2016年长宁区高考数学（文科）一模卷
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式 <5的解集是 . 2.方程9 +3 ?2=0的解是 . 3.若复数z满足z ?z+1=0，则 = . 4.设等差数列{a }的前n项和为S ，若a +a =20，则 S = .
5.若sinθ+cosθ= ，则sin2θ的值是 .
6.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在 上是单调递减的，且f(1)=0，则使f(x)<0的x的取值范围是 .
7.设函数y=f(x)的反函数是y=f (x)，且函数y=f(x)过点P(2,?1)，则 f (?1)= .
8.设常数a>0,(ax + ) 展开式中x 的系数为 ，则 (a+a +…+a )= . 9.某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门,则不同的选课方案有 种（以数字作答）. 10.已知数列{a }和{b }的通项公式分别是a = ，b =b?a( ) ，其中a、 b是实常数，若 a =3， b =? ，且a， b， c成等差数列，则c的值是 . 11.已知函数f(x)=x +2x+1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m］都成立的m的最大值是5，则实数k= .
12.在△ABC中，点M满足 + + = ，若 + +m = ，则实数m的值为 . 13.设命题p：函数f(x)=lg(ax ?x+ a)的值域为R；命题q：不等式3 ?9 14.定义：关于x的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和( , )，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x ?4 xcos2θ+2<0与不等式2x +4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(0,π)，则θ= . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.已知集合P= ，Q= ，若P∩Q≠?，则a等于( ) A.1 B.2 C.1或2 D.3 16.已知数列{a }的前n项和S =n ?8n，第k项满足40)，有下列四个命题： ①f(x)的值域是(?∞，0)∪(0，+∞)； ②f(x)是奇函数； ③f(x)在(?∞，0)∪(0，+∞)上单调递增； ④方程|f(x)|=a总有四个不同的解. 其中正确的是 ( ) A.仅①② B.仅②③ C.仅②④ D.仅③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 关于x的不等式 <0的解集为(?1,b). （1）求实数a、b的值； （2）若z =a+bi，z =cosα+isinα，且z z 为纯虚数，求tanα的值. 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 直三棱柱ABC?A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA =2 ，E,F分别是CC 、BC的中点.求: (1)异面直线EF和A B所成的角. (2)直三棱柱ABC?A B C 的体积. 第20题图 21.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量 =(a,b), =(cosA,cosB), =(2 sin ,2sinA)，若 ∥ ,| |=3. (1)求角A、B、C的值； (2)若x∈［0, ］，求函数f(x)=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值. 22.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分8分. 已知函数y=f(x),x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(x+T)>m·f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(x+T)=m·f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T. (1)已知函数f(x)=?x +ax是 上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围； (2)已知 T=1，y=f(x)是 上m级类周期函数，且y=f(x)是 上的单调递增函数，当x∈ 时，f(x)=2 ，求实数m的取值范围. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知点P (a ,b )，P (a ,b )，…，P (a ,b )（n为正整数）都在函数y=( ) 的图像上. (1)若数列 是等差数列，证明：数列 是等比数列； (2)设a =n（n为正整数），过点P ，P 的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c ，试求最小的实数t，使c ≤t对一切正整数n恒成立； （3）对（2）中的数列{a }，对每个正整数k，在a 与a 之间插入3 个3，得到一个新的数列{d }，设S 是数列{d }的前n项和，试探究2016是否是数列{S }中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明. .