01 真空中的静电场
一、选择题
（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）
1．如图5-1(a)所示，一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为?面上P点（0，a）处的电场强度E为：（A） A．
?（x<0处）和??（x>0处），则xOy平
?2??0a
i； B．
?4??0ai；C．
?4??0a(i?j)； D．0。
yP(0,a)+?O-?xdEyyP?dExdEyPE 图5-1(a)
算，场强叠加原理。
?dq?dx 图5-1(b)
dxlx
Ox 图5-1(c)
[知识点] 半无限长均匀带电杆E的计
[分析与解答] 如图5-1(b)所示，先计算一根长度为l的均匀带电直线在过其一端的垂面上任一点P的场强。 在均匀带电直线上任取一微元dx，其电荷元dq??dx在过其一端的垂面上任一点P的场强dE的大小为
dE?1?dx4π?0x?a2?21/2? 方向如图5-1(b)所示，则 dEx?dEcos???4??0xdx?x22?a2?3/2
dEy?dEsin???4??0adx?x2?a2?3/2，分别积分可得 Ex???4??l0?
lxdx0?x2?a?3/2??4??0????1a?l22?1?? a?? Ey??4??0?ladx0?x2?a2?3/2??4??0a2l?a2当l??时，可得半无限长均匀带电直线在其一端垂面上任一点场强为Ex?可见Ex?Ey，所以场强E的方向与带电直线夹角??45。
o?4??0a， Ey??4??0a
对于题目给出的“无限长”分段均匀的带电直线，可看作是两半无限长均匀带电直线电场的叠加，两段半无限长带电直线在P点的场强方向如图5-1(c)所示，迭加后的场强为
E?E??E??E?cos45oi?E?cos45oi?2E?xi??2??0ai
2．真空中静电场的高斯定律告诉我们：
A．高斯面内不包围自由电荷，则面上各点的E的量值处处为零； B．高斯面上各点的E与面内自由电荷有关，与面外的电荷无关； C．穿过高斯面的E通量，仅与面内自由电荷有关； D．穿过高斯面的E通量为零，则面上各点的E必为零；
E．高斯定律仅适用于对称性电场，不适用于电偶极子的电场。 （C） [知识点] 高斯定理的理解。
[分析与解答] 对于静电场的高斯定理
?SE?dS?1?0?q的正确理解，应注意三个物理量之间的联系与区别。一是通过闭合曲面的电通
S内量为?E??E?dS，而穿过高斯面的电通量仅与高斯面内包围的电荷有关，与面外电荷分布无关，所以?q?0，则?SS内E = 0；二是高
斯面上各点的电场强度E是由空间所有的电荷在高斯面上dS处的矢量叠加，这些电荷包含了高斯面内外的电荷，?E = 0并不说明高斯面上各点的场强E也处处为零；三是电通量与高斯面内电荷的分布无关。
高斯定理是静电场有基本性质之一，表明静电场是有源场，不仅适用对称场，且适用于非对称场，只是在用高斯定理简便计算电场强度E时，才要求场必需有对称性。
3．如图5-2为一具有对称性分布的静电场的场强大小E随场点距离r变化的曲线。试指出该电场是由下列哪一种带电体产生的： A．半径为R的均匀带电球面； B．半径为R的均匀带电球体；
C．半径为R、电荷体密度??Ar（A为常量）的非均匀带电球体；
D．半径为R、电荷体密度??A（A为常量）的非均匀带电球体。 （ D ）
r[知识点] 球对称性分布静电场的E—r关系。
[分析与解答] 依题意，场强分布具有球面对称性，过球内任一点P作一球形高斯面，则由高斯定理有
E1r2?SE?dS?4πrE?21E∝?qi
?0由图5-2知，当r?R时，E为非零常量，则不可能为均匀带电球面（E = 0）或均匀带电球体（E随r变化），则必为非均匀带电球体。设其电荷体密度为?，有
OR
图5-2
r
?qi?243πr?，代入高斯定理
34πrE?14?03πr? 得 ??33?0rE?Ar
4．两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为2a，线电荷密度分别为? A．
?和??，则每单位长度的带电直线所受的作用力的大小为：
?22??0a； B．
?28??0a； C． 0； D．
?24??0a。 （D）
[知识点] 电场与场强的关系F = qE。
[分析与解答] 线密度为+?的无限长均匀带电直线在其附近空间产生的场强大小为
E??2??0r，方向垂直于直线
当r = 2a时，Er??4??0a。
则另一个与之平行的线电荷密度为-?的单位长度的均匀带电直线在此电场中的受力的大小为?
F?qEr?1????4??0a??24??0a?
此力方向垂直于直线，为相互吸引力。?
5．如图5-3所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体对角线的交点A处，则通过侧面abcd的电场强度通量为： A．0； B．
q6?0； C．
q4?0； D．
q8?0。 （B）
[知识点] E通量的计算。
[分析与解答]?设立方体边长为l，则Aa的长度为
adAqbAa?32l
设想以A为球心，以r为半径作一球面，则由高斯定理得通过空心球面的E通量为
ΦE球?q?0
c由场的连续性知，通过立方体六个面的E通量也为
图5-3
ΦE体?ΦE球?q?0
则通过其中一个面的E通量为
ΦE0?
16ΦE体?q6?0
6．静电场的环路定理?E?dl?0，表明静电场是：
L A．保守场； B．非保守场； C．均匀场； D．非均匀场。 （A） [知识点] 环路定理的意义。 [分析与解答]
?E?dl?0，即静电场力沿闭合回路作功为零，静电场为保守场。
?和?2?，若选A板为零电势面，并
7．如图5-4所示，A、B是真空中两块相互平行的无限大均匀带电薄板，其电荷面密度分别为?取
x正方向向右，则图中a点的电场强度和电势分别为：
3?2?0，
，
A．
3?d2?0； B．
?3?2?0，
，
??d2?0；
C．
3?2?0?3?d2?0； D．
?3?2?0?3?d2?0。 （A）
[知识点] 带电平板的电场，场的叠加原理。 [分析与解答] 一个无限大带电平面两侧的场强为
E??2?0，方向垂直于平面。
??a-2?在如图5-4的坐标中，a点的场强为
Ea??2?0i?2?2?0i?3?2?0i
dAdBx
图5-4
a点的电势为 Ua?dEa?3d?2?0
8．在下列关于静电场的表述中，正确的是：
A．初速度为零的点电荷置于静电场中，将一定沿一条电场线运动；
B．带负电的点电荷，在电场中从a点移到b点，若电场力作正功，则a、b两点的电势关系为U C．由点电荷电势公式U?a?Ub；
q4??0r可知，当r?0时，U??；
D．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，其电势越低；
E．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，电场强度的量值就越小。 （E） [知识点] 场强、电势的基本概念。
[分析与解答] 一个点电荷在电场中受力为F = qE，这说明点电荷在运动时加速度a?Fm?qmE是在电场线的切线方向。但是a?dvdt，
故并不能说明速度的方向也时刻沿电场的切线方向，而速度方向才是电荷的运动方向。 电场力是保守力，电场力作正功等于电荷在电场中电势能的减少，即
Aab?Wa?Wb???qUa????qUb??q?Ub?Ua?
现已知Aab >0，则Ub?Ua?0，Ub > Ua。
点电荷是一个理想模型，也是一个相对的概念，当一个带电体自身的线度与所考察的电场区相比较很小时，就可忽略带电体自身的形状和大小而简单地视作点电荷。但是当所考察的空间区域与带电体自身的线度相比并不大很多时，带电体就不能被视作点电荷，所以，如果一个带电体的几何线度为a0，当r的值接近a0时，带电体已不能视作点电荷，故此时公式U?示。
电势是一个相对值，而不是绝对值。电场中某点电势Ua的大小是相对于所选取的电势零点b（Ub = 0）而言，即
q4??0r失效。r?a0处的电势应该另外表
Ua??baE?dl?Ua?Ub
因此，必须在明确了电势零点选在何处时，说电势的高低才有意义。
若选择无穷远为电势零点，那么对一个点电荷而言，在距离点电荷为r的场点处，其电势为U?大，则电势越低；但是对一个-q的电场，r越大，则电势越高。 点电荷的电场E?
9．空间某区域静电场的电场线分布如图5-5所示，现将电量为?q的点电荷由a点经任意路径移到b点，则在下列说法中，正确的是： A．电场强度Ea B．电势Uaq4??0r，所以，对一个+q的电场，r越
q4??0r2er，显然离场源电荷越远的点，r越大，则E越小。
?Eb，电场力作正功；
?Ub，电场力作负功； ?Wb，电场力作正功；
Ea 图5-5
C．电势能Wab
D．电势能Wa?Wb，电场力作负功。 （D）
b[知识点] 非均匀场电场线的性质。
[分析与解答] 电场力移动负电荷的功为 A??q由图可知cos?????，所以?????。又因为??????????????????????A?Wa?Wb???qUa?aEcos?dl
????qUb??q?Ub?Ua??0
可知电场力移动负电荷从a点到b点电场力作负功；负电荷在a点的电势能低于在b点的电势能；a点的电势高于b点的电势。
10．在下列有关静电场的表述中，正确的是： A．电场强度E = 0的点，电势也一定为零； B．同一条电场线上各点的电势不可能相等； C．在电场强度相等的空间内，电势也处处相等；
D．在电势相等的地方，电场强度也都相等。 （B） [知识点] 场强与电势的关系。
[分析与解答] 在静电场中场强与电势的关系为 E??gradU， U??baE?dl
可见空间任一点的场强和电势不是一一对应的关系，某点的场强大小与其附近的电势空间变化率成正比；某点的电势与从该点到电势零点间整个场强分布有关。 场强E = 0，只能说明该点处
?U?n?0，U为常量，但一般U不为零。
在同一条电场线上a、b两点间的电势差为
Ua?Ub??baE?dl??baEdl?0
可见同一条电场线上各点的电势不相等。??
在电场强度相等的空间任选两点a、b，其电势差Ua?Ub?所以一般地Ua?ba，E?dl?ELab?0（其中Lab是a、b两点在平行于电场方向的距离）
?Ub。例两个等量异号的无限大的均匀带电平面间的电场，E处处相等，但电势却不相等。?
对于如图???所示，带电体表面等势，表面场强为E???0，由于表面电荷密度不等，由
++++++++E??gradU可知，只有电势梯度相等的地方，场强才相等。?
二、填空题
1．说明下列各式的物理意义： （1）（2）
+++ 图5-6
++
?aE?dl 表示静电场中，电场力把单位正电荷从a点移到b点所作的功 ；
E?dS 表示通过面积元dS的电场强度通量 ；
dUdnen 表示静电场中任意给定点的电场强度大小等于过该点等势面的法线方向电势的变化率（即最大空间变化率），
b（3）E??方向与法线方向（即电势梯度的方向）相反 。
[知识点] 场强环量、通量的意义，场强与电势的关系。 2．中子是由一个荷电
23e的上夸克和两个荷电?13e的下夸克所构成，设中子内两个下夸克之间相距为r?2.6?10 3.78 N。
?15m，按经典
理论，两个下夸克之间的电相互作用力的大小为F[知识点] 库仑力的计算及中子由夸克构成的知识。 [分析与解答] 由库仑定律，得两下夸克间的斥力为
? F?
14π?0e21?19()?1.6?101233??()?3.78N 2?12?15r4π?8.85?102.6?103．如图5-7(a)所示，有两个带电量均为?q的点电荷，相距为2a，O点为其连线的中点，则在其中垂线上、电场强度值最大的场点P距
O点的距离应为r??22a，而该电场强度值为EPmax?
q33π?0a2 。
[知识点] E分布情况分析，取极值的方法。
y
E+qPryPE+qaq4??0(r?a)22a+qara?+q+q [分析与解答] 两个+q+q的点电荷在其中垂线OP点的场强为
E?q?，方向如图5-7(b)所示
O
图5-7(b)
则总场强在y轴上，且有 E?2E?qsin??2q222r21/24??0(r?a)(r?a)2
P点的场强最大，应满足
dEdr?q2??2?r01/22?a?23/2?r?32?r2?2?a21/2??2r?0
?r22232?a]?3整理得
?r2?a?[?r?a??3r?r?a?2?0
即 r2?a?3r22?0 r??222a
电场强度最大值
EPmax?q2??0?(212a2a?2q33??0
a2?a)3/24．如图5-8所示，一均匀带电细圆环，半径为R，总电量为q，环上有一极小的缺口，缺口宽度为d（d??R），则带电细圆环在圆心
处产生的电场强度大小为E?
qd8π?0R23 ，方向为 由O指向缺口 ；带电细圆环在圆心处产生的电势为U?
q4π?0R(1?d2πR) 。
[知识点] 补偿法。
[分析与解答] 带缺口的带电圆环可以看成一个完整的均匀带电+λ的圆环与缺口处带-λ的电荷元
qd?-dq?叠加而成。
一个完整的均匀带电圆环在圆心处产生的磁场为零，即 E1?0
带-dq的电荷元在圆心处产生的磁场为 E2??ROdq4??0R2 而dq??d?qd2?R
图5-8
则圆心处的场强大小为 E?E1?E2?dq4??0R2?12q38??0Rd，方向由圆心指向缺口。
q4??0R又由于均匀带电完整圆环在圆心处的电势为 U1?
带-dq的电荷元在圆心处的电势为 U2??dq4??0R?U2?q?????
4??0R?2?R?1q则圆心处的电势为 U?U1?q???1??
4??0R?2?R??95．如图5-9所示，A、B两点与O点分别相距5cm和20cm，场源电荷位于O点且Q?10势UBC。若选无限远处为电势零点，则B点的电
? 45 V ；若选A点为电势零点，则UB? -135 V。[知识点] 电势与电势零点。
B[分析与解答] 由电荷的定义U若选U??b?零电势点?BE?dl可知
QO??0，则
?AB
图5-9
UB??AQ4??0rBdr?2??Q4??0r20.20dr?45V
若选U?0，则
AUB??Q4??0rBdr?2?0.05Q4??0r20.20dr??135V
6. 如图5-10所示，在电场强度为E的均匀电场中，有一半径为R、长为l的圆柱面，其轴线与E的方向垂直，在通过轴线并垂直E的方向将此柱面切去一半，则穿过剩下的半圆柱面的电场强度通量为?e? E?2Rl 。 [知识点] E通量的计算与正负。
[分析与解答] 在半圆柱面的右边过轴线补上一个长为l、宽为2R的长方形底面，使之与半圆柱面一起构成一个封闭曲面。则由高斯定理可知
?E?dS?0（高斯面内包围的电荷为零）
REl即 而
?E?dS??E?dS半圆柱面长方形底面?0
?E?dS长方形底面??E?2Rl
?E?2Rl
则 ?e?
?E?dS半圆柱面 图5-10
7．有两个电量均为?q的点电荷，相距为2a。若选取如图5-11所示的高斯面S，则通过S面的电场强度通量?e?
q?0 ；若在S
面上取两块面积相等的面元，则通过S1、S2的电场强度通量?1、?[知识点] E通量的概念。
2的关系为?1 < ?2。（填>、< 或 =）
SS2Oaq[分析与解答] 由高斯定理知，穿过闭合曲面的电通量只与曲面内包围的电荷有关。所以对球面S
Φ0?S1qa??E?dSS?q?0
a取球面的外法线方向为正，对球面S上的S1和S2亦如此。则球内电荷对S1和S2的通量均大于零，分别用?1内和?示，对S2的通量大于零，用?2内 图5-11
表示；球外电荷对S1的通量小于零，用?1外表
2外表示，显然
?1??1内??1外，?2??2内??2外
所以 ?1??2
8．如图5-12所示，两个半径分别为R1、R2的同心球面，R2?2R1，开始时只有外球面均匀带电量?Q2，现将内球面接地，则内球面带电量应为Q1?
?12Q2 。
[知识点] 电势叠加原理，接地U?0。
[分析与解答] 内球面接地，意味着内球面电势U?0，由于内球面内等电势，则球心O点的电势
U0?0
Q2
Q1R1OR2由电势叠加原理知，球心电势是由外球面电荷?Q2在该点的电势与内球面电荷Q1在该点电势的叠加，即有
U0?U外O?U内O ?Q24??0R2?Q14??0R1?0
图5-12
则 Q1??R1R2Q2??12Q2
U3PU2U19. 如图5-13(a)所示，U1、U2、U3为相邻的3个等势面，它们的关系为U1?U2?U3，
图5-13(a) E
则图中的P点
电场强度E的方向为 垂直于U2指向U3 。 [知识点] 场强与电势关系的图线意义。
[分析与解答] 在静电场中，场强E的方向与等势面垂直且指向电势降低的方向，如图5-13(b)
10．如图5-14所示为一电偶极子，其电偶极矩为pe= ql；现将一个电量为?Q的试验电的中心O点处，沿任意路径移到无限远处，则电场力作功为[知识点] 电偶极矩的概念，作功与电势差的关系。
[分析与解答] 电偶极矩为pe?ql，方向由?q指向?q。O点的电势为
PU3U2U1
图5-13(b)
所示。
荷从电偶极子
A? 0 J。
UO?U?q?U?q??q4??l0?q4??l0-q?0
Ol/2-Q∞+ql/222
图5-14
电场力移动试验电荷?Q从O点到无限远处作的功为 AO??q?U0?U????Q?0?0??0
11．如图5-15所示，一带电量为?q的点电荷垂直射入开有小孔的两带电平行板之间，两平行板的面电荷密度分别为??和??，板间距为d，则此点电荷通过电场后它的动能增量为?Ek[知识点] 作功与电势差的关系，动能定理的应用。 [分析与解答] 此两带电平行板间的电场强度为 E?? ?q?d?0 。
??0
-?-q??则板板间的电势差为 ?U?Ed?带电粒子在电场中运动时，电场力作功为 A??q?U?U?d?0d??qd ????0????????d??q?0???0? 图5-15
由动能定理知 ?EK?A?q?d?0Ax?a
12. 已知某静电场的电势函数为U??，式中A和a均为常量，则电场中任意点的电场强度E?
A(x?a)2i 。
[知识点] 场强与电势梯度的关系。
[分析与解答] 由E???U得 Ex???U?x?A?x?a?2
则 E?Exi?
三、计算与证明题
A?x?a?2i
1．如图5-16(a)所示，一带电细线弯成半径为R的圆环，电荷线密度为???0cos?，式中?为常数，? 为半径R与x轴的夹角。试
求圆心O处的电场强度E。
[分析与解答] 如图5-16(b)，取线元dl，其电量为
dq??dl??Rd???0Rcos?d?
dE?1?4???dq2?0R4??cos?d?，方向如图
0所以， E??dE??dExi??dEyj
由于对称性，?dEyj?0
所以，
E??dExi???dEcos?i ???0?04???2?cos20?d?i??4?i
0R0R2．如图5-17所示，半径为R1和R2的两个同心球面A、B上，分别均匀分布着同种电荷Q1（1）用高斯定理计算两球面内、外空间的电场强度分布； （2）试求两球面间的电势差UAB。
（3）球面A的电势UA。
[分析与解答]（1）作半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理有
?SE?dS?E?2SdS?E4?r?1??q
0当r?R1时，
?q?0，E1?0
当R1?r?R?Q12时，q?Q1，E2?4??2
0r当r?RQ1?Q22时，
?q?Q1?Q2，E3?4??0r2
（2）两球面间的电势差为
UQ11AB??BAE2?dr??R2R4??dr?Q10r24???Q10R14??0R
2（3）球面A的电势为
0yRO?x
图5-16(a)
ydldEd?x?xOdEdEy
图5-16(b)
Q2Q1BOR1AR2 图5-17
和Q2。
UA??A?E?dr??RR21E2?dr??R?2E3?dr ??RR21Q14??0r2dr??R?2Q1?Q24??0r2dr
?Q14??0R1Q14??0R1?Q14??0R2Q24??0R2?Q1?Q24??0R2
?
?
3．如图5-18(a)所示，长为L，带电量为Q的均匀带电细杆AB，其延长线上有一点P。 （1）试求P点的电势U；
（2）根据电场强度与电势梯度的关系，试求P点的电场强度E。
[分析与解答] （1）以A点为原点，建立如图5-18(b) 所示坐标，在距A点为x处取微元dx，则 dq?ALBP?dx?QLdx D
图5-18(a)
微元在P点产生的电势为
AxdxLB 图5-18(b)
PDdU?14??0?dqL?D?x
x
则P点的电势为
UP??dU?dU?L14??00??dxL?D?x??4??0lnD?lD?Q4??0LlnD?LD
（2）由电场强度与电势梯度的关系，得
d?QD?L?Q???E??????ln?4??D(D?L)
dxdDdD?4??LD00??dU 4．如图5-19(a)所示，有一均匀带电球面，半径为R，带电量为Q，沿球面径矢方向有一均匀带电细线AB，其电荷线密度为?，长为L，细线A端离球心O的距离为D。设球面与细线上的电荷分布不受对方影响。试求带电细
线所受的电场力。
[分析与解答] 以O点为原点，建立如图5-19(b) 所示坐标，在细线上距O点的距离为x处取微元dx，则dqQRODA?LB
图5-19(a)
??dx。
根据高斯定理知，带电球面在球面外任一点的电场强度为
E?Q4??0x2
Q则细线上的微元dq所受带电球面电场的电场力为 RODA?dxLBxdF?E?dq?14??0?Q?x2dxi
图5-19(b)
则带电细线所受带电球面电场的电场力为
F??dF??DD?L14??0?Q?x2dxi?Q?4??0D(1?1D?L)i
5．有一无限长均匀带电直线，电荷线密度为?（?>0）。 （1）试求其周围任一点的电场强度；
（2） 如图5-20(a)所示，B、C两点位于直线同一侧，它们到直线的距离分别为（3）将试验电荷?xb和xc（xc?xb），试求这两点间的电势差UBC；
q从B点移到C点，电场力所作的功A为多少？?q在B、C两点的电势能哪一个高？
[分析与解答] （1）过任一点P，作半径为x、长为l的圆柱形高斯面（如图5-20(b)），有
? 则 SE?dS?E?2?xl??l? E??02??0x
（2）B、C两点间的电势差为
UBC??CBE?dx??xc?xlnxcb2??x??0xd2??0x
b（3）电场力所作的功为
A??qU???qBC2??lnxc
0xb由于xc?xb，则A?0，电场力作负功。而
A??qUBC??q(UB?UC)?WB?WC?0
所以， WC?WB，?q在C点的电势能高。+
?xBbrlxCPc(a) (b) 图5-20