物理模型在圆周运动中的应用
目录
物理模型在圆周运动中的应用 ................................................................................................................................. 2 滑块与木板 ................................................................................................................................................................. 5 力学中的皮带模型 ................................................................................................................................................... 14 匀变速直线运动中的追及问题 ............................................................................................................................... 23 平抛运动和斜面组合模型及其应用 ....................................................................................................................... 30
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圆周运动
物理模型在圆周运动中的应用
摘要：在圆周运动中常见的物理模型有轻绳，轻杆和圆锥摆模型，正确认识每一中模型的特点，善于识别形已质同的模型，建立正确的物理模型，是分析和解决物理问题的关键。 关键词：轻绳模型；轻杆模型；圆锥摆模型 一．轻绳模型
1. 轻绳模型的特点：
1. 轻绳的质量和重力不计； ○
绳 2. 可以任意弯曲，伸长形变不计，只能产生和承受沿绳方向的拉力； ○
3. 轻绳拉力的变化不需要时间，具有突变性. ○
2. 轻绳模型在圆周运动中的应用
小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：
1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： ○
vv2?mg?m ?v临界?gR
R2. 小球能通过最高点的条件：v?○
3. 不能通过最高点的条件：v?○
gR（当v?gR时，绳子对球产生拉力） gR（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）
A 0 B mg C 3mg D 5mg
分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型 当小球经过最高点的临界速度为v，则 v?gR
当小球以2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N，则
(2v)2 N?mg?m
R ? v?G N gR
? N?3mg
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是3mg，故选C.
二．轻杆模型：
1. 轻杆模型的特点： 1.轻杆的质量和重力不计； ○
2.任意方向的形变不计，只能产生和承受各方向的拉力和压力 ○
3. 轻杆拉力和压力的变化不需要时间，具有突变性. ○
2. 轻杆模型在圆周运动中的应用
轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：
2
圆周运动
1. 小球能通过最高点的临界条件：v?0，N?mg（N为支持力） ○
v杆 v22. 当0?v?gR时，有mg?N?m ○（N为支持力）
Rv23 当v?○gR时，有mg?m（N?0）
Rv24 当v?○gR时，有N?mg?m（N为拉力）
R例：半径为R?0.5m的管状轨道，有一质量为m?3.0kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s，g?10m/s2，则（ ）
A. 外轨道受到24N的压力 B. 外轨道受到6N的压力 C. 内轨道受到24N的压力 D. 内轨道受到6N的压力
分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：
v2 当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有mg?m
R 则，v?gR=5m/s
gR
? v?2m/s?v2 所以，内轨道对小球有向上的支持力N，则有mg?N?m
R 代入数值得：N?6N
根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N，故选D 三．圆锥摆模型：
圆锥摆模型在圆周运动中的应用：
1. 如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L，摆动后 2. 摆线与竖直方向成?角，则
分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指 向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得：
? v2??m?mr?2 F向?mgtanR拓展延伸，解决水平面内的匀速圆周的问题仍然是牛顿定律的问题，运用规律时采用的基本方法是正交分解法，圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
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圆周运动
例：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中?（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v，周期T的关系。（小球的半径远小于R）
分析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的
水平面上（不在半径的球心），向心力是重力和支持力的 合力，所以是一个圆锥摆模型，则： ? mv22????mRsin?()2 mgtanRsin?T 由此可得：v?G gRtan?sin?
Rcos? g T?2? 本题是一个圆锥摆模型，分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。 在物理学中，不论是概念模型，过程模型，条件模型，还是理论模型，都是突出主要矛盾，屏弃次要矛盾，对客观事物抽象和理想化的结果。同一个客观事物，在不同的情况下，可以抽象为不同的物理模型，一般，建立什么物理模型，必须根据问题的要求，条件而定，不能一概而论，更不能张冠李戴，乱套公式。
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滑块问题
滑块与木板
一 应用力和运动的观点处理 （即应用牛顿运动定律） 典型思维方法：整体法与隔离法 注意运动的相对性
【例1】木板M静止在光滑水平面上，木板上放着一个小滑块m，与木板之间的动摩擦因数μ，为了使得m能从M上滑落下来，求下列各种情况下力F的大小范围。
【例2】如图所示，有一块木板静止在光滑水平面上，木板质量M=4kg，长L=1.4m.木板右端放着一个小滑块，小滑块质量m=1kg，其尺寸远小于L，它与木板之间的动摩擦因数μ=0.4，g=10m/s2，
（1）现用水平向右的恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上滑落下来，求F的大小范围. （2）若其它条件不变，恒力F=22.8N，且始终作用在M上，求m在M上滑动的时间.
【例3】质量m=1kg的滑块放在质量为M=1kg的长木板左端，木板放在光滑的水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1，木板长L=75cm，开始时两者都处于静止状态，如图所示，试求：
（1）用水平力F0拉小滑块，使小滑块与木板以相同的速度一起滑动，力F0的最大值应为多少？
（2）用水平恒力F拉小滑块向木板的右端运动，在t=0.5s内使滑块从木板右端滑出，力F应为多大？ （3）按第（2）问的力F的作用，在小滑块刚刚从长木板右端滑出时，滑块和木板滑行的距离各为多
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滑块问题
少？（设m与M之间的最大静摩擦力与它们之间的滑动摩擦力大小相等）。（取g=10m/s2）.
F x2 x1
【例4】如图所示，在光滑的桌面上叠放着一质量为mA＝2.0kg的薄木板A和质量为mB=3 kg的金属块B．A的长度L=2.0m．B上有轻线绕过定滑轮与质量为mC=1.0 kg的物块C相连．B与A之间的滑动摩擦因数 μ =0.10，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力．忽略滑轮质量及与轴间的摩擦．起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端（如图），然后放手，求经过多长时间t后 B从 A的右端脱离（设 A的右端距滑轮足够远）（取g=10m/s2）．
L
6
滑块问题
例1解析（1）m与M刚要发生相对滑动的临界条件：①要滑动：m与M间的静摩擦力达到最大静摩擦力；②未滑动：此时m与M加速度仍相同。受力分析如图，先隔离m，由牛顿第二定律可得：a=μmg/m=μg 再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a 解得：F0=μ(M+m) g
所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)g
（2）受力分析如图，先隔离M，由牛顿第二定律可得：a=μmg/M 再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a 解得：F0=μ(M+m) mg/M
所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)mg/M
例2[解析]（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力 f=μFN=μmg=4N…………①
滑动摩擦力f是使滑块产生加速度的最大合外力，其最大加速度 a1=f/m=μg=4m/s2 …②
当木板的加速度a2> a1时，滑块将相对于木板向左滑动，直至脱离木板 F-f=m a2>m a1 F> f +m a1=20N …………③
即当F>20N，且保持作用一般时间后，小滑块将从木板上滑落下来。
（2）当恒力F=22.8N时，木板的加速度a2＇，由牛顿第二定律得F-f=Ｍa2＇ 解得：a2＇＝4.7m/s2………④
设二者相对滑动时间为t，在分离之前 小滑块：x1=? a1t2 …………⑤ 木板：x1=? a2＇t2 …………⑥ 又有x2－x1=L …………⑦ 解得：t=2s …………⑧
例3解析：（1）对木板M，水平方向受静摩擦力f向右，当f=fm=μmg时，M有最大加速度，此时对应的F0即为使m与M一起以共同速度滑动的最大值。
对M，最大加速度aM，由牛顿第二定律得：aM= fm/M=μmg/M =1m/s2 要使滑块与木板共同运动，m的最大加速度am=aM， 对滑块有F0－μmg=mam
所以 F0=μmg+mam=2N 即力F0不能超过2N （2）将滑块从木板上拉出时，木板受滑动摩擦力f=μmg，此时木板的加速度a2为 a2=f/M=μmg/M =1m/s2. 由匀变速直线运动的规律，有（m与M均为匀加速直线运动）木板位移 x2= ?a2t2 ① 滑块位移 x1= ?a1t2 ②
位移关系 x1－x2=L ③
将①、②、③式联立，解出a1=7m/s2
对滑块，由牛顿第二定律得:F－μmg=ma1 所以 F=μmg+ma1=8N
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滑块问题
（3）将滑块从木板上拉出的过程中，滑块和木板的位移分别为 x1= ?a1t2= 7/8m x2= ?a2t2= 1/8m
例四：以桌面为参考系，令aA表示A的加速度，aB表示B、C的加速度，sA和sB分别表示 t时间 A和B移动的距离，则由牛顿定律和匀加速运动的规律可得 mCg-μmBg=（mC+mB）aB μ mBg=mAaA
sB=?aBt2 sA=?aAt2 sB-sA=L 由以上各式，代入数值，可得:t=4.0s
二、应用功和能的观点处理 （即应用动能定理，机械能守恒定律能量守恒定律）
应用动量的观点处理 （即应用动量定理，动量守恒定律） ①子弹打木块模型：包括一物块在木板上滑动等。μNS相=ΔEk系统=Q，Q为摩擦在系统中产生的热量。 ②小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动 ：包括小车上悬一单摆单摆的摆动过程等。小球上升到最高点时系统有共同速度(或有共同的水平速度)；系统内弹力做功时，不将机械能转化为其它形式的能，因此过程中系统机械能守恒。
例题：质量为M、长为l的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以水平初速v0射入木块，穿出时子弹速度为v，求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。
解：如图，设子弹穿过木块时所受阻力为f，突出时木块速度为V，位移为S，则子弹位移为(S+l)。水平方向不受外力，由动量守恒定律得：mv0=mv+MV ① 112由动能定理，对子弹 -f(s+l)=mv2?mv0 ②
221对木块 fs=MV2?0 ③
2 l
v0 v S
由①式得 v=
m1m2(v0?v) 代入③式有 fs=M?2(v0?v)2 ④ M2M111111m22?mv2?MV2?mv0?{mv2?M[(v0?v)]2} ②+④得 fl=mv0222222M由能量守恒知，系统减少的机械能等于子弹与木块摩擦而产生的内能。即Q=fl，l为子弹现木块的相对位移。
结论：系统损失的机械能等于因摩擦而产生的内能，且等于摩擦力与两物体相对位移的乘积。即 Q=ΔE系统=μNS相
其分量式为：Q=f1S相1+f2S相2+??+fnS相n=ΔE系统
1．在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为L=1.00m，一质量 与木板相同的金属块，以v0=2.00m/s的初速度向右滑上木板A，金属 块与木板间动摩擦因数为μ=0.1，g取10m/s。求两木板的最后速度。
2
v0
A B
8
滑块问题
2．如图示，一质量为M长为l的长方形木块B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M，现以地面为参照物，给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板。以地面为参照系。 ⑴若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后速度的大小和方向；
⑵若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到最远处(从地面上看)到出发点的距离。
3．一平直木板C静止在光滑水平面上，今有两小物块A和B分别以 2v0和v0的初速度沿同一直线从长木板C两端相向水平地滑上长木板。如图示。设物块A、B与长木板C间的动摩擦因数为μ，A、B、C三者质量相等。
⑴若A、B两物块不发生碰撞，则由开始滑上C到A、B都静止在 C上为止，B通过的总路程多大？经历的时间多长？ ⑵为使A、B两物块不发生碰撞，长木板C至少多长？
v0 A
B v0 l
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滑块问题
4．在光滑水平面上静止放置一长木板B，B的质量为M=2㎏同，B右端距竖直墙5m，现有一小物块 A，质 量为m=1㎏，以v0=6m/s的速度从B左端水平地滑上B。如图所示。A、B间动摩擦因数为μ=0.4，B与墙壁碰撞时间极短，且碰撞时无能量损失。取g=10m/s。求：要使物块A最终不脱离B木板，木板B的最短长度是多少？
A v0 5m
2
B
5．如图所示，在光滑水平面上有一辆质量为M=4.00㎏的平板小车，车上放一质量为m=1.96㎏的木块，木块到平板小车左端的距离L=1.5m，车与木块一起以v=0.4m/s的速度向右行驶，一颗质量为m0=0.04㎏的子弹以速度v0从右方射入木块并留在木块内，已知子弹与木块作用时间很短，木块与小车平板间动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s。问：若要让木块不从小车上滑出，子弹初速度应满足什么条件？
6．一质量为m、两端有挡板的小车静止在光滑水平面上，两挡板间距离为1.1m，在小车正中放一质量为m、长度为0.1m的物块，物块与小车间动摩擦因数μ=0.15。如图示。现给物块一个水平向右的瞬时冲量，使物块获得v0 =6m/s的水平初速度。物块与挡板碰撞时间极短且无能量损失。求： ⑴小车获得的最终速度； ⑵物块相对小车滑行的路程； ⑶物块与两挡板最多碰撞了多少次；
v0
L v0 m v
2
10
滑块问题
⑷物块最终停在小车上的位置。
7．一木块置于光滑水平地面上，一子弹以初速v0射入静止的木块，子弹的质量为m，打入木块的深度为d，木块向前移动S后以速度v与子弹一起匀速运动，此过程中转化为内能的能量为 m(v0?v)vdm(v0?v)12 A．m(v0 D.?v0v) B.mv0(v0?v) C.vd
22sS
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滑块问题
参考答案
1. 金属块在板上滑动过程中，统动量守恒。金属块最终停在什么位置要进行判断。假设金属块最终停在A
mv?3mv??04上。三者有相同速度v，相对位移为x，则有? 解得：x?m?L，因此假定不1122?mgx?mv0??3mv3?22?合理，金属块一定会滑上B。
设x为金属块相对B的位移，v1、v2表示A、B最后的速度，v0′为金属块离开A滑上B瞬间的速度。
??2mv1mv?mv0mv?mv1?2mv2???0?0有：在A上 ? 全过程 ? 111111122222??mgL?mv?mv??2mv?mg(L?x)?mv?mv??2mv001012??222222???v?1m/s或1m/s?v?1m/s1??133???5??0(舍)或v0??4m/s ∴ ?联立解得：?v0?v2?m/s 36??15?v2?m/s或m/s?x?0.25m??26??*解中，整个物理过程可分为金属块分别在A、B上滑动两个子过程，对应的子系统为整体和金属块与B。可分开列式，也可采用子过程→全过程列式，实际上是整体→部分隔离法的一种变化。 2．⑴A恰未滑离B板，则A达B最左端时具有相同速度v，有 Mv0-mv0=(M+m)v ∴ v?M＞m, ∴ v＞0,即与B板原速同向。
⑵A的速度减为零时，离出发点最远，设A的初速为v0，A、B摩擦力为f，向左运动对地最远位移为S，则 fS?11122mv0?0 而v0最大应满足 Mv0-mv0=(M+m)v fl?(M?m)v0?(M?m)v2 222M?ml 4MM?mv0 M?m 解得：s?3．⑴由A、B、C受力情况知，当B从v0减速到零的过程中，C受力平衡而保持不动，此子过程中B的位移
2v0vS1和运动时间t1分别为：S1?,t1?0 。然后B、C以μg的加速度一起做加速运动。A继续减速，
2?g?g直到它们达到相同速度v。对全过程：mA·2v0-mBv0=(mA+mB+mC)v ∴ v=v0/3
2v0v22v2v01 B、C的加速度 a? ?运动时间t2????g ,此子过程B的位移 S2?mB?mC22g9?g?g3?g211v05v ∴ 总路程S?S1?S2?,总时间t?t1?t2?0
18?g3?g?mAg ⑵A、B不发生碰撞时长为L，A、B在C上相对C的位移分别为LA、LB，则 L=LA+LB
27v0111222 ?mAgLA??mBgLB?mA(2v0)?mBv0?(mA?mB?mC)v解得：L?2223?g*对多过程复杂问题，优先考虑钱过程方程，特别是ΔP=0和Q=fS相=ΔE系统。全过程方程更简单。
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滑块问题
4．A滑上B后到B与墙碰撞前，系统动量守恒，碰前是否有相同速度v需作以下判断：mv0=(M+m)v, ①v=2m/s 此时B对地位移为S1，则对B：?mgS1?1Mv2 ②S=1m＜5m,故在B与墙相撞前与A已达到相同速2112mv0?(M?m)v2 ③ L1=3m 22度v，设此时A在B上滑行L1距离，则 ?mgL1? 【以上为第一子过程】此后A、B以v匀速向右，直到B与墙相碰(此子过程不用讨论)，相碰后，B的速度大小不变，方向变为反向，A速度不变(此子过程由于碰撞时间极短且无能量损失，不用计算)，即B以v向左、A以v向右运动，当A、B再次达到相同速度v′时：Mv-mv=(M+m)v′ ④ v′=2/3 m/s向左，即B不会再与墙相碰，A、B以v′向左匀速运动。设此过程(子过程4)A相对B移动L2，则 ?mgL2?11(M?m)v2?(M?m)v?2 ⑤ L2=1、33m L=L1+L2=4.33m为木板的最小长度。 22112mv0?(M?m)v?2实际上是全过程方程。与此类问题相对应的是：当PA始终大于PB22*③+⑤得 ?mgL?时，系统最终停在墙角，末动能为零。
5．子弹射入木块时，可认为木块未动。子弹与木块构成一个子系统，当此系统获共同速度v1时，小车速度不变，有 m0v0-mv=(m0+m)v1 ① 此后木块(含子弹)以v1向左滑，不滑出小车的条件是：到达小车左端与小车有共同速度v2，则 (m0+m)v1-Mv=(m0+m+M)v2 ②
?(m0?m)gL?2
1112 ③ (m0?m)v12?Mv2?(m0?m?M)v2222 联立化简得： v0+0.8v0-22500=0 解得 v0=149.6m/s 为最大值， ∴v0≤149.6m/s
6. ⑴当物块相对小车静止时，它们以共同速度v做匀速运动，相互作用结束，v即为小车最终速度
mv0=2mv v=v0/2=3m/s ⑵?mgS?11S?0.52mv0??2mv2 S=6m ⑶n??1?6.5?6次 22l?d⑷物块最终仍停在小车正中。 *此解充分显示了全过程法的妙用。
mvmv?(M?m)v???0?fS?1Mv2?1(0?m)v27．AC A：? C：?1122v22Q?mv?(M?m)v0??Q?f?d22??13
皮带模型
力学中的皮带模型
“皮带”模型中的动力学问题
物体在皮带上运动时摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力、是动力还是阻力，判断的关键在于能否正确判断物体相对于皮带的运动。
[例1] 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图1所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v?1m/s的恒定速率运行，一质量为m?4kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的
2速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数??0.1，AB间的距离l=2m，g取10m/s。 （1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小； （2）求行李做匀加速直线运动的时间； （3）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处，求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。 AvB 图1 解析：（1）由“物体无初速地放在A处”可知物体相对传送带运动，滑动摩擦力方向向右，大小Ff??mg，将题给数值代入，得Ff?4N。 2由牛顿第二定律得F?ma，代入数值得：a?1m/s （2）设行李做匀加速运动的时间为t，行李加速运动的末速度为v?1m/s，则v?at，代入数值得t?1s。
（3）行李从A匀加速运动到B时，传送时间最短。则
[例2] 如图2所示传送带与地面间倾角??37?，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端A放上一个质量m?0.5kg的物体，它与传送带之间的滑动摩擦因数??0.5，已知传送带从A到B的长度L=16m，则物体从A到B所需的时间为多长？ ALBl?12atmin2，代入数值，得tmin?2s
传送带对应的最小运行速率vmin?atmin代入数值，解得vmin?2m/s。 . .θv图2 解析：物体放在A端后，相对传送带沿斜面向上运动，所以受到沿斜面向下的摩擦力而加速运动，直 14 皮带模型
到两者速度相同，此时由于物体受到的合外力不为零，且mgsin???mg
cos?，所以物体继续加速运动，因物体的速度大于传送带的速度，故摩擦力沿斜面向上。
设上述两个过程的加速度分别为a1、a2
a1?mg(sin???cos?)?g(sin???cos?)?10m/s2 m物体速度从零增大到与传送带同速所用的时间：
t1?v?1sa1
s1?12a1t1?5m2
物体下滑的位移：
接着物体下滑的速度大于传送带的速度，此时加速度：
a2?g(sin???cos?)?2m/s2
余下部分满足：
[例3] 如图3所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平。一个质量为m的小物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，落到地面上的C点，轨道如图中虚线BC所示，已知它落地时相对于B点的水平位移OC=l。
s2?L?s1?vt2?12a2t22
解得t?1s（t??11s负值舍去）所以物体下滑的总时间为2s。
l现在轨道的下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端E与B端的距离为2。当传送带静止时，
让P再次从A点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端E点水平飞出，仍然落在地面上的C点，当驱动轮转动带动传送带以速度v匀速向右运动时（其他条件不变），P的落地点为D（不计空气阻力）。试求：
（1）P滑至B点时的速度大小；
（2）P与传送带之间的动摩擦因数?；
（3）设传送带轮半径为r，顺时针匀速旋转，当转动的角速度为?时，小物体P从E端滑落后运动的水平距离为s。若皮带轮以不同的角速度重复以上动作，可得到一组对应的?值与s值，讨论s值与?值的关系。
图3
解析：（1）物体P在AB上滑动时机械能守恒：
mgh?12mv02
所以P滑到B点的速度大小v0?2gh。
15
皮带模型
t?（2）没有传送带时，P离开B后做平抛运动，运动时间为：
ll?v02gh
l有传送带且传送带静止时，P从传送带的右端水平抛出，在空中运动的时间仍为t，水平位移2，因此P
从传送带的右端抛出速度：
P在传送带上滑行时，根据动能定理有：
v1?2ghlv0??2t22
??mgl112?mv12?mv0222
解得P与传送带之间的动摩擦因数为
（3）本题因传送带顺时针转动，皮带运动方向与小物体P的初速度方向相同，小物体相对传送带运动的方向是判断摩擦力方向的关键。现分以下几种情况讨论。
A. 传送带的运行速度小于或等于v1，小物体在传送带上的情况与传送带静止时相同，所以
??3h2l
2ghv1llx?s?x??l?min??2，2r2r，水平射程；
B. 传送带的运行速度等于小物体滑上皮带的初速度v0时，两者无相对运动，没有摩擦力，旅行包在皮带
上做匀速运动，到达E端以v0做平抛运动，水平射程大于A中的结果，为l，则
s?l?l?1.5l2；
C. 传送带的运行速度大于v1而小于v0时，旅行包相对传送带向右运动而受到向左的摩擦力，做匀减速运
动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以到达E端继而平抛后的水平射程将大于A中的结果而小于B中的结果。
D. 传送带的运行速度大于小物体滑上皮带的初速度v0时，旅行包相对皮带向左运动而受到的摩擦力与皮带运动方向相同，所以做匀加速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以达到E端继而平抛后的水平射程将大于B中的结果。
E. 传送带的运行速度大于某一速度时，旅行包将一直做匀加速运动，达到E端时速度达到最大值，水平射程也将为最大值。计算过程为：
l1122?mvm?mv0222
7vvm?gh?max?m2，其对应的角速度r，水平射程xm?vmt， 解得
lls??vmt?(1?7)22
根据以上分析不难看出皮带转动的角速度满足?min????max，旅行包从B端滑落后的水平距离由
ls??vEt2决定。
?mg“皮带”模型中的功能问题
摩擦力做功Wf?Ffs；物体与皮带间摩擦生热Q?Ff滑s相对。
[例4] 一传送带装置示意如图4，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的
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皮带模型
小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小箱子的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的输出功率P。 D.....A...BCLL 图4 解析：以地面为参考系（下同），设传送带的运行速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力的作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用的时间为t，加速度为a，则对小箱有： s?12at2，v0?at 在这段时间内，传送带运行的路程为：s0?v0t 由以上可得s0?2s 12mv0用Ff表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：A?Ffs?2
传送带克服小箱对它的摩擦力做功：
两者之差就是克服摩擦力做功发生的热量：
12A0?Ffs0?2?mv02
Q?12mv02
可见，小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与热量相等。T时间内，电动机输出功率为W?PT，
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即：
W?12Nmv0?Nmgh?NQ2
已知相邻两小箱的距离为L，所以v0T?NL
NmN2L2P?(2?gh)TT联立求解得
[例5]（2004年济南调研）如图5所示，许多工厂的流水线上安装有传送带，用传送带传送工件，可以大大提高工作效率，传送带以恒定的速率v?2m/s运送质量为m?0.5kg的工件，工件从A位置放到传送带上，它的初速度忽略不计。工件与传送带之间的动摩擦因数
2g?10m/s取，求：
??32，传送带与水平方向夹角是??30?，
传送带AB长度是l?16m。每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件立即放到传送带上，
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皮带模型
（1）工件放到传送带后经多长时间停止相对滑动； （2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离； （3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功； （4）每个工件与传送带之间由于摩擦产生的内能； （5）传送带满载工件比空载时增加多少功率？ v. BA.30°图5 答案：（1）?mgcos??mgsin??ma，a?g(?cos??sin?) 331??)m/s2222 2 ?2.5m/s ?10(v?at，t?0.8s，停止滑动前，工件相对地移动的距离： 121at??2.5?0.82m?0.8m22 （2）?l?vt?2?0.8m?1.6m l1?（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功：
W?Ff1l1?Ff2(l?l1)??mgcos??l1?mgsin?(l?l1)
31?[?5?0.8??0.5?10?(16?0.8)]J?41J42
1Q?Ff1?s??mgcos??(vt?vt)2 （4）
15?[?(1.6?0.8)]J?3J4 ln??10?l（5）个
151Ff总?Ff1?9Ff2?(?9?0.5?10?)N?26.25N42
P?Ff总v?26.25?2W?52.5W
【模拟试题】
1. 物块先后两次从传送带的A点由静止开始下滑，然后到达B点，第一次传送带静止不动，第二次传送带的皮带轮顺时针转动，如图1所示，比较两次物块通过AB所用的时间t1、t2的大小应是（ ）
A. t1?t2 B. t1?t2 C. t1?t2 D. 无法确定
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皮带模型 AB 图1 2. 水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块A由静止轻放在传送带上，若木块与传送带间的动摩擦因数为?，如图2所示，则小木块从放到传送带上开始到与传送带相对静止的过程中，转化为内能的能量为（ ） mv2mv222A. mv B. 2mv C. 4 D. 2 mAv 图2 3. 一皮带传动装置，轮A、B均沿同方向运动，设皮带不打滑，a、b为两轮边缘上的点，某时刻a、b、o、o?位于同一水平面上，如图3所示，设该时刻a、b所受摩擦力分别为fa、fb，则下列说法正确的是（ ） A. fa、fb都是动力，而且方向相同 B. fa、fb都是阻力，而且方向相反 D. fa若是阻力，则fb一定是动力，而且方向C. fa若是动力，则fb一定是阻力，而且方向相反 相同 bO'Oa 图3 4. 将物体轻轻放到以V前进的水平传送带上（物体刚要接触传送带以前就将手移开），则物块经一段时间后便随传送带一起匀速前进，物块在落到传送带上达到速度V前后受到摩擦力情况是（ ） A. 先受静摩擦力，后受滑动摩擦力 B. 先受滑动摩擦力，后不受摩擦力 C. 先受滑动摩擦力，后受静摩擦力 D. 先受静摩擦力，后不受摩擦力 v 图4 19 皮带模型
5. 如图5所示，物体与水平传送带一起向右运动，两者相对静止，则（ ） A. 物体相对传送带无运动趋势 B. 物体相对传送带有向前运动趋势 C. 物体相对传送带有向后运动趋势 D. 条件不足，无法判断 v 图5 6. 如图6所示皮带轮装置，P为主动轮，Q为从动轮，整个皮带按顺时针方式转动，试讨论主动轮上A点及轮边缘皮带上B点，以及从动轮上C点，及轮边缘皮带上D点所受摩擦力情况。 BVAPQCD 图6 7. 一质量为m的物体以一定的速度v0滑到传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数为?。A、B间距为L，若传送带静止时，物体滑到B点，所用时间为t，讨论下列几种情况下物体滑到B所用时间： ① V传与V0反向 ② V传与V0同向，但V传?V0时 ③ V传与V0同向，但V传?V0时 ④ V传与V0同向，但V传?V0时 V0ALB 图7 8. 如图8所示，一质量为m的木块，放在倾角为?的传送带上，随带一起向上或向下作匀加速运动，加速度为a，物体与皮带间的动摩擦因数为?，试求两种情况下物体所受的摩擦力为f。 mα 图8 9. 水平传送带以4m/s的速度匀速运动，将一物体轻轻地放在传送带的A端上，经过6秒物体被传送到B端，若AB之间相距为20m，求：物体与传送带之间的动摩擦因数?等于多少？（g取10m/s） 2 20
追及模型
小球运动到B点，已知A点的高度h，则小球在斜面上运动的时间______，小球到达B点时的速度大小为______.
解析：小球在光滑斜面上做类平抛运动，由A运动至B的时间为t，沿斜面向下的加速度a=gsinθ
沿斜面向下的位移为
h12
=at sin?2解得：t=
2h1=
asin?sin?2h g1sin?2沿斜面向下的速度为vy=at=gsinθ·
222h=2gh g故小球在B点的速度为v=v0?vy=v0?2gh
点评：本题求小球在B点的速度，利用了运动的合成与分解的方法，目的是学会方法的迁移和应用。也可以由机械能守恒定律
121mv0?mgh?mv2求小球在B点的速度。 22 36