值可以不存在； （Ｄ）如果f?x0?存在的话，必等于极限值． （4）lim1x??xsinx?( ) （Ａ）? （Ｂ）不存在 （Ｃ）1 （Ｄ）0
2x（5）lim?x????1?1?x???( )
（Ａ）e?2 （Ｂ）? （Ｃ）0 （Ｄ）
12 解（1）C； （2）D；（3） C； （4）C； （5）A ．
7．已知函数f(x)???x2?1,x?0x?b,x?0 在点x?0处连续，求b的值．
?2解 limx?0?f(x)?xlim?0?(x2?1)?1,xl?i0m?f(x)?xl?i0m?(2x?b)??b, 因为f(x)点x?0处连续，则xlim?0?f(x)?limf(x),即b??1. x?0?)
14．验证方程x?2x?1至少有一个小于1的根．
证明 设f?x??x2x?1，易知f?x?在?0,1?上连续，且f?0???1?0，f?1??1?0，故
????1,2?，使f????0．