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摘要????????????????????????1 前言????????????????????????2 一、 概率论的发展史 ????????????????2 二、 相关知识点?????????????????? 3 三、 应用????????????????????? 4 （一） 概率论在日常生活中的一些简单应用???? 7 （二） 概率论在生物学上的应用?????????11 （三） 概率论在统计物理学上的应用???????12 （四） 概率论在捕鱼上的应用??????????13 （五） 概率论在生产上的应用??????????13 （六） 概率论在体育上的应用??????????14 （七） 概率论在通讯上的应用??????????16 （八） 概率论在医学上的应用??????????18 （九） 概率论在航海上的应用??????????20 （十） 概率论在物理学上的应用?????????21 （十一）概率论在彩票上的应用??????????23
结束语??????????????????????24 参考文献?????????????????????24
概率的起源及其在现实生活中的一些应用
----谈概率在实际生活中的一些应用
乔颖
（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）
摘要：随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化进程加快，具有悠久历史的这门学科概率论获得了越来越大的发展动力和越来越广泛的应用。如今概率论已被广泛的应用于自然科学、环境保护、工程技术、经济理论、经营管理等许多领域。尤其是在经济发展的今天，人们对概率论在实际上的应用取得了更大的进步，使人们能够将主观决策通过客观规律加以改进，取得更大的效益。因此概率论作为一门科学已被人们广泛接受，并已逐渐成为人类社会和经济生活中一种不可缺少的工具。
关键词：概率，条件概率，贝叶斯公式，全概率公式，伯努力公式。
The Root of Probability and some Applications in Practical Life
-----On probability in practical application Qiao Ying
（Department of Mathematics Bohai University Liaoning 121000 China）
Abstract：With the advancement of human society，the development of science and the faster growing of the economic globalization。 Probability theory，which subject has a centuries-old history，has been achieving greater developing motivity and wider application。Nowadays，probability theory has been widely applied to the fields of natural science，environmental conservation，engineering，economic theory management and so on。Especially in the present days when the market economy develops in a growing speed，people have achieved great progress in the practical application of conditional
probability，which endows them with the capacity for their improvement on subjective decision-making through objective laws，and makes them gain more benefits。Therefore，probability theory has been widely accepted as a subject of science，and has become an essential tool both for the human society and the economic life。
Key word：Probability，Conditional Probability，Bayes Formula， Complete Probability Formula，Bernoulli Formula。
1
前言
概率论是一门研究随机现象中的数量规律的数学学科，随机现象在自然界和人类生活中无处不在，在随机现象中的数量规律对于人类认识自身和自然界，有效地进行经济活动和社会活动十分重要，人类的寿命长短、基因的遗传和变异规律、河流的流量变化规律、鱼的泅游规律；在经济活动中，股票价格的涨落，市场需求的变化，资金回报率的变动，保险公司经营状况的变化，等等。它们都是需求研究的，概率论在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用，也获得了越来越大的发展动力。
一、与概率论相关的一些历史
概率论能够发展到今天，且经过一段曲折的历程的，300多年前，当概率论刚刚萌芽时，只是赌博——一种产物，人们在利用纸牌、骰子以及形形色色的工具进行赌博时，遇到了许多无法解释的问题，由于输赢无法预言，涉及金钱的得失，人们试图了解其中的规律，17世纪时，赌徒中的一些有身份的人开始向他们的数学家朋友请教，当时欧洲一些颇有声望的数学家都参加了有关的讨论，如Fermat Pascal 等。由此产生出概率论中的一些最初的概念，以及一些计算，“等可能”类型概率的方法，在漫长的历史进程中，有许多学者讨论过等可能性问题，也讨论过概率论中各种概念的精确化问题。例如，有不少人做过抛掷硬币的试验，表1.2就是其中一些人的试验纪录。 表1.2
2
试验者 Buffon De Morgan Feller Pearson Pearson Lomanovskii 抛硬币次数 4040 4092 10000 12000 24000 80640 出现正面次数 2048 2048 4979 6019 12012 39699 出现正面概率 0.5069 0.5005 0.4979 0.5016 0.5005 0.4923 让我们来分析一下他们的试验，如果以A表示抛出正面，以Nn?A? 表示在n次抛掷硬币中正面的出现次数，那么 fn?A??Nn?A? n就称为正确的出现频率，由表1.2中的数据看出，正面的出现频率并且抛掷次数越多，频率fn?A?就越接近于0.5，fn?A?始终在0.5附近摆动，这一事实表明：
（1） 在抛掷硬币的试验中，关于出现正面和反面的等可能性假定是
合理的；
（2） 随机事件发生的可能性是一个可以度量的客观存在的量，它会
在大数量的重复试验中通过频率fn?A?反映出来的；
（3） 频率fn?A?可以作为概率P?A?的近似值，并且当试验次数n充分
大时，近似程度会足够地好。
但是，人们也不能不注意到上述表述中的不严密之处：何谓“抛掷次数越多，频率fn?A?就越接近P?A?”？这里显然不能用“???语言”来描述。因为我们不可能对任意给出的因为我们不可能对任意给出的?＞0，
3
找到一个自然数n0，使得对一切n＞n0都能成立。
fn?A??P?A?＜?
事实上，人们在这里也不是这个意思，这里的“频率fn?A?越来越接近于P?A?”的含义应当是指“随着n的增大，?fn?A??P?A???? 发生的可能性越来越小”或者说“随着n的增大，事件?fn?A??P?A????的发生概率
P?fn?A??P?A????趋向于0
然而这样一来，人们就又陷入了一个难以摆脱的怪圈之中：一方面“频率接近于概率”表明概率是一个客观存在，并且频率可以作为概率的近似值；另一方面，频率接近概率的本身又需要通过“概率趋于0”来描述，于是，人们不能不问一句“究竟什么是概率？”再加上Bertrand奇论的出现，使得一些人对当时的概率论中的一些概念和方法产生了怀疑，于是人们不得不认真面对这种局面，探讨解决的方法，而解决的方法只有一个，这就是完善概率论自身的理论基础1900年的国际数学家大会后，Hilbert提出了20世纪应解决的23个数学问题，就把这个问题列在其中。不过，Hilbert是把列在数学物理问题类中的，在当时还没有人承认概率论是一个数学分支，因为它没有严密的数学理论基础。概率论的严密数学理论基础是在20世纪30年代奠定的，它应归功于Kdg mogorov所建立的公里化体质，这种公理化体系的建立离不开集合论的测度论的发展，也沟通了概率论与现代数学其他分支的联系。
二、相关知识
（一） 概率的几何定义
假设?是Rn（n=1，2，3）中的任何一个可度量的区域，，从?中随机
4
地选择一点，即?中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随试验的样本空间就是?，假设事件A是?中任何一个可度量的子集，则
P(A)??(A) ?(?)由上式定义的概率称为几何概率，符合上述假定的模型称为几何概型，其中
?(?)与?(A)分别表示?与?中子集A的容积（长度、面积、体积）
（二） 条件概率的定义
如果事件A的概率大于零，则在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为P(B|A)?P(AB) P(A) 注：①条件概率也是一种概率；当P(A)?0时有 ⅰP(B|A)?0
ⅱP(?|A)?1,P(A|A)?1
ⅲ当B1,B2,?Bn?两两互不相容p{(?Bi)|A}??p(Bi|A)
i?1i?1?? ②当p(A)＞0时，P(B|A)?P(B|A)?1，值得注意的是，当
0＜p(A)＜1时，P(B|A)?P(B|A)不一定等于1
（三） 全概率公式
如果事件A1,?,An构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为?；并且p(Ai)＞0，i=1，2，?，n则对任一事件B，有
p(B)??p(Ai)p(B|Ai)
i?1n（四） 贝叶斯公式
如果事件A1,?,An构成一个完备事件组，并且p(Ai)＞0，i=1，?，
5
n，p(B)＞0，则对正整数m，有 p(Am|B)?p(Am)p(B|Am)n??p(A)p(B|A)iii?1p(Am)p(B|Am)（1?m?n）
p(B)（五） 伯努力的定义及其公式
只有两个试验结果的实验称为伯努力实验，如果n次试验相互独立，每次实验中只有A发生与A发生两种结果，并且每次试验中事件A发生的概率都相等，即P(A)?p（0＜p＜1）。这样的试验模型称为n重伯努力概型。
拨努力公式。 在n重伯努力概型中，A发生k次的概率p(Ak)为 p(Ak)?Cnkpkqn?k (0?k?n)其中0＜p＜1，q?1?p
（六） 最大似然估计法
设总体X的概率密度函数为f(x;?1,?2,?,?m)，?1,?2,?,?m是待估参数，设X1,X2,?Xn是取自X的随机样本，则（X1,X2,?Xn）的联合概率密度分布函数f(X1,X2,?,Xn;?1,?2,?,?m)=?f(xi;?1,?,?m)。称它为样
i?1n本的似然函数，记为L(?) 似然估计法的步骤
第一步：写出似然函数L(?)=?f(xi;?1,?,?m)（或?p(xi;?1,?,?m)
i?1i?1nn离散型）；
?,?,??； 第二步：求出使L(?)达到最大值的?1m?,?,??参数?,??的估计量，用的??,?,??函数作为第三步：用作为?1m1m1m?1,??m同一函数估计量
6
注：①求函数最大值点，通常先求函数的驻点，鉴于L(?)是n个 因式乘机的形式，而且L(?)与㏑L(?)同时达到最大值，因 此在第二步中常常是先取对数㏑L(?)；再求导数（或偏导 数?㏑L(?)/??）并令其为零求出函数的驻点，在很多情况 下，其驻点就是函数的最大值点，也就是参数?的最大似然估
计。
②如果L(?)的最大值点是在其导数不存在甚至在L(?)的不连续点
处取得，则应根据函数的具体情况讨论。 （七） 正态分布
正态分布在所有分布中具有特殊的重要地位，其概率密度为
f(x)?12??e?(x??)22?2(??＜x＜??)其中?和?均为常数，且?＞0，简记
x?N(?,?2)
特别地，当?=0，?=1时，称X服从标准正态分布，记为x?N(0,1) ，其概率密度为?(x)?数通常用?(x)表示
?(x)=1-?(?x)，F(x)??(x??12?e?x22，(??＜x＜??)标准正态分布的分布函
?)，f(x)?1??(x???)?p(A)p(B|A)
iii?13三、应用
（一）概率论在日常生活中的一些简单应用
例1．2n个同学来自n个不同班级，每班两人，现让他们随机地坐成一排，试求有同班二人不相邻的概率[1]。
解：以E表示有同班二人不相邻的事件，显然?就是2n个同学的一
7
切排列的集合，所以???2n?！但是E不易直接求得，因为其中情形比较复杂，需要分别考虑有几个班的两个人相邻还需考虑两个人相距多远，等等。但是对立事件Ec表示各班二人都相邻，容易知道Ec?2nn! ，因此就有P?EC?2nn!1??. ?2n?!?2n?1?!!1。
?2n?1?!!再利用概率的性质，即得 P?E??1?P?Ec??1?例2．从0，1，2，??，9这10个数码中不放回地任取n个数的乘积可以被10整除的概率[1]。
解：以En表示这n个数的乘积可以被10整除的事件，显然有1?n?10。
n?1时，我们只取一个数码，当且仅当该数码是
0时，可以被
10整除，所以P?E??1。 10 n?10时，所有数码全部取出，它们的乘积一定可被10整除，所以P?E0??1
在其余情况下，我们以An表示被取出n个数码中有0的事件，用Bn表示所取出的n个数码中没有a，但是n个数的乘积可以被10整除的事件。显然有 AnBn??，An?Bn?En，所以P?En??P?An??P?Bn?
容易求得P?An?，事实上??C ， An?C ，所以P?An??n0n?19C9n?1nC10
下面来求P?Bn?
在6?n?9时，所取出的n个数码中一定有偶数，当Bn发生时，该偶数不是0，因此与一定要取出，乘积才可被10整除，除了5以外，其余n-1个数码可在除了0和5之外其余8个数码才任取。因此Bn?C8n?1 ，故
8
C9n?1?C8n?1 6?n?9 P?En??P?An??P?Bn??nC10特别地，我们有
88C9?C89?1 P?E9????1 910C10在2?n?5时，若Bn发生，则5一定被取出，并且还至少取出了一个非0偶数
在5被取出的情况下，其余n-1个数全为奇数的取法有C4n?1种，所以
n?1 Bn?C8n?1?C4n?1C9n?1?C8n?1?C4故得 P?En??P?An??P?Bn?? 2?n?5 nC10例3.平面内画有一族间距为a的平行直线，向平面上随机抛掷一个直径为l的半圆型塑料片，其中l＜a，试求塑料片与直线相交的概率[2]
解：将原有的半圆塑料片称为“甲片”，另取一个同样的半圆型塑料片，称为“乙片”。设想塑料片没有厚度，将它们拼成一个直径为l的圆。现在向平面上抛掷这个圆型塑料片。分别以A和B表示“甲片”和“乙片”与直线相交的事件，而AB表示“甲片”和“乙片”都与直线相交的事件，注意到半圆是凸图形，所以AB等价于两个“半圆”的公共直径（相当于一根长度为l的针）与直线相交的事件。易知P?A??P?B?，由例1.6.4的计算知P?AB??2l?a，我们来求P?A?B?，以d为圆心到直径的最近距离，易
知
a?????d|0?d??2??L?A?B?l?l?? L???a?a，
l??A?B??d|0?d??2??。所以
P?A?B??由概率的加法公式知P?A?B??P?A??P?B??P?AB??2P?A??P?AB?
9
1?l?lP?A?B??P?AB?2所以求得P?A?? ?2?a例4.从一副去掉了大小王的扑克牌（共52张）中任意取出13张牌。试求其中恰有k对同花K-Q的概率[2]。
解：以Ak表示取出的13张牌中恰有k对同花K-Q的事件，显然?就
13是从52张牌中任取13张牌的所有不同取法的集合，所以??C52。
当事件Ak发生时，4对同花K-Q都被取出，于是只需从其余52-8=44
5张牌中再任取5张牌，所以A4?C44，
5C44（P?A4??13）
C52如果0?k?3，则当事件Ak发生时，除了有k对同花K-Q被取出外，还可能会有j种花色的单张K或单张Q被取出，其中0?j?4?k，我们用
Bj表示j种花色的单张K或单张Q被取出的事件，那么就有Ak??Bj。
j?04?k这样一来，便知，有Ak?Ak?Bj??AkBj
j?0j?04?k4?k易知上式右端的事件两两不交，所以由概率测度的性质5?，即有限可加性知P?Ak???P?AkBj?。
j?04?k我们来求AkBj。在事件AkBj发生时，有k对同花K-Q被取出，还有另外j种花色的单张K或单张Q被取出，并且还要从其他点数的44张牌
13?2k?j中取出13-2k-j张，所以AkBj?C4kC4j?k2jC44
故由上面的公式即得
10
k13?2k?jP?Ak???P?AkBj???C4C4j?k2jC44j?0j?04?k4?k4?k??2C4!!Cj?0k!j!?4?k?j?j13?2k?j441352
k=0，1，2，3 上述结果中的因子
4!很有趣，它是把4种花色的牌分成成
k!j!?4?k?j?!对取出K-Q（有k种花色），单张取出K或Q（有j种花色）和既未取出K也未取出Q（有4-k-j种花色）的三种类型的“多组组合”方式数目，而
13?2k?j2j是取出单张K或Q的取法数目，则是其余13-2k-j张牌的取法数C44目。
（二） 在生物学上的应用
例5.几个细胞被有害放射线照射后，染色体破裂成含“中心体”一边（称为长段）与另一边（称为短段），这2n个小段随后又随机地结合成新的几对，若两个长段相结合或两个短段相结合，细胞就会死去。试求：[3]
（1） 这些细胞仍按原样结合（事件A）的概率。 （2） 有n个细胞接活（事件B）的概率。
解：D在这2n个小段中，任意取出的第一个小段和其余2n-1个小段结合时，有2n-1种结合法，第二个小段和剩下的2n-3段结合时有2n-3种结合法??，第n个小段和剩下一个小段有一种结合法。因此，2n个小段共有（2n-1）（2n-3）??5·3·1种结合法。这就是基本事件总数。其中，只有一种结合法（一个基本事件）是对事件A有利的。因此，事
12nn!件A的概率是P?A?? ?1?3?5???2n?3??2n?1??2n?!
11
（2）可能结合数（基本事件总数）和D相同，任取的第一个长段（或短段）和几个短段（或长段）有几种结合法，第二对长段或短段有n-1种结合法，??，有n对长段和短段有一种结合法。因为，对事件B有利的基本事件数等于n（n-1）·??2·1=n！。所以事件B的概率是
n!2nP?B???n
1?3?5???2n?3??2n?1?C2（三）概率论在统计物理学上的应用
例6.（波尔兹曼统计学）。设有n个不同的质点，每个都以同样的概率
1 落在N（N＞n）个格子中的每一格（没每个格子能容纳的质点数N没有限制），试求：
（1） 某指定的n个格子中各有一个质点（事件A）的概率。 （2） 任意n个格子中各有一个质点（事件B）的概率[4]。
解：（1）先计算基本事件点数，我们分n个步骤把n个质点分配到N个格子中去，每一步都有N种方法，共有不同种方法数（基本事件总数）为
N?N??N?Nn ???????n个再计算有利事件个数，我们分几个步骤把n个质点分配到n个指定格子中去，第一步有n种方法，第二步有n-1种方法，??，第n步有一种方法。共有n！种方法。所求概率P?A??n!。 Nnn （2）从N个格子中，选取n个格子的方法数为CN，这时，有利事件个数nCN?n!N!为C?n!，所求概率P?B?? ?nnNN?N?n?!nN（四）概率论在捕鱼上的应用
例7．设从某一湖里捕得1000条鱼，涂以红色点后放回，经过适当时间
12
以后，再捕1000条鱼，发现其中有100条是涂了红点的鱼，试估计湖中共有多少条鱼。
解：设湖中有n条鱼，第一次捕得n1条鱼，都做上记号（本题中，，n1=1000）第二次捕得r条鱼（r=1000），其中有记号的有k条（k=100），则第二次捕鱼中，出现恰有k条有记号鱼这一事件的概率为Pk?n??kr?kCnCn?n11rCn
?）作为估计数。我们求n，使这一概率为最大，并把这时的n（记为n（称为
n的最大自然估计值）。 由于
kr?kr?krrCnCCPk?n?Cn?n1n?r?knn?nn?n1Cn?1k?n?111???C?C?nn?1?rkr?kr?kr??Pk?n?1?n?n?r?knn?kCnCnCCC??1n?1?n1n?n1?1n1?n?nn1?nr?n1rn2?nn1?nr?nk2因此，
当n?k＜n1r时，这个比值大于1；当n?k＞n1r时，比值小于1，这就是说，
Pr?n?。
当n＜
n1rnr时，是n的增函数；而当n＞1时是n的减函数，所以，当n为kkn1r1000?1000???10000 的最大整数时，它达到最大值n100k不超过
（五）概率论在生产上的应用
例8.某工厂的第一、二、三号车间生产同一产品，产量各占总产量的
111，，，次品率分别为1％，1％和2％。现从该厂产品中随机抽取一236件，发现且次品。试求它是一号车间生产的概率[4]。
解：以B表示该产品是次品的 事件，再分别以A1，A2，A3表示该产品是第一、二、三号车间生产的事件。我们要来求条件概率P?A1|B?
13
P?A1??111，P?A2??，P?A3??， 236P?B|A1??P?B|A2??1％，P?B|A3??2％，
1?11?P?B???P?Ak?P?B|Ak??0.01?????0.02??0.0117
6?23?k?11P?A1B?P?A1?P?B|A1?2?0.427 ??我们有P?A1|B??P?B?P?B?0.01170.01?3（六）概率论在体育上的应用
例9.包括甲乙二人在内的2n名乒乓球运动员参加一场淘汰赛，第一轮将他们任意两两配对比赛，然后2n?1名胜者再任意两两配对进行第二轮比赛，如此下去，直至第n轮决出一名冠军为止，假定每一名运动员在各轮比赛中胜负都是等可能的，求甲乙二人在这场比赛中相遇的概率[5]。 解：在参赛人数为2n时，记甲、乙人在这场比赛中相遇的概率为Pn，并记他们在第一轮比赛中就相遇的概率为qn。 我们来对n进行讨论
如果n?1，则一共只有甲乙两个人参加比赛，他们一定在第一轮相遇，所以p1?q1?1
如果n?2，则有包括甲乙二人在内的4个人参加比赛。分别以A和B记他们在第二轮和第一轮比赛中相遇的事件。于是有
p2?P?A??P?AB??P?A??P?A?P?B|A??q2??1?q2?P?B|A?
显然，甲乙二人在第一轮相遇，当且仅当他们在第一轮中配为一对，采用无编号分组模式考虑，知4个人两两配对的方式有3种，而甲乙二人配为一对的配对方式只有一种，所以q2?。如果甲乙二人在第一轮中没有相遇，那么他们只有在二人战胜了对手进入第二轮比赛时才会相遇，
14
13
并且由此第二轮中只有甲乙两个人比赛，所以只要他们都能进入第二轮，那么他们一定相遇，所以P?B|A??。这样一来，便知
p2?q2??1?q2?P?B|A??1211?? 334214如上的结果，使我们有理由猜测：对一切n，都应当有pn?12n?1
现在就让我们用归纳法证明这个猜测。当n?1和n?2时，结论已经成立。 假设pk?12k?1，我们来看n?k?1的情况，仍分别用A和B记甲乙二人
在第一轮比赛和后续的比赛中相遇的事件，于是有
pk?1?P?A??P?AB??P?A??P?A?P?B|A??qk?1??1?qk?1?P?B|A?
由于甲乙二人在第一轮相遇，当且仅当它们在第一轮中配为一对，采
?2?!种，
取无编号分组模式考虑，知2个人两两配对的方式一共有
2?2?!?2?2?!种，将上述二式相除，
其中甲乙二人配为一队的配对方式有
2?2?1?!k?1k?12kkk?12k?1k即得qk?12?2k1 ?k?1k?1?k?122?12?1??如果甲乙二人在第一轮比赛中没有相遇，那么欲他们在后续的比赛中相遇，就必须他们二人在第一轮比赛中双战胜了对手，因其余2k?2名胜者一道进入下一轮比赛，而从这时开始便是2k名运动员按照原来的比赛规则进行比赛，所以只要甲乙二人都能进入后续的比赛，那么他们在后续比赛中相遇的概率就是pk，所以有P?B|A??于是结合归纳假设即知
1pk 4 15
11?1?pk?1?qr?1??1?qk?1?P?B|A??qk?1??1?qk?1?q4?qk??1?qk?qk?144?4?
11?11??k?1??1?k?1?k?1?k2?2?2?12所以结论在n?k?1时仍然成立
综上所述，知甲乙二人在比赛中相遇的概率为pn?（七）概率论在通讯上的应用
例10.甲乙二人之间经常用E-mail （电子信件）相互联系，他们约定在收到对方信件的当天即个回音（即回一个E-mail）。由于线路问题，每n份E-mail中会有1份不能在当天送达收件人。甲在某日发了一份E-mail给乙，但未在当天收到乙的回音。试求乙在当天收到了甲发给他的E-mail的概率。
解: 在这个问题中,包含有两个不确定的环节:一个是甲发给乙的E-mail不一定能在当天到达乙处,二是乙所回的E-mail不一定能在当天到达甲处.至于乙是否回E-mail,则完全取决于他是否收到了甲发来的E-mail,即在“到”与“回” E-mail之完全是一种确定的关系,我们以A表示乙在当天收到了甲发给他的E-mail的事件,以B表示甲在当天收到乙回给他的E-mail的事件,要来求条件概率 p(A|B), 显然A和A够成了一个对? 的分划,由题中条件知
p(A)=
n?11, p(B|A)=, P(B|A)=1 nn1。 2n所以有Bayes公式知
n?11?n?1P(A)P(B|A)nn== P(A|B)?2n?1P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)n?111???1nnn例11.在电报中,应用点“ .”和线“---”两种讯号传递信息,故障的
16
统计性质是:点讯号传递中平均有失真(即发出点讯号而收到线讯号),线讯号传递中平均有失真(即发出线讯号而收到点讯号).已知传递信息中,发出点讯号和线讯号数量的比为5:3.求收到点讯号和线讯号时,实际发出的也是点讯号和线讯号的概率?
解:设A---收到点讯号事件,B---收到线讯号事件.能作出两种假设:H1---发出点讯号,H2---发出线讯号,按条件,发出点讯号的概率为
55?5?381325,发出线讯号的概率为
33?5?38,已知
223p(B|H1)=,因此p(A|H1)=1- p(B|H1)=1-=。
555112p(A|H2)=，因此p(B|H2)=1- p(A|H2)=1-=。我们要求的是p(H1|A)333和p(H2|B)，由全概率公式
p(A)=p(H1)p(A|H1)+p(H2)p(A|H2)
=????
p(B)= p(H1)p(B|H1)+p(H2)p(B|H2)
5385318312 =????
53?p(H1)p(A|H1)853所以p(H1|A)==?
1p(A)425825328312 p(H2|B)=
p(H2)p(B|H2)1= 2p(B)34即收到点讯号而发出的也是点讯号的概率为，收到线讯号而发出的也是线讯号的概率为。
（八）概率论在医学上的应用
例12.若有一种对某种癌病的诊断实验，这种方法对有癌的病人做试验得到结果是阳性的概率是0.95，对无癌的病人做试验得到的结果是阴
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12性的概率是0.95，设这种癌的发病率是0.0003，问试验结果是阳性的病人确有癌的概率是多少？试验结果是阴性的病人却无癌的概率是多少？（这两种概率分别是这种诊断试验的阳性可靠性或阴性可靠性）
解：设A表示患有癌病这一事件，A表示无癌病这一事件。 B表示试验结果为阳性这一事件，B表示结果为阳性这一事件，则
p(B|A)=0.95，p(B|A)?0.95 p(A)=0.0003，p(B|A)=1-0.95=0.05
p(B|A)=1-0.95=0.05，P(A)=1-0.0003=0.9997 p(B)?p(A)?p(B|A)?p(A)p(B|A)
?0.0003?0.95?0.9997?0.05
?0.05
p(B)?p(A)p(B|A)?p(A)?p(B|A)
?0.0003?0.05?0.9997?0.05
?0.95
p(A|B)?p(A)?P(B|A)0.0003?0.95?
P(B)0.005 =0.0057
p(A|B)?p(A)p(B|A)0.9997?0.95??0.9997
p(B)0.95可见，由于这种癌的发病率并不高，以致这一诊断试验的阳性可靠性实际上是很低的。
例13.某中疾病的自然痊愈率为0.10，为了检验一种治疗该病的新药是否有效，将它给患该病的10位自愿者服用，按约定：若10名受试者中至少有3人痊愈就认为该药有效，否则认为完全无效，按此
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约定，求新药实际上完全无效但被定为有效的概率？
解：设事件A表示“新药完全无效但被定为有效”。由于至少有3个痊愈才被定为有效，若新药完全无效，则表明痊愈者均为自愈患者。由于每个患者的自愈率都是0.10，且各患者自愈与否互不影响，这是一个十重伯努力概型问题，于是有，
k p(A)??C10?0.1k?0.910?k
k?3102 =1?(0.910?10?0.1?0.99?C10?0.12?0.98)
?0.07
例14．某种疾病在牲畜中传染的概率是25%
1） 求在正常情况下（未注射防疫血清时），50头牲畜和39头牲畜中，受到感染的可能头数？
2） 设对17头牲畜注射甲种血清后，其中仍有两头受到感染，试问：
这两种血清是否有效？哪一种更有效？
解： 1）n=50， p=0.25 q=1-0.25=0.75
（n+1）? p=12.75，不超过（n+1）?p的最大整数是12，所以，50头牲畜中到感染最可能头数是12
n=39， p=0.25， （n+1）?p=40?0.25=10是一个整数，所以39头
牲畜中，最可能感染头数有两个值：r0?10，r0??r0?1?9
3） 假设血清无效，则17头牲畜中至多一头感染的概率为
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01p1?p17(0)?p17(1)?C17?(1?0.25)17?C17?0.25?(1?0.25)16
?0.0501
在23头牲畜中，至多两头受到感染的概率为
p2?p23(0)?p23(1)?p23(2)
012 ?C23(1?0.25)23?C23?0.25?(1?0.25)22?C23?0.252?(1?0.25)21
?0.0492
由于假定血清无效而得出相应事件出现的概率很小，所以，可以初步判定两种血 清都是有效的，由于p1＜p2，我们可以认为乙种血清的效果更好一些。
（九）概率论在航海上的应用
例15．两艘轮船要靠同一码头，它们靠码头的时间是彼此独立的，在已定的一昼夜内，靠岸的时间是等可能的，如果第一艘轮船停泊6小时，第二艘轮船停泊 10小时，求其中一艘轮船等待另一艘轮 船离开码头的概率？
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解：我们以x表示第一艘轮船到达码头的时间，y表示第二艘轮船到码头时间，第一艘轮船等待第二艘轮船的条件是x-y?10，第二艘轮船等待第一艘轮船的条件是y-x?6，我们把x和y表示成平面上笛卡尔坐标。所有可能结果都被边长24的正方形内的点表出，作出直线
x-y=10和y-x=6，则坐标同时满足条件x-y?10和y-x?6的点都在正方形内两直线所夹的阴影部分内。所求概率等于阴影部分面积与正方形面积之比：
18214224?(?)SOMNBPQ22?0.55 P==224SOABC2（十）概率论在物理学上的应用
例16，一个开关电路如图所示，假设开关a，b，c，d开或关的概率都是0.5，且各开关是否关闭相互独立，求灯亮的概率以及如果发现灯亮时，开关a与b关闭的概率？
解：令事件A、B、C、D分别表示开关a、b、c、d关闭，显然A、B、C、D相互独立，事件E表示灯亮，则
P(E)?P(AB?C?D)
=P(AB)?P(C)?P(D)?P(ABC)?P(ABD)?P(CD)?P(ABCD)=
P(A)P(B)?P(C)?P(D)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(D)?P(C)P(D)?P(A)P(B)P(C)P(D) ?0.8125
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P(AB|E)?P(AB)0.25??0.31 P(E)0.8125例17． 设电源电压U-N（220，252）（单位：V），通常有三种状态：（a）电压不超过200 V；（b）电压在200-240 V之间；（c）电压超过240 V，在上述三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，试求：⑴电子元件损坏的概率。⑵在电子元件损坏的情况下，分析电压所处的状态。
解：㈠以B表示电子元件损坏，A1,A2,A3分别表示电压的三种状态，则由题设有
p(B|A1)=0.1，p(B|A2)=0.001，p(B|A3)=0.2
而由全概率公式 p(B)??p(Ai)p(B|Ai)，所以，要计算电子元件损坏概率
i?13必须先计算概率p(Ai)（i=1，2，3）根据假设及一般正态分布标准化的方法：
U?220200?220U?220?}=P{??0.8} }=P{p(A1)=P{U?200252525 =?（-0.8）=1-?（0.8）=0.2119 由对称性 p(A3)?p(A1)=1-?（0.8）=0.2119 p(A2)?1?p(A1)?p(A3)=0.5762 将此结果代入全概率公式，即
p(B)?0.2119?0.1?0.5762?0.001?0.2119?0.2?0.00642
㈡这个问题相当于计算p(Ai|B)(i?1,2,3)。根据贝叶斯公式 p(A1|B)?p(A1)p(B|A1)0.2119?0.1??0.3301
p(B)0.0642类似地可以计算出其余两个条件概率分别为p(A2|B)?0.0090
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p(A3|B)?0.6601
计算可知，在电子元件损坏的条件下，电压超过240V的概率最大。 （十一） 概率论在彩票上的应用
例18．“齐鲁福利风彩”彩票的模奖方法是30选7，即每一注彩票都是从1~30中选7个数构成，开奖时，先摇出7个基本号码，再摇出1个特殊号码，中奖方法如下：一等奖；所选7个号码全部为基本号码；二等奖：所选7个号码中有6个是基本号码，而另一个必须是特殊号码（即6+1）；三等奖：所选7个号码中有6个是基本号码，而另一个随便；四等奖：所选7个基本号码中有5个是基本号码，一个是特殊号码，另外一个随便（即5+1），依次类推，某人花2元钱投了一注彩票，试计算该注彩票获一等奖、二等奖、三等奖的概率分别是多少？
分析：这是一个典型的等可能事件的概率问题，只需计算出n，m即可；投一注彩票，即是从30个号码中选7个号码
7解：从30个号码中选出7个，，即构成一注彩票，所有可能的选法共有C307种，即基本事件的总数n=C30。设开奖后摇出的基本号码是a1,a2,a3,?a7,，
特殊号码是a8，那么该注彩票获得一等奖的选法只有一种，即只能选
a1,a2,a3,?a7,，故m=1，因此获一等奖的概率为p1?1?7 ?1.912?107C30该注彩票获得二等奖的选法有C76C11=7种，故m=7，因此获得二等奖的概率为 p2?7?6?3.44?10 7C301该注彩票获得三等奖的选法有C76C22=154，即m=154，因此获得三等奖的
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概率为 p3?154?7.56?10?5 7C30结束语
概率的应用说明了理论与实践之间的密切关系,许多研究方向的提出;归根到底是有其实际背景的,反过来,当今这些方向被深入研究后,又可指导实践,进一步扩大和深化应用范围.
概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展,值得指出的是,在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已经有很好的结果.在社会科学领域,特别是经济学研究最优决策和经济的稳定增长等问题,也大量采用概率论方法.正如拉普拉斯所说:”生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上概率问题.”
总而言之,概率论是数学中一个非常重要的分支.概率的理论与方法在科学技术方面,如理论物理学,测地学,天文学,误差论,空间技术和自动控制等方面,都随着广泛的应用,在概率论基础上建立起来的数理统计学,正直接地为生产计划和组织,工艺过程分析,质量检查和控制以及许多其它目的而服务.概率论思想渗透到科学技术的各个领域 ,已经成为当代科学发展的一个特点,作为科学技术的重要工具正在蓬勃发展中。
参考文献
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[4]朱燕堂 赵选民 徐伟编著 《应用概率论统计方法》 西北工业大学出版社 2004.7 [5]杨振明编著 《概率论》 科学出版社 2004.8 [6]李文林编著 《数学史概论》高等教育出版社 2002.8
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