课时巩固过关练 二十二
不等式选讲
(建议用时:30分钟)
1.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象. (2)求不等式|f(x)|>1的解集.
【解析】(1)如图所示:
(2)f(x)=
|f(x)|>1,
当x≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3, 所以x≤-1.
当-1 1 当x≥时,|4-x|>1,解得x>5或x<3, 所以≤x<3或x>5. 综上,x<或1 ∪(1,3)∪(5,+∞). 【加固训练】(2016·贵阳一模)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|. (1)求证:-3≤f(x)≤3. (2)解不等式f(x)≥x2 -2x. 【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=3,成立; 当-1 所以-3<-2x+1<3,成立; 当x≥2时,f(x)=-3,成立; 故-3≤f(x)≤3. (2)当x≤-1时,x2 -2x≤3, 所以-1≤x≤3, 所以x=-1; 当-1 -2x≤-2x+1, 所以-1≤x≤1, 所以-1 当x≥2时,x2-2x≤-3,无解; 综合上述,不等式的解集为:[-1,1]. 2.(2016·衡阳二模)已知a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2. (1)求+的最小值. (2)若对?a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求实数x的取值范围. 【解析】(1)因为a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2, 所以+= · 2 =++≥+2 =+2 =, 所以 此时a=,b=. (2)因为+≥|2x-1|-|x+1|对?a,b∈(0,+∞)恒成立, 所以|2x-1|-|x+1|≤? =, 或 或?-≤x≤-1或-1 所以x∈. 【加固训练】(2016·哈尔滨一模)已知函数f(x)=m-|x-3|,不等式f(x)>2的解集为(2,4). (1)求实数m的值. (2)若关于x的不等式|x-a|≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由已知得|x-3| (2)|x-a|≥f(x)得|x-3|+|x-a|≥3恒成立, 因为|x-3|+|x-a|≥|x-3-(x-a)|=|a-3|(当且仅当(x-3)(x-a)≤0时取到等号), 所以|a-3|≥3解得a≥6或a≤0, 故a的取值范围为a≤0或a≥6. 3.(2016·衡水二模)已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a). (1)当a=7时,求函数f(x)的定义域. (2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求a的取值范围. 【解析】(1)由已知得,|x-1|+|x+2|>7,由绝对值的几何意义可得x<-4或x>3, 3 从而函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(3,+∞). (2)不等式f(x)≥3,即|x-1|+|x+2|≥a+8, 则x∈R,恒有|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3, 又不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R, 故a+8≤3,即a≤-5, 即a的取值范围是(-∞,-5]. 【加固训练】设f(x)=|ax-1|. (1)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值. (2)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)显然a≠0, 当a>0时,解集为当a<0时,解集为令-=2,=-6,得a=-. 综上所述,a=-. (2)当a=2时,令h(x) =f(2x+1)-f(x-1) =|4x+1|-|2x-3| ,-=-6,=2,无解; , = 由此可知,h(x)在上单调减,在上单调增,在上单调增,则 当x=-时,h(x)取到最小值-, 由题意知,-≤7-3m,则实数m的取值范围是4.(2016·乌鲁木齐二模)设函数f(x)=x-3x. (1)若λ+μ=1(λ,μ>0),求证:f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2). (2)若对任意x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,求L的最小值. 2 . 4 【解析】(1)因为f(λx1+μx2)-[λf(x1)+μf(x2)] =(λx2 1+μx2)-3(λx1+μx2)-[λ(-3x1)+μ(-3x2)] =λ(λ-1)+2λμx1x2+μ(μ-1) =-λμ +2λμx1x2-λμ =-λμ(x2 1-x2)≤0, 所以f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2). (2)因为|f(x1)-f(x2)| =| -3x1-+3x2| =|x1-x2||x1+x2-3|, 因为0≤x1,x2≤1, 所以0≤x1+x2≤2, 所以-3≤x1+x2-3≤-1, 所以|x1+x2-3|≤3, 所以使|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立的L的最小值是3. (建议用时:30分钟)1.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R. (1)当a=2时,解不等式f(x)<1. (2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围. 【解析】(1)a=2时,f(x)<1就是|x-3|-|x+2|<1, 当x<-2时,3-x+x+2<1,得5<1,不成立; 当-2≤x<3时,3-x-x-2<1,得x>0, 所以0 当x≥3时,x-3-x-2<1, 即-5<1,恒成立, 所以x≥3. 综上可知,不等式f(x)<1的解集是(0,+∞). (2)因为f(x)=|x-3|-|x+a|≤|(x-3)-(x+a)|=|a+3|, 所以f(x)的最大值为|a+3|. 5 对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立等价于|a+3|≤2a, 解得a≥3; 所以a的取值范围是[3,+∞). 2.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R. (1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1. (2)不等式f(x)≤4在x∈[-2,3]时恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1, 当x≤-3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1,恒不成立, 当-3 当x≥-1时,不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1,恒成立; 综上不等式的解集为 . (2)若x∈[-2,3]时,f(x)=|x-a|-(x+3), 则f(x)≤4即|x-a|≤x+7, 所以-x-7≤x-a≤x+7, 即为-7≤a≤2x+7恒成立, 又因为x∈[-2,3], 所以-7≤a≤3, 所以a的取值范围为[-7,3]. 【加固训练】已知a,b∈R,f(x)=|x-2|-|x-1|. (1)若f(x)>0,求实数x的取值范围. (2)对?b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|, 两边平方得x2 -4x+4>x2 -2x+1, 解得x<, 即实数x的取值范围是 . (2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|, 因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1, 6 所以2|a|≥1?|a|≥?a≥或a≤-, 所以a的取值范围为 ∪ . 3.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|. (1)解不等式f(x)≥2. (2)当x∈R,0 . 【解析】(1)由已知可得:f(x)=所以,f(x)≥2的解集为{x|x≥1}. (2)由(1)知,|x+2|-|x-2|≤|(x+2)-(x-2)|=4; + =[y+(1-y)] =2+ +≥4, 当且仅当 = , 即y=时取等号, 所以|x+2|-|x-2|≤+. 4.已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2. (2)若a>0,求证:f(ax)-af(x)≤f(a). 【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|, 因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2. 当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2, 即≤x≤1. 当1 当x>2时,原不等式等价于2x-3≤2, 7