考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题
例3、已知过函数f(x)?x3?ax2?1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为－3．
（1）求a,b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f(x)?A?1987对于x?[?1,4]恒成立； 【解析】（1）f'?x?=3x2?2ax
依题意得k?f'(1)?3?2a??3,?a??3
?f?x??x3?3x2?1，把B(1,b)代入得b?f(1)??1 ?a??3,b??1
（2）令f'(x)?3x2?6x?0得x?0或x?2 ?f(0)?1,f(2)?23?3?22?1??3 f(?1)??3,f(4)?17
?x?[?1,4],?3?f(x)?17
要使f(x)?A?1987对于x?[?1,4]恒成立，则f(x)的最大值17?A?1987
?A?2004
变式训练1、设函数f(x)?(x?a)2lnx(a?R)
（Ⅰ）若x?e为y?f(x)的极值点，求实数a.
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意x?(0,3e]恒有f(x)?4e2成立（注：e为
自然对数的底数）.
(x-a)2a=(x-a)(2lnx+1-) 【解析】（I）求导得f￠(x)=2(x-a)lnx+xx因为x=e是f(x)的极值点，所以f￠(e)=0
解得a=e或a=3e．
经检验，符合题意，所以a=e，或a=3e
（II）①当0<3a?1时，对于任意的实数x?(0,3a]，恒有f(x)?0立，即0 1符合题意 31②当3a>1时即a> 时，由①知，x?(0,1]时，不等式恒成立，故下 3研究函数在(1,3a]上的最大值， 首先有f(3a)=(3a-a)2ln3a=4a2ln3a此值随着a的增大而增大，故应 有 4a2ln3a￡4e2，即a2ln3a￡e2 故参数a的取值范围是0 1、(2011·荆州质检题)函数f(x)=ax3-3x+1对于x?[1,1]总有f(x)30成立，则a的取值为( ) A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)C．{4} D．[2,4] 11或a>，且a2ln3a￡e2. 33【解析】f￠(x)=3ax2-3，当a￡0时，f(x)min=f(1)=a-2?0，a32，不合题意； 当0 ?f(x)min=f(1)=a-2?0，a32，不合题意；当a>1时，f(-1)=-a+4f(1a)=-2a+1?0，解得a=4.综上所述，a=4，故选C.答案：C 0且 2、设函数y?f(x)在(??,??)内有定义.对于给定的正数K,定义函数 ?f(x),f(x)?K取函数f(x)?2?x?e?x.若对任意的x?(??,??),恒有fk(x)???K,f(x)?Kfk(x)?f(x),则( ) A.K的最大值为2 B.K的最小值为2 C.K的最大值为1 D.K的最小值为1 【解析】 因为fK(x)?f(x)恒成立，所以K≥f(x)?2?x?e?x f?(x)??1?1?0时，解得x?0 xe故x?(??,0)时，f?(x)?0；x?(0,??)时f?(x)?0 所以f(x),在x?(??,0)上为单调递增函数；在x?(0,??)上为单调递减函数。 在x?0处取得最大值f(0)max?1，即K?1。答案：D 3、设函数f(x)在R上的导函数为f￠(x)，且2f(x)+xf￠(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是（ ） A、f(x)>0B、f(x)<0C、f(x)>xD、f(x) 立，故选A. 4、（2012辽宁文）设f(x)lnx+x-1，证明： （1）当x>1时，f(x)<(x-1) （2）当1 29(x-1) （2）记h(x)=f(x)-，则当1 l￠(x)=3(x+5)2-216<0 因此l(x)在(1,3)内是递减函数，又由l(1)=0，得l(x)<0，所以h￠(x)<0. 所以，h(x)在(1,3)内是递减函数，又h(1)=0，所以h(x)<0 9(x-1). x+55、（2012辽宁理）设f?x?=ln?x+1?+x+1+ax+b?a,b?R,a,b为常数?，曲线y=f?x?与直线 于是，当1 在?0,0?点相切. （1）求a,b的值； （2）证明：当0 133?1?，又y'x=0=?++a?=+a，得a=0 2?x+12x+1?x=02x1 ?x+6?-216?x+1?，令gx=x+63-216x+1，则当0 =??????24?x+1??x+6?2g'?x?=3?x+6?-216<0 因此g?x?在?0,2?内是减函数，又由g?0?=0，得g?x?<0，所以h'?x?<0 因此h?x?在?0,2?内是减函数，又由h?0?=0，得h?x?<0， 于是当0 12x?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x 2f(x)?f?(1)ex?1?x?12x?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e 212x?g(x)?f?(x)?ex?1?x 2 得：f(x)?ex?x? g?(x)?ex?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增 f?(x)?0?f?(0)?x?0,f?(x)?0?f?(0)?x?0 得：f(x)的解析式为f(x)?ex?x?12x 2 且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0) （2）f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1) 2 ①当a?1?0时，h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增 x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾 ②当a?1?0时，b?ex?b?0 ③当a?1?0时，h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1) 得：当x?ln(a?1)时，h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0 (a?1)b?(a?1)2?(a?1)2ln(a?1)(a?1?0) 令F(x)?x2?x2lnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx) F?(x)?0?0?x?e,F?(x)?0?x?e 当x?e时，F(x)max?e 2e 2 当a?e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为 7、已知函数f(x)?x2?bx?c?b,c?R?，对任意的x?R，恒有f'?x??f?x?。 （Ⅰ）证明：当x?0时，f?x???x?c?； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意b,c,不等式f?c??f?b??M?c2?b2?恒成立，求M的最小值. 【解析】（Ⅰ）∵对任意的x?R，恒有f'?x??f?x?∴f￠(x)?2x?b?x2?bx?c 即x2?(b?2)x?c?b?0恒成立， ∴(b?2)2?4(c?b)?b2?4?4c?0 2