知识改变命运，学习成就未来
巩固
1．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝x＋2或y＝－x＋2 D．x＝1或y＝x＋2
解析：选C.在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切
|2|
线，故设切线方程为y＝kx＋2，则2＝1，∴k＝±1，故所求切
k＋1
线方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.选C.
2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C为(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0 解析：选A.由圆的一般方程可得圆心O(－1,2)，由圆的性质易知O(－1,2)，C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kABkOC＝－1?kAB＝1，故直线AB的方程为：y－3＝x＋2整理得：x－y＋5＝0.
3．(原创题)直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9相交于A，B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于( )
A．25 B．23 C．43 D．45
解析：选A.圆C的圆心C(2，－1)，半径r＝3，
|4＋1|
C到直线2x－y＝0的距离d＝＝5，
51
∴|AB|＝29－5＝4，∴S△ABC＝2×4×5＝25.
4．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上， 故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，
5
令x＝0得y＝2.令y＝0得x＝5，
1525
故S△＝2×2×5＝4. 25答案：4 5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，
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→·→＝________. 且|AB|＝3，则OAOB
解析：如图，作OC⊥AB于C，|AB|＝3，
3
在Rt△OAC中，AC＝2，OA＝1，所以∠AOC
→·→＝1·＝60°，则∠AOB＝120°，所以OAOB1·cos 1
120°＝－2. 1
答案：－2 6．已知圆x2＋y2＋4x＋10y＋4＝0.
(1)证明点B(1，－1)在圆上，并求出过点B的圆的切线方程． (2)证明点C(1,0)在圆外，并求出过点C的圆的切线方程． 解：(1)因为12＋(－1)2＋4×1＋10×(－1)＋4＝0， 所以点B(1，－1)在圆上．
－1－(－5)4
设圆心为M，所以kBM＝＝，所以过点B(1，－1)的
1－(－2)33
圆的切线方程为y＋1＝－4(x－1)．所以3x＋4y＋1＝0.
(2)因为|CM|＝(1＋2)2＋52＝34＞5＝r(r为已知圆的半径)，所以点C(1,0)在圆外．
设过点C与圆M相切的直线的方程为y＝k(x－1)(显然斜率存
|－2k＋5－k|
在)，即kx－y－k＝0.因为圆与直线相切，所以半径5＝.21＋k
15
所以k＝0或k＝－8. 所以切线方程为y＝0或15x＋8y－15＝0.
练习
xy
1．若直线a＋b＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则( ) A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1 1111C.a2＋b2≤1 D.a2＋b2≥1
1
解析：选D.由题意知直线与圆相交或相切，故有≤1?
11a2＋b2欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
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a2＋b2≥1，故选D.
2．过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．23 C．3 D．25
解析：选B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离
|AB|
取得最大值，即d≤|OG|＝1，此时弦长最短，即2≥R2－d2＝4－1?|AB|≥23，故选B.
3．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选D.设圆心为(a,0)，且a>0，则(a,0)到直线3x＋4y＋4＝0
|3×a＋4×0＋4|14
的距离为2，即＝2?3a＋4＝±10?a＝2或a＝－3(舍223＋4
去)，则圆的方程为：(x－2)2＋(y－0)2＝22，即x2＋y2－4x＝0.
4．设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一
→·→＝0，则y＝( ) 点M(x，y)满足OMCMx
333A.3 B.3或－3 C.3 D.3或－3
→·→＝0， 解析：选D.∵OMCM∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线．
设OM的方程为y＝kx，
|2k|y由2＝3，得k＝±3，即x＝±3.
k＋1
5．(2008年高考山东卷)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．106 B．206 C．306 D．406
解析：选B.圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝52，由题意得|AC|＝2×5＝10，|BD|＝252－12＝46，且AC⊥BD，四边形ABCD的
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面积S＝2|AC|·|BD|＝2×10×46＝206.故选B.
6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是( )
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
解析：选A.∵圆心P(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离等于5，由|5－r|<1得4 7.(2009年高考天津卷)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________. 12222 解析：x＋y＋2ay＝6，x＋y＝4两式相减得y＝a. 2?y＝1，4a－12a联立?消去y得x＝a2(a＞0)． ?x2＋y2＝4， 4a2－1∴2＝23，解得a＝1. a答案：1 8．过点M(1,2)的直线l将圆A：(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，其中当劣弧最短时，直线l的方程为______________． 解析：当劣弧最短时，MA与直线l垂直． 答案：x－2y＋3＝0 9．(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________． 解析：圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5.圆心(3,4)到原点的距离为5.故 5 cosα＝5， 32 ∴cos∠PO1Q＝2cosα－1＝－5， 3 ∴|PQ|2＝(5)2＋(5)2＋2×(5)2×5＝16.∴|PQ|＝4. 答案：4 10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 4 页 共 6 页 知识改变命运，学习成就未来 解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. |4＋2a|3 (1)若直线l与圆C相切，则有2＝2.解得a＝－4. a＋1 (2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质， ?? 得?CD＋DA＝AC＝2， 1??DA＝2AB＝2. 2 2 2 2 |4＋2a|CD＝2， a＋1 解得a＝－7，或a＝－1. 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 11．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，半径小于5. (1)求直线PQ与圆C的方程； (2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB＝90°，求直线l的方程． 3＋2 解：(1)直线PQ的方程为y－3＝×(x＋1) －1－4 即x＋y－2＝0， 3－24－1 C在PQ的中垂线y－2＝1×(x－2) 即y＝x－1上， 设C(n，n－1)，则r2＝|CQ|2＝(n＋1)2＋(n－4)2， 由题意，有r2＝(23)2＋|n|2， ∴n2＋12＝2n2－6n＋17， ∴n＝1或5，r2＝13或37(舍去)， ∴圆C为(x－1)2＋y2＝13. (2)设直线l的方程为x＋y＋m＝0， ??x＋y＋m＝0由?， 22 ?(x－1)＋y＝13? 得2x2＋(2m－2)x＋m2－12＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， m2－12 则x1＋x2＝1－m，x1x2＝2， ∵∠AOB＝90°，∴x1x2＋y1y2＝0， 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 5 页 共 6 页 知识改变命运，学习成就未来 ∴x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0， ∴m2＋m－12＝0， ∴m＝3或－4(均满足Δ＞0)， ∴l为x＋y＋3＝0或x＋y－4＝0. 12．如右图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解：以O1O2的中点O为原点， O1O2所在直线为x轴， 建立如图所示的坐标系， 则O1(－2,0)，O2(2,0)． 由已知|PM|＝2|PN|， ∴|PM|2＝2|PN|2. 又∵两圆的半径均为1， 所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)， 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点P的轨迹方程为 (x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)． 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 6 页 共 6 页 知识改变命运，学习成就未来 ∴x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0， ∴m2＋m－12＝0， ∴m＝3或－4(均满足Δ＞0)， ∴l为x＋y＋3＝0或x＋y－4＝0. 12．如右图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解：以O1O2的中点O为原点， O1O2所在直线为x轴， 建立如图所示的坐标系， 则O1(－2,0)，O2(2,0)． 由已知|PM|＝2|PN|， ∴|PM|2＝2|PN|2. 又∵两圆的半径均为1， 所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)， 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点P的轨迹方程为 (x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)． 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 6 页 共 6 页