2016年湖南省常德市高三理科一模数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 设全集 ??= ??∈?? ??≥1 ，集合 ??= ??∈?? ??2≥3 ,?????= ??
A. ? 位于 ??
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
均为单位向量，它们的夹角为 2π，则 ?? = ?? 3. 已知向量 ?? ，?? +??3
A. 1 A. 0.6
B. 2 B. 0.4
C. 3 C. 0.3
D. 2 D. 0.2
4. 已知随机变量 ??～?? 1,??2 ，若 ?? 0
33π??,??≥05. 已知函数 ?? ?? = ，则 ?? ?? ?2 = ??
sin??,??<0
A. ?sin1 B. sin1 C. ?1
B. 1 C. 1,2 D. 1,2,3
2. 设 i 是虚数单位，?? 表示复数 ?? 的共轭复数．若 ??=1?2i，则复数 ??+i??? 在复平面内对应的点
D. 1
6. 如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“?? MOD ??”表示 ?? 除以 ?? 的余数），若输入的 ??，?? 分别为 495，135，则输出的 ??= ??
A. 0
B. 5
C. 45
D. 90
7. 已知 3 件次品和 2 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为 ?? A.
61
B. 10
3
C.
5
3
D.
6
5
8. 已知圆 ??：??2+??2?2???4??+1=0 上存在两点关于直 ??：??+????+1=0 对称，经过点 ?? ??,?? 作圆的两条切线，切点分别为 ??，??，则 ???? = ??
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A. 3
π
B. 2 3 π
π
π
C. 13 D.
12 1313
9. 函数 ??= sin 4??? ?sin4 ? cos 4+?? +cos4 是 ??
A. 最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 2 的奇函数
π
B. 最小正周期为 π 的偶函数 D. 最小正周期为 2 的偶函数
π
2??+???5≤0,
的解集记为 ??，??=??+1，有下面四个命题： 10. 不等式组 3?????≥0, ??+1
???2??≤0
??1：? ??,?? ∈??，??≥1； ??2：? ??,?? ∈??，??≥1； ??3：? ??,?? ∈??，??≤2； ??4：? ??,?? ∈??，??<0． 其中的真命题是 ?? A. ??1，??2
B. ??1，??3
C. ??1，??4
D. ??2，??3
11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 ??
A. 2
3π
B. 3π
C. 6π
D. 24π
12. 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 ??∈ 0,1 ，总存在唯一的 ??∈ ?1,1 ，使得 ??+??2e???
??=0 成立，则实数 ?? 的取值范围是 ?? A. 1,e
B. 1+e,e
1
C. 1,e
D. 1+e,e
1
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知定义在 ?? 上的函数 ?? ?? 满足 ?? ??+2 ??? ?? =0，当 ??∈ 0,2 时，?? ?? =2??，则
?? 2016 = ．
14. 已知 1??? 6=??0+??1??+??2??2+?+??6??6，则 ??0 + ??1 +?+ ??6 = ．
15. 已知双曲线 ??2???2=1 ??>0,??>0 的左顶点为 ??，右焦点为 ??，过 ?? 的直线 ?? 与双曲线交于
+???? ????? =2???? ，???? =0，则该双曲线的离心率是 ． ??，?? 两点，且满足：????
16. 四边形 ???????? 中，????=7，????=6，cos∠??????=14，????=6sin∠??????，则 ???? 的最大值
为 ．
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11
??2
??2
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且满足 3?????4????+2=0．
（1）求数列 ???? 的通项公式；
（2）令 ????=log2????，???? 为 ???? 的前 ?? 项和，求证： ????=1
1????
<2．
18. 某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了 100 名中学生进行调查．如图是根据
调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：
已知 350,450 ， 450,550 ， 550,650 三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于 550 元的学生称为“高消费群”．
（1）求 ??，?? 的值，并求这 100 名学生月消费金额的样本平均数 ??（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在 350,450 ， 550,650 内的两组学生中抽取 10
人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量 ??，求 ?? 的分布列及数学期望．
19. 如图所示的几何体中，?????????1??1??1 为三棱柱，且 ????1⊥平面??????，四边形 ???????? 为平行四边
形，????=2????，∠??????=60°．
（1）若 ????1=????，求证：????1⊥平面??1??1????．
（2）若 ????=2，????1=??????，二面角 ?????1?????1 余弦值为 ，求三棱锥 ??1???1???? 的体积．
24
20. 已知椭圆 ??1:??2+??2=1 ??>??>0 的离心率为 3，焦距为 4 2，抛物线 ??2:??2=2???? ??>0
的焦点 ?? 是椭圆 ??1 的顶点． （1）求 ??1 与 ??2 的标准方程；
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??2??2
6
=0，且直线 ???? 与 ??2 相切，求 △?????? 的面积． ? （2）??1 上不同于 ?? 的两点 ??，?? 满足 ????????21. 已知函数 ?? ?? =ln??，曲线 ??=?? ?? 在点 e2,?? e2 处的切线与直线 2??+??=0 垂直（其中 e
为自然对数的底数）．
（1）求 ?? ?? 的解析式及单调减区间；
????2
????
（2）若函数 ?? ?? =?? ?? ????1 无零点，求 ?? 的取值范围．
22. 如图，已知 ????=????，圆 ?? 是 △?????? 的外接圆，????⊥????，???? 是圆 ?? 的直径．过点 ?? 作圆 ??
的切线交 ???? 的延长线于点 ??．
（1）求证：?????????=?????????；
（2）若 ????= 2，????=2 2，求 △?????? 的面积．
??=2cos??,23. 已知曲线 ?? 的参数方程是 （?? 为参数），以坐标原点为极点，?? 轴的正半轴为极轴
??=sin??
建立极坐标系，??，?? 的极坐标分别为 ?? 2,π ，?? 2,（1）求直线 ???? 的直角坐标方程；
4π3
．
（2）设 ?? 为曲线 ?? 上的动点，求点 ?? 到直线 ???? 距离的最大值． 24. 已知函数 ?? ?? = 2??+1 ? ???1 ．
（1）求不等式 ?? ?? <2 的解集； （2）若关于 ?? 的不等式 ?? ?? ≤???
??22
有解，求 ?? 的取值范围．
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答案
第一部分 1. B 2. C 3. A
【解析】全集 ??= ??∈?? ??≥1 ，集合 ??= ??∈?? ??2≥3 ，则 ?????= 1 ． 【解析】??=1?2i，则复数 ??+i???=1?2i+i 1+2i =?1?i，复数对应点的坐标 =1， ?? =2π， 【解析】根据题意， ?? = ?? ,??3
?1,?1 在第三象限．
2=?? +?? 2=1+2?1?1?cos2π+1=1， 所以 ?? +?? 2+2?? ???3 =1． 所以 ?? +??4. C
【解析】随机变量 ?? 服从正态分布 ?? 1,??2 ，所以曲线关于 ??=1 对称，
1
1
所以 ?? ??≤0 =2 1??? 0
??3,??≥0【解析】因为函数 ?? ?? = ，
sin??,??<0所以 ?? ?6. C
3π
=sin ?2
3π
=?sin2
3π2
=1，?? ?? ?
3π2
=?? 1 =1．
【解析】第一次执行循环体，??=90，??=135，??=90，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体，??=45，??=90，??=45，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体，??=0，??=45，??=0，满足退出循环的条件， 故输出的 ?? 值为 45． 7. B
【解析】因为 3 件次品和 2 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产
3
2
3
品，检测后不放回，所以第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：??=5×4=10． 8. D 【解析】因为圆 ?? ： ??2+??2?2???4??+1=0 上存在两点关于直线 ?? ： ??+????+1=0 对称， 所以直线 ?? ： ??+????+1=0 过圆心 ?? 1,2 ， 所以 1+2??+1=0．解得 ??=?1．
圆 ?? ： ??2+??2?2???4??+1=0 的圆心 1,2 ，半径 ??= 4+16?4=2．
2当过点 ?? ?1,?1 的切线的斜率不存在时，切线方程为 ??=?1， 圆心 ?? 1,2 到 ??=?1 的距离为 2，成立，
把 ??=?1 代入圆 ?? ： ??2+??2?2???4??+1=0，得 ??=2，所以 ?? ?1,2 ， 当过点 ?? ?1,?1 的切线的斜率存在时，设切线方程为 ??=?? ??+1 ?1， 圆心 ?? 1,2 到切线 ??=?? ??+1 ?1 的距离 ??=解得 ??=12，
所以切线方程为 ??=12 ??+1 ?1，即 5???12???7=0，
5???12???7=0, 得 169??2?598??+529=0，解得 ??=23，??=2， 联立 2
1313??+??2?2???4??+1=0所以 ?? 13,13 ，
所以 ｜????｜= 13+1 + 13?2 =
23
22
212 1313
23
2
5
5
???2+???1 ??2+11
=
2???3 ??2+1=2，
．
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??
9. A
【解析】
= 2 cos???sin?? ?
1
2=2 cos???sin?? 2?2=?sin2??,
212π2
2 21
? 2 cos???sin?? +
2 2 2
所以函数 ?? 的周期 ??=
12
=π．
因为 ??=sin?? 是奇函数， 所以 ??=?sin2?? 为奇函数． 10. D
2??+???5≤0,
的可行域如图： 【解析】不等式组 3?????≥0,
???2??≤0
??=
??+1??+1
的几何意义是可行域内的点与 ?1,?1 连线的斜率，
可知 ?1,?1 与 ?? 连线的斜率最小，与 ?? 连线的斜率最大． ???2??=0,可得 ?? 2,1 ． 2??+???5=0,
最小值为：2+1=3，??≥3，
2??+??=5,由 解得 ??=1，??=3，?? 1,3 ．
3?????=0最大值为：
3+11+11+1
2
2
=2，??≤2．
可得选项 ??2，??3 正确．
11. C 【解析】根据三视图知几何体是：
三棱锥 ????????? 为长方体一部分，直观图如图所示：
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且长方体的长、宽、高分别是 1，1，2， 所以三棱锥 ????????? 的外接球与长方体的相同， 设该几何体外接球的半径是 ??，
由长方体的性质可得，2??= 12+12+22= 6， 解得 ??=
6， 2
所以该几何体外接球的表面积 ??=4π??2=6π． 12. B 【解析】方程 ??+??2e?????=0， 即 ??2e??=?????． 构造函数 ?? ?? =??2e??，
则 ??? ?? = ??2+2?? e??，在 ?1,0 上 ??? ?? <0，在 0,1 上，??? ?? >0，
故 ?? ?? 在 ?1,0 上单调递减，在 0,1 上单调递增，且 ?? ?1 =e，?? 0 =0，?? 1 =e． 函数 ?? ?? =????? 在 0,1 上的值域为 ???1,?? ．
若对任意的 ??∈ 0,1 ，总存在唯一的 ??∈ ?1,1 ，使得 ??+??2e?????=0 成立，等价于 ???1,?? ? e,e ，
故 ???1>e 且 ??≤e， 即 1+e
【解析】因为定义在 ?? 上的函数 ?? ?? 满足 ?? ??+2 ??? ?? =0， 所以 ?? ??+2 =?? ?? ，
即函数 ?? ?? 为周期为 2 的周期函数， 又因为当 ??∈ 0,2 时，?? ?? =2??， 所以 ?? 2016 =?? 2 =22=4． 14. 64
【解析】 1??? 6=??0+??1??+??2??2+?+??6??6，
由二项式定理可知 ??0，??2，??4，??6 均为正数，??1，??3，??5 均为负数， 所以令 ??=?1，得 1+1 6=??0???1+??2??+??6=26=64， 即 ??0 + ??1 +?+ ??6 =??0???1+??2??+??6=64．
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1
1
1
1
15. 2
， 【解析】由 ????+ ????=2 ????????? ????=0 可得： ?? 为 ???? 的中点，????⊥????， 由双曲线的对称性，可得 ????⊥?? 轴， 令 ??=??，可得 ??=±??
??2??2
??2??
?1=±，
由 △?????? 为等腰直角三角形，可得： tan45°=????=
????
??2
??
??+??
=1，
即有 ??2=?? ??+?? ，
即 ????? ??+?? =?? ??+?? ， 可得 ?????=??，即 ??=2??， 即有 ??=??=2． 16. 8
【解析】由 ????=6sin∠??????，可得 ????⊥????． 所以点 ?? 在以 ???? 为直径的圆上（去掉 ??，??，??）． 所以当 ???? 经过 ???? 的中点 ?? 时取最大值，
????2=32+72?2×3×7cos∠??????=25，解得 ????=5， 所以 ???? 的最大值 =5+????=8．
21
??
第三部分
17. （1） 由 3?????4????+2=0，令 ??=1，可得：??1=2，
当 ??≥2 时，可得 3?????4????+2 ? 3?????1?4?????1+2 =0?????=4?????1， 所以数列 ???? 是首项为 ??1=2，公比为 4 的等比数列， 故：????=2?4???1=22???1． （2） ????=log222???1=2???1， ????=1+3+?+ 2???1 =??2，
??
??=1
1????
=
111++?+1222??2111
++?+
???1 ×??1×22×3
11111
=1+ 1? + ? +?+ ? 223???1??1=2?
??<2.
18. （1） 由题意知 100 ??+?? =0.6 且 2??=??+0.0015，
≤1+
故 ??=0.0025，??=0.0035．
所求平均数为：??=300×0.15+400×0.35+500×0.25+600×0.15+700×0.10=470（元）． （2） 由题意从 350,450 中抽取 7 人，从 550,650 中抽取 3 人，
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随机变量 ?? 的取值所有可能取值有 0，1，2，3， ?? ??=?? =
3???C??3C7
C310
??=0,1,2,3 ，
????
35
所以，随机变量 ?? 的分布列为：
0123
3563211 12012012012063
21
1
9
随机变量 ?? 的数学期望 ?? ?? =0×120+1×120+2×120+3×120=10． 19. （1） 若 ????1=????，则四边形 ??????1??1 为正方形，则 ????1⊥??1??， 因为 ????=2????，∠??????=60°，
所以 △?????? 为直角三角形，则 ????⊥????， 因为 ????1⊥平面??????，
所以 ????⊥平面??????1??1，则 ????⊥??1??， 因为 ??1??∩????=??， 所以 ????1⊥平面??1??1????； （2） 若 ????=2， 因为 ∠??????=60°， 所以 ????=2 3，
则 ????1=??????=2 3??，建立以 ?? 为坐标原点，????，????，????1 分别为 ??，??，?? 轴的空间直角坐标系如图：
则 ?? 0,0,0 ，?? 2,0,0 ，?? 0,2 3,0 ，??1 0,0,2 3?? ，??1 0,2 3,2 3?? ， 1 = 2,?2 3,?2 3?? ， 则 ???? = 2,0,0 ， ??????1??1= 0,2 3,0 ， 设面 ????1?? 的一个法向量为 ?? = 1,0,0 ．
1 =2???2 3???2 3????=0，?? ??=2??=0， 则 ?? ? ???? ???则 ??=0，??=?????，令 ??=1，则 ??=???，则 ?? = 0,???,1
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