二元一次方程组
一、重难点
? 了解二元一次方程组及其解的有关概念；
? 掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法； ? 理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解； ? 掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用； ?
通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.
二、知识回顾
1. 在方程2(x+y)-3(y-x)=3中用含x的代数式表示y，则是（ ） A.y=5x-3 B.y=-x-3 C.y=-5x-3 D.y=-5x+3 2. 在等式
，当 x=1时,y=1;x=2时,y=4,则k、b的值为（ ）
A B C D
3. 若
的值为（ ）
A.8 B.2 C.-2 D.-4 4. 若方程组
的解x与y相等，则k=_________。
三、知识梳理
要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有 ，并且未知数的次数都是1，像这样的方程 叫做二元一次方程. 要点诠释：
（1）在方程中“元”是指 ，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的 的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是 . 2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：
二元一次方程的每一个解，都是 ，而不是一个数值，一般要用大括号联立 起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有 未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次 方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有 未知数.例如，二元一 次方程组??3x?4y?5.
?x?2要点诠释：
1
（1）它的一般形式为??a1x?b1y?c1（其中?aa1，a2，b1，b2不同时为零）2x?b2y?c．
2（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一 次方程组． （3）符号“
?”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：
（1）方程组中每个未知数的值应 两个方程，所以检验是否是方程组的解，应 把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方 程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用 联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组??2x?y?5?2x?y?6
无解，而方程组??x?y??12x?2y??2 的解有无数个.
?要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想
二元一次方程组消元转化一元一次方程
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定 的方程进行变形，用含有x（或
y）的代数式表示
y（或x），即变成y?ax?b（或x?ay?b）的形式；
②将y?ax?b（或x?ay?b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消
去
y（或x），得到一个关于x（或y）的 一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入y?ax?b（或x?ay?b）中，求y（或x）的值；
⑤用“
?”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
要点诠释：
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项 的特点，尽可能选择变形后比较简单 或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入 ，只能代入原方程组中的 ；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用 含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这 种方法叫做________法.________法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运 算简便，提高运算速度及准确率.
2
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质， 将原方程组化成有一个未知数的系数 相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质， 将变形后的两个方程 （或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“?”联立在一起即可.
要点诠释：
当方程组中有一个未知数的系数的 或同一个未知数的系数成 时，用加 减消元法较简单.
要点三、实际问题与二元一次方程组
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、三元一次方程组
1． 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程； 2． 含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程， 3． 像这样的方程组叫做三元一次方程组.
??4x?y?z?12,?2a?7b??3x?2y?z??5, ?3,?3a?c?1,等都是三元一次方程组. ??x?y?5z?1,???b?3c?4要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是 方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有 未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是 ，一般的，应利用 或 消去一个未知 数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另 一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组 中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的 方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一
3
元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释：
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入 原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的 解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知 数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的 关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的 ，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：
(1)解实际应用题必须写 ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结 果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
四、典型例题
类型一、二元一次方程组的相关概念 例1.在下列方程中，只有一个解的是（ ） A. ??x?y?1 B. ??3x?3y?0?x?y?1 C. ??3x?3y??2?x?y?1 D. ?x?y?1?3x?3y?4??3x?3y?3
举一反三：
【变式1】若关于x、y的方程?m?1?x?ym?2是二元一次方程，则m = ．
【变式2】已知方程组??x?y?5?3y?b?1有无数多个解，则a、b 的值等于
． ?ax
类型二、二元一次方程组的解法
??2(x?y例2. (黄冈调考)解方程组?)?y?5①?3
?3??2(x?y)?52y??3②4
举一反三：
??x?y【变式】(换元思想)解方程组??6?x?y10?1y
?x???6?x?y10?5 例3.方程
x?2y?3?x?y?1?1的整数解的个数是 ．
举一反三：
??x?y?9【变式】已知二元一次方程组??4
的解为x?a，y?b，则a?1?b? . ??5
x?y?17
类型三、实际问题与二元一次方程组
例4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示， 求每块地砖的长与宽.
60cm
举一反三：
【变式】如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中 阴影部分的面积.
5
例5.（龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车 和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方 案，并求出最少租车费．
举一反三：
【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：
甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹 果70千克。
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
【变式2】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间宿舍 住6人，则有一间只住4人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数.
6
课题：二元一次方程组复习检测一
一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－
12
=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x－x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ） y A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
?x?y?5k2.于x，y的二元一次方程组?的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ）
x?y?9k? A．k=－
3344 B．k= C．k= D．k=－ 44333.程3x+y=7的正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.知x，y满足方程组??x?m?4，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
?y?5?m A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9
5.果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（ ）
?x?1 A．??y?2?x??1B.??y??2?x?2C.??y??1?x??2D.?
y??1??x??2,?ax?by?1是方程组? 6.?的解，则（a+b）·（a－b）的值为（ ）
y?1bx?by?7?? A．－
3535 B． C．－16 D．16 33a－3b
二、填空题（每小题3分，共24分） 7.2x
2a－5b
+y=0是二元一次方程，则a=______，b=______．
?a?122
8.?是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x+2xy+y－1?的值是_________．
b??2?9.出一个解为??x??1的二元一次方程组__________．
?y?210.－b=2，a－c=
19，则（b－c）3－3（b－c）+=________．
42?x?3?x??2和?11知?都是ax+by=7的解，则a=_______，b=______． y?1y?11??7
12方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，则m________． 13方程组
s?2t3s?t=4的解为________． ?32三、解答题
14解方程组（每小题4分，共8分）
?2x?y?5（1）??7x?3y?20
15已知y=3xy+x，求代数式
?x?3y3??(2)?2 5??5(x?2y)??42x?3xy?2y的值．（本小题6分）
x?2xy?y?2x?5y??6?3x?5y?162004
与方程组?16已知方程组?的解相同．求（2a+b）的值．（本小题6分）
?ax?by??4?bx?ay??8
17.按定价销售某种电器时，每台可获利48元，?按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该
电器9台所获得的利润相等．求该电器每台的进价、?定价各是多少元？（本小题7分）
18.方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m木料可以做方桌的桌面50?个或做桌腿300条，现有10m木
料，那么用多少立方米的木料做桌面，?多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌．（本小题7分）
19、乙二人在上午8时，自A、B两地同时相向而行，上午10时相距36km，?二人继续前行，到12时又相
距36km，已知甲每小时比乙多走2km，求A，B两地的距离．（?本小题7分）
8
3
3
9