以特殊四边形为背景的计算与证明
一、以平行四边形为背景的计算与证明
(第1题图)
1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE. 求证：四边形ABCD为平行四边形． 证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC. ∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC， ∴∠AEB＝∠CFD. 在△AEB和△CFD中， ∠BAC＝∠DCF，??
∵?AE＝CF， ??∠AEB＝∠CFD，
∴△AEB≌△CFD(ASA)， ∴AB＝CD. 又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(第2题图)
2．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.求证：四边形ADCE是平行四边形． 证明：∵CE∥AB， ∴∠ADE＝∠CED. 在△AOD与△COE中， ∠ADE＝∠CED，??
∵?∠AOD＝∠COE， ??OA＝OC，
∴△AOD≌△COE(AAS)， ∴OD＝OE. 又∵OA＝OC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
(第3题图)
3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，?ABCD的对角线交于坐标原点O. (1)请直接写出点C，D的坐标．
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程． (3)直接写出平行四边形ABCD的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD关于点O中心对称， ∵点A(－4，2)，B(－1，－2)， ∴点C(4，－2)，D(1，2)．
(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．
(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x轴距离为2，
∴S?ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积， ∴S?ABCD＝5×4＝20.
4．如图，在?ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．
(第4题图)
(第4题图解)
解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC. ∵AB∥DC， ∴∠1＝∠3，
又∵BF平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴BC＝CF＝10，
∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.
二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
(第5题图)
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，
D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.
求证：四边形ABCD是矩形．
12
(第5题图解)
解：如解图，过点E作EF⊥AB于点F. ∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 在△ABE和△CDE中， ∠1＝∠2，??
∵?∠3＝∠4， ??BE＝DE，
∴△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE. 又∵BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AB＝CD＝4.
∵点A(2，n)，B(m，n)(m>2)， ∴AB∥x轴，∴CD∥x轴． ∴m＝6.
1
∴n＝×6＋1＝4.
2
∴点A(2，4)，B(6，4)．
∵△AEB的面积是2，∴EF＝1，
∵?ABCD的面积为△ABE的面积的4倍， ∴S?ABCD＝8，
∴?ABCD的高为2. ∵q ∴四边形ABCD是矩形． 6．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F， 连结CE. 求证：四边形BECD是矩形． (第6题图) 证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD. ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴BE綊CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°， ∴?BECD是矩形． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN. (1)求证：∠PNM＝2∠CBN. (2)求线段AP的长． (第7题图) (第7题图解) 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点， ∴MN∥BC， ∴∠CBN＝∠MNB， ∵∠PNB＝3∠CBN＝∠MNB＋∠PNM， ∴∠PNM＝2∠CBN. (2)如解图，连结AN. 根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN， ∵MN∥AD， ∴∠PAN＝∠ANM. 由(1)知∠PNM＝2∠CBN， ∴∠PAN＝∠PNA， ∴AP＝PN. ∵AB＝CD＝4，M，N分别为AB，CD的中点， ∴DN＝2. 设AP＝x，则PD＝6－x， 222 在Rt△PDN中，∵PD＋DN＝PN， ∴(6－x)＋2＝x，解得x＝10∴AP＝. 3 8．如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF并延长交BC延长线于点E，连结AC. (1)求证：△ADF≌△ECF. (2)若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积． 2 2 2 10. 3 (第8题图) 解：(1)证明：∵F是CD中点， ∴DF＝CF. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，即AD∥CE. ∴∠ADF＝∠ECF， 在△ADF和△ECF中， ∠ADF＝∠ECF，?? ∵?DF＝CF ??∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF≌△ECF(ASA)． (2)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，CD⊥AD. 由(1)知，△ADF≌△ECF. ∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED的面积＝AD·DC＝2. 9．如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC分别交于点M，H. (第9题图) (1)求证：CF＝CH.