(精编版)2012全国各地中考数学试题分类解析汇编
代数综合问题
1. （2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数a用整数n表示的式子；
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi yi yi+1－yi
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5... 请回答：
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
210 0 1 1 1 3 2 4 5 3 9 7 4 16 9 5 25 11 ... ... ... 当x的取值从0开始每增加
1n个单位时，y的值变化规律是什么？
【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。
（2）有理数b=
mn （n≠0）。
1（3）①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
2xi 0 12 1 32 2 52 ... 用心 爱心 专心 1
yi yi+1－yi
0 141434 1 549474 4 94254114 ... ... 故当x的取值从0开始每增加
5412个单位时，y的值依次增加
14、
34 、
?
2i?14。
②当x的取值从0开始每增加
1n个单位时，列表如下：
3n9n2xi yi yi+1－yi 0 0 1n21n1n2 2n4nn2 4n16nn2 5n25nn2 ... .. ... 3n2527n292112
故当x的取值从0开始每增加
5n21n个单位时，y的值依次增加
1n2、
3n2 、
?
2i?1n2。
【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。
【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此
可以得到答案。
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
用心 爱心 专心 2
2. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x+px+q=0（p﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d取得最小值，并求出最小值． 【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，
∴x1?x2??ba=?p，x1?x2?ca=q。
2
22
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。
∵d=|x1﹣x2|，
∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。 ∴当p=2时，d 2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】
（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数
关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。
3. （2012广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0 解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2） ∴x2﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
2
解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
用心 爱心 专心 3
即一元二次不等式x﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 ； （2）分式不等式
的解集为 ；
2
2
（3）解一元二次不等式2x﹣3x＜0． 【答案】解：（1）x＞4或x＜﹣4。 （2）x＞3或x＜1。 （3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）
∴2x﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
?x>0?x<0或①②。 ???2x?3<0?2x?3>02
解不等式组①，得0＜x＜
2
32，解不等式组②，无解。
32∴不等式2x﹣3x＜0的解集为0＜x＜。
【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。
（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，
从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。
4. （2012贵州黔西南14分）问题：已知方程x2+x?1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y?y?把x=代入已知方程，得??+?1=0
22?2?y2
y2化简，得：y2+2y?4=0 故所求方程为y2+2y?4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
用心 爱心 专心
4
（1）已知方程x2+x?2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。 【答案】解：（1）y－y－2=0。
（2）设所求方程的根为y，则y?
1x
2
（x≠0），于是x?21y（y≠0）。
?1?1把x?代入方程ax2+bx+c=0，得a???+b?+c=0，
yy?y?1去分母，得a+by+cy=0。
若c=0，有ax2+bx=0，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。 ∴c≠0。
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。
把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。
（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得
出所求的方程。
5. （（2012江苏南京9分）“？”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm， 根据题意，得x?2x=288． 解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12 所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m） 答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2． 我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
用心 爱心 专心
5
2
变化一下会怎样??
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
dAA'D'cDB'BaC'bC
【答案】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym，则长为2ym。
则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m。 ∵
2y?3?1y?1?1?2y?4y?2 ?2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。
（2）a+c b+d =2。理由如下：
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要
AD??a?c?AB??b?d?21A?D? A?B??ADAB，即
?，
即
2AB??a?c?AB??b?d??21 ，即a+c b+d =2。
【考点】一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。
【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得
A?D? A?B??ADAB ，然后利用比例的性质。
6. （2012江苏盐城12分）
axax 知识迁移： 当a?0且x?0时，因为(x?)≥0,所以x?2a?2≥0,从而
用心 爱心 专心 6
x?ax≥2a(当
axx?a时取等号).记函数y?x?(a?0,x?0),由上述结论可知：当x?a时,该函数
有最小值为2a. 直接应用：已知函数y1?x(x?0)与函数y2?时,y1?y2取得最小值 为_________.
y2y11x(x?0), 则当x?_________
变形应用：已知函数y1?x?1(x??1)与函数y2?(x?1)2?4(x??1),求
值,并指出取得该 最小值时相应的x的值.
的最小
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；
二是燃油费,每
千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的
路程为x千米,
求当x为多少时,该汽车平均每最低？最低是多少元？ ．．．千米的运输成本．．．．．．．【答案】解：直接应用：1；2 。
变形应用：∵
y2y1?(x?1)?4x?12?(x?1)?4x?1(x??1) ，
∴
y2y1有最小值为24?4。
当x?1?4，即x?1时取得该最小值。
实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则
0.001x?1.6x?360x2y??0.001x?360x?1.6?0.001(x?360000x)?1.6，
用心 爱心 专心
7
∴当x?360000?600(千米)时,
该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为0.001?2360000?1.6?2.8元。
【考点】二次函数的应用，几何不等式。
【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：
∵函数y?x?有最小值为2a，
∴函数y1?x(x?0)与函数y2?y1?y2取得最小值为21?2。
1x(x?0)，则当x?ax当x?(a?0,x?0),由上述结论可知：a时,该函数
1?1时，
变形运用：先得出
y2y1的表达式，然后将x?1看做一个整体，再运用所给结论即可。
实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所 给的结论即可得出答案。
7. （2012四川内江12分）如果方程x2?px?q?0的两个根是x1,x2，那么
x1?x2??p,x1.x2?q,请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x?mx?n?0,(n?0),求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a、b满足a22?15a?5?0,b2?15b?5?0,求
ab?ba的值；
（3）已知a、b、c满足a?b?c?0,abc?16求正数c的最小值。
【答案】解：（1）设关于x的方程x?mx?n?0,(n?0)的两根为x1,x2，则有：
x1?x2??m,x1.x2?n，且由已知所求方程的两根为
21x1x2,1
∴
1x1?1x2?x1?x2x1x2??mn，
1x1x2?1?1x1x2?1n。
用心 爱心 专心 8
∴所求方程为x2??mnx?1n?0，即nx?mx?1?0(n?0)。
2（2）∵a、b满足a2?15a?5?0,b2?15b?5?0，
∴a、b是方程x2?15x?5?0的两根。∴a?b?15,ab??5 。
abbaa?bab22∴????a?b?2?2abab??a?b?ab2?2?152?516c?2??47。
（3）∵a?b?c?0,abc?16且c?0 ∴a?b??c,ab?∴a、b是一元二次方程x2???c?x?22。
16c?0?c?0?的两个根，
代简，得 cx?cx?16?0?c?0? 。
又∵此方程必有实数根，∴此方程的??0，即?c2??4?c?16?0，
c?c?4332??0。
又∵c?0 ∴c3?43?0。 ∴c?4。 ∴正数c的最小值为4。．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。 【分析】（1）设方程x2?mx?n?0,(n?0)的两根为x1,x2，得出
1x1?1x2??mn，
1x1x2?1?1n，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答
案。
（2）根据a、b满足a?15a?5?0,b?15b?5?0，得出a、b是一元二次方程
x?15x?5?0的两个根，由a?b?15,ab??5，即可求出
222ab?16cba的值。
（3）根据a?b?c?0,abc?16，得出a?b??c,ab?，a、b是一元二次方程
22cx?cx?16?0的两个根，再根据??0，即可求出c的最小值。
8. （2012山东济宁8分）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．
用心 爱心 专心 9
（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；
（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；
（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px+qy=360，求每种平面镶嵌中p、q的值． 【答案】解：（1）画树形图如下：
所有出现的结果共有12种。
（2）∵两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有4种：AB，AD，BA，DA，
∴P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）=
412?13。
（3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p+90q=360，即2p+3q=12。
∵p、q是正整数，∴p=3，q=2。
当正三角形和六边形构成平面镶嵌时，则有60p+120q=360，即p+2q=6。 ∵p、q是正整数，∴p=4，q=1或p=2，q=2。
【考点】列表法和树状图法，概率，多边形内角和定理，平面镶嵌（密铺）。 【分析】（1）列表或画树状图即可得到所有的可能情况。
（2）根据平面镶嵌的定义，能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形，正三角
形与正六边形，然后根据概率公式列式计算即可得解。
（3）对两种平面镶嵌的情况，根据方程代入数据整理，再根据p、q都是整数解答。
9. （2012浙江湖州10分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．
用心 爱心 专心
10
（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？
（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
【答案】解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，
∴乙种树每棵200元，丙种树每棵×200=300（元）。
23 （2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000－3x）棵．
根据题意：200·2x＋200x＋300（1000－3x）=210000， 解得x=30。
∴2x=600，1000－3x=100，
答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵。 （3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，
根据题意得：200（1000－y）＋300y≤210000＋10120， 解得：y≤201.2。
∵y为正整数，∴y最大为201。 答：丙种树最多可以购买201棵。
【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数。
（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000-3x）棵，利用（1）中
所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可。
（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，根据题意列不等式，求
出即可。
10. （2012内蒙古赤峰14分）阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法： 当a?b?0时，一定有a?b； 当a?b?0时，一定有a?b；
用心 爱心 专心 11
当a?b?0时，一定有a?b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． （2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： ∵a2?b2?(a?b)(a?b)，a?b?0 ∴（a2?b2）与（a?b）的符号相同 当a2?b2＞0时，a?b＞0，得a?b 当a2?b2=0时，a?b=0，得a?b 当a2?b2＜0时，a?b＜0，得a?b 解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题： ①W1= （用x、y的式子表示） W2= （用x、y的式子表示） ②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP． 方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．
①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）； ②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
用心 爱心 专心
12
【答案】解：（1）①3x+7y；2x+8y。
②W1﹣W2=（3x+7y）﹣（2x+8y）=x﹣y， ∵x＞y，∴x﹣y＞0。∴W1﹣W2＞0。 ∴W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大。 （2）①x+3。
②x2?48。 ③∵a1?a2=?x+3??222?x+482?2=x+6x+9?x?48=6x?3922
∴当a12?a22＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5； 当a12?a22=0（即a1﹣a2=0，a1=a2）时，6x﹣39=0，解得x=6.5； 当a12?a22＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5。 综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短， 当x=6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短。
【考点】整式的混合运算，轴对称（最短路线问题）。 【分析】（1）①W1=3x+7y，W2=2x+8y。
（2）①a1=AB+AP=x+3。
②过B作BM⊥AC于M，则AM=4﹣3=1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2﹣12=x2﹣1， 在△A′MB中，由勾股定理得： AP+BP=A′B=A'M2?BM2?③根据阅读材料的方法求解。
x?48。
2用心 爱心 专心 13