高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只一项答案是正确的，请将正确答案填写在答题卷相应的位置，每小题5分，共60分．）
1.已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 等于（ ） A. B. C. D.
2.设 、 都是不等于 的正数，则“ ”是“ ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条
件
C.必要不充分条D.既不充分也件 不必要条件
3.函数 的定义域为（ ）
B. A.
C. D.
4.定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
B. A.
D. C.
的单调递增区间为（ ） 5.函数 A. B. C. D.
6.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.
7.如图曲线 和直线 ， ， 所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知 在 上是奇函数，且满足 ，当 时， ，则 等于（ ） A. B. C. D.
9.已知函数 ， ，且 ，则下列结论中成立的是（ ） A. ， B. ， ， ， C. D.
10.设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.函数 有极大值 和极小值 B.函数 有极大值 和极小值 C.函数 有极大值 和极小值 D.函数 有极大值 和极小值
11.设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A. B. C. D.
有三个不同的实数根，则实数 的12.已知函数 ，若方程
取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共四个小题，每小题5分，共20分）．
13.已知实数 ，函数 ，若 ，则 的值为
________．
14.已知集合 ， ，若 成立的一个充分不必要的条件是 ，则实数 的取值范围是________．
15.设 是定义在 上且周期为 的函数，在区间 上，
， ．若 ，则 的值为________． 其中
16.设函数 ，对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是________．
三、解答题（本大题共六个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设： ：方程 有两个不相等的正根， ：方程 无实根，求使 或 为真， 且 为假的实数 的取值范围．
18.设定义在 上的偶函数 在区间 上的单调递增，若 ，求实数 的取值范围．
19.已知函数
若 ，求 的单调区间；
若 有最大值 ，求 的值．
20.已知函数 ，其中 ，且曲线 在点（ ）处的切线垂直于直线 ．
求 的值；
求函数 的单调区间与极值．
21.设 ，其中 ，曲线 在点（ ）处的切线与 轴相交于点 ． 确定 的值；
求函数 的单调区间与极值．
22.已知 ，函数 （ ， 为自然对数的底数）． 当 时，求函数 的单调递增区间；
若函数 在 上单调递增，求 的取值范围． 答案
1. 【答案】A
【解析】先由补集的定义求出 ，再利用交集的定义求 ． 【解答】解：∵ ， ， ∴ ，
又集合 ，
∴ ， 故选 ． 2. 【答案】B
【解析】求解 ，得出 ，
， 或 根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解： 、 都是不等于 的正数， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ，
或
求解得出： 或 或 ，
根据充分必要条件定义得出：“ ”是“ ”的充分条不必要件， 故选： ． 3. 【答案】A
【解析】直接由根式内部的代数式大于等于 ，分式的分母不等于 ，求解即可得答案． 【解答】解：由 ，
得 ，
∴函数 的定义域为： ．
故选： ． 4. 【答案】B
【解析】根据定义可知 ，得出函数的周期，观察选项，将区间 分解为 和 两部分，去绝对值讨论出函数的单调性，再观察题设条件与选项．选项中的数都是 的数，故利用 找出函数在 上的单调区间，用单调性比较大小．
【解答】解：∵ ， ∴函数的周期为 ，
∵当 时， ，
∴ 时， ，故函数 在 上是增函数， 时， ，故函数 在 上是减函数，
又定义在 上的 满足 ，故函数的周期是 所以函数 在 上是增函数，在 上是减函数， 观察四个选项： 选项中
，故 不对；
，
选项中 ，故 为真命题； 选项中 ，故 为假命题；
选项中 综上，选项 是正确的． 故选： ． 5. 【答案】D
【解析】令 ，求得函数 的定义域为 ，且函数 ．根据复合函数的单调性，本题即求函数 在 上的
减区间．再利用二次函数的性质可得，函数 在 上的减区间． 【解答】解：令 ，可得 ，或 ， 故函数 的定义域为 ，
当 时， 随 的增大而减小， 随 的减小而增大，
所以 随 的增大而增大，即 在 上单调递增．
故选： ． 6. 【答案】C
【解析】由题意可得 ，由此解得 的取值范围． 【解答】解：∵函数 在 上单调递增， ∴ ，解得 ， 故 的取值范围为 ， 故选
7. 【答案】D
【解析】先联立 与 的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．
【解答】解：由于曲线 与 的交点为 ，
而曲线 和直线 ， ， 所围成的图形（阴影部分）的面积为
，
所以围成的图形的面积为
．
故答案选 ． 8. 【答案】A
【解析】求出函数的周期，转化所求函数值为已知条件，求解即可．
【解答】解： 在 上是奇函数，且满足 ，可得函数的周期为： ，
． 当 时， ，
． 故选： ． 9. 【答案】D
【解析】根据函数在区间 上是减函数，结合题设可得 不正确；根据函数的解析式，结合举反例的方法，可得到 、 不正确；利用函数的单调性结合函数的解析式，对 且 加以讨论，可得 是正确的．由此不难得到正确选项． 【解答】
解：对于 ，若 ， ， ，因为 ，所以 ， 而函数 在区间 上是减函数， 故 ，与题设矛盾，所以 不正确；
对于 ，若 ， ， ，可设 ， ， ， 此时 为最大值，与题设矛盾，故 不正确； 对于 ，取 ， ，同样 为最大值， 与题设矛盾，故 不正确；
对于 ，因为 ，且 ，说明可能如下情况成立：
、 位于函数的减区间 ，此时 ，可得 ，所以 成立；
、 不在函数的减区间 ，则必有 ，所以 ，
化简整理，得 成立． 综上所述，可得只有 正确 故选 ．
10. 【答案】D
【解析】利用函数的图象，判断导函数值为 时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值． 【解答】解：由函数的图象可知， ， ，并且当 时， ，当 ， ，函数 有极大值 ．
又当 时， ，当 时， ，故函数 有极小值 ． 故选 ．
11. 【答案】A
【解析】由已知当 时总有 成立，可判断函数
为减函数，由已知 是定义在 上的奇函数，可证明 为 上的偶函数，根据函
数 在 上的单调性和奇偶性，模拟 的图象，而不等式 等价于 ，数形结合解不等式组即可． 【解答】解：设
，则 的导数为：
，
∵当 时总有 成立， 即当 时， 恒小于 ， ∴当 时，函数 又∵
为减函数， ，
∴函数 为定义域上的偶函数 又∵
，
∴函数 的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式 或 ，
或 ． 故选： ． 12. 【答案】D
【解析】根据分段函数 的解析式，作出分段函数的图象，方程 有三个不同的实数根，即为函数 的图象与 的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数 的取值范围． 【解答】
解：∵函数函数 ，
∴作出函数 的图象如右图所示，
∵方程 有三个不同的实数根，
则函数 的图象与 的图象有三个不同的交点， 根据图象可知， 的取值范围为 ．
故选： ． 13. 【答案】
【解析】对 分类讨论判断出 ， 在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出 ．
【解答】解：当 时， ， ∴ 解得 舍去 当 时， ， ∴ 解得 故答案为 14. 【答案】
【解析】化简集合 ，利用 成立的一个充分不必要的条件是 ，即可得出． 【解答】解：∵ ，∴ ．∴ ． ∵ 成立的一个充分不必要的条件是 ， ∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ． 故答案为： ． 15. 【答案】
【解析】由于 是定义在 上且周期为 的函数，由 的表达式可得
；再由 得 ，解关于 ， 的方程组可得到 ， 的
值，从而得到答案．
【解答】解：∵ 是定义在 上且周期为 的函数，
，
∴ ， ∴
；又 ，
①
又 ，
∴ ，②
由①②解得 ， ； ∴ ． 故答案为： ． 16. 【答案】
【解析】根据二次函数的图象和性质，分 ， 和 三种情况，分别讨论满足对于任意 ，都有 的实数 的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：若 ，则对于任意 ，都有 时， ，即
值； ，此时不满足满足条件的
若 ，则函数 ，当 时， 恒成立，不满足条件； 若 ，当 ，即 时， 恒成立，满足条件；
当 ，即 时，函数 的图象是开口朝上，且以直线 为对称轴的直线，
，此时不存在满足条件的 值， 则
综上实数 的取值范围是 ， 故答案为：
17. 【答案】解：若命题 ：方程 有两个不相等的正根为真， 则
解得
若命题 ：方程 无实根为真， 则 解得
∵ 或 为真， 且 为假 ∴命题 与命题 必一真一假 若 真 假，则 若 假 真，则
综上，实数 的取值范围为 ，或
【解析】根据一元二次方程根的个数与 的关系，及韦达定理，我们构造关于 的不等式组，解不等式组可以求出命题 为真时，实数 的取值范围，及命题 为真时，实数 的取值范围，再由 或 为真， 且 为假，由复合命题真假判断的真值表，可判断出命题 与命题 必一真一假，分别讨论 真 假和 假 真时，实数 的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案．
【解答】解：若命题 ：方程 有两个不相等的正根为真， 则
解得
若命题 ：方程 无实根为真， 则 解得
∵ 或 为真， 且 为假 ∴命题 与命题 必一真一假 若 真 假，则 若 假 真，则
综上，实数 的取值范围为 ，或
18. 【答案】解：∵定义在 上的偶函数 在区间 上的单调递增， ∴ 在区间 上的单调递减． 若 ，
则等价为 ， 即 ，
∴ ，
或
即 或 ．
【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式 转化为 ，然后解不等式即可．
【解答】解：∵定义在 上的偶函数 在区间 上的单调递增， ∴ 在区间 上的单调递减． 若 ，
则等价为 ， 即 ， ∴ ， 或
即 或 ．
19. 【答案】解： ，得
，
∵ ， 的增区间为 ，减区间为
∴ 的减区间为 ，增区间为 ；; ∵ 有最大值， ，函数 有最小值 ，
∴函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 由此可得， 且 ，得 ，解之得
综上所述，当 有最大值 时， 的值为
【解析】 ，因为 ，根据指数函数的单调性，得 的减区间就是 的增区间，增区间就是 的减区间，由此结合二次函数的单调性，不难得出 的单调区间； ; 根据题意，得 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，从而得到 且 的最大值为 ，解之得 ． 【解答】解： ，得
，
∵ ， 的增区间为 ，减区间为
∴ 的减区间为 ，增区间为 ；; ∵ 有最大值， ，函数 有最小值 ，
∴函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 由此可得， 且 ，得 ，解之得
综上所述，当 有最大值 时， 的值为 20. 【答案】解： ∵ ， ∴ ，
∵曲线 在点（ ）处的切线垂直于直线 ． ∴ ，
解得： ．; 由 知： ，
，
令 ，
解得 ，或 （舍），
∵当 时， ，当 时， ， 故函数 的单调递增区间为 ； 单调递减区间为 ；
当 时，函数取极小值 ．
【解析】 由曲线 在点（ ）处的切线垂直于直线 可得 ，可求出 的值；; 根据 可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数 的单调区间与极值． 【解答】解： ∵ ， ∴ ，
∵曲线 在点（ ）处的切线垂直于直线 ． ∴ ，
解得： ．; 由 知： ，
，
令 ，
解得 ，或 （舍），
∵当 时， ，当 时， ， 故函数 的单调递增区间为 ； 单调递减区间为 ；
当 时，函数取极小值 ．
21. 【答案】解： 因 ，故 ， ， 令 ，得 ， ，
∴曲线 在点（ ）处的切线方程为 ， 由切线与 轴相交于点 ． ∴ ，
∴ ．; 由 得 ， ，
，令 ，得 或 ，
当 或 时， ，故 在 ， 上为增函数， 当 时， ，故 在 上为减函数，
故 在 时取得极大值 ，在 时取得极小值 ． 【解析】 先由所给函数的表达式，求导数 ˊ ，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线 在点（ ）处的切线与 轴相交于点 列出方程求 的值即可；; 由 求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．
【解答】解： 因 ，故 ， ， 令 ，得 ， ，
∴曲线 在点（ ）处的切线方程为 ， 由切线与 轴相交于点 ． ∴ ，
∴ ．; 由 得 ， ，
，令 ，得 或 ，
当 或 时， ，故 在 ， 上为增函数， 当 时， ，故 在 上为减函数，
故 在 时取得极大值 ，在 时取得极小值 ． 22. 【答案】解： 当 时， ， 令 ，得 ，∴ ∴ 的单调递增区间是 ；; ，若 在 内单调递增，即当 时， ， 即 对 恒成立， 即 对 恒成立，
令 ，则
∴ 在 上单调递增，∴ ∴
当 时，当且仅当 时， ∴ 的取值范围是 ．
【解析】 求导函数，令 ，可得 的单调递增区间；; ，若 在 内单调递增，即当 时， ，即 对 恒成立，分离参数求最值，即可求 的取值范围． 【解答】解： 当 时， ， 令 ，得 ，∴ ∴ 的单调递增区间是 ；; ，若 在 内单调递增，即当 时， ， 即 对 恒成立， 即 对 恒成立， 令 ，则
∴ 在 上单调递增，∴ ∴
当 时，当且仅当 时， ∴ 的取值范围是 ．