课后集训
基础达标
1.若点A的坐标为（x1,y1），AB的坐标为（x2,y2），则点B的坐标为（ ） A．（x1-x2,y1-y2） B．(x1+x2,y1+y2) C．(x2-x1,y2-y1) D．以上皆不对 解析：∵AB=OB-OA， ∴（x2,y2）=(x,y)-(x1,y1).
∴(x,y)=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2), ∴应选B. 答案：B
2.已知AB=（x1,y1）,CB=(x2,y2),CD=(x3,y3)，则AD等于（ ） A．（x1+x2+x3,y1+y2+y3） B．(x1+x2-x3,y1+y2-y3) C．(x1-x2+x3,y1-y2+y3) D．(-x1+x2+x3,-y1+y2+y3) 解析：∵AD=AB+BC+CD=(x1,y1)-(x2,y2)+(x3,y3)=(x1-x2+x3,y1-y2+y3). ∴应选C. 答案：C
3.已知A（3，4），B（-5，5），且a=（x-3,x2+4x-4）.若a=AB,则x的值等于（ ） A．1或-5 B．1 C．-5 D．-1或5
??8?x?3,解析：∵AB=(-5,5)-(3,4)=(-8,1),a=(x-3,x+4x-4).若AB=a，则?2解得x=-5.∴
?x?4x?4?1,2
应选C. 答案：C
4.设a=（-1，2），b=（1，-1），c=（3，-2），若c=pa+qb，则实数p、q的值为（ ） A．p=4,q=1 B．p=1,q=4 C．p=0,q=4 D．p=1,q=-4 解析：∵c=pa+qb=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p,2p)+(q,-q)=(-p+q,2p-q),又∵c=(3,-2), ∴???p?q?3,?p?1,解得?
2p?q??2,q?4.??∴应选B. 答案：B 5.已知
ABCD中，AD=（3，7），AB=（-2，3），对角线AC、BD交于点O，则CO的
坐标为（ ） A．（-
1111，5） B．（，5） C．（-，-5） D．（，-5） 2222解析：AC=AB+AD=（-2，3）+（3，7）=（1，10），
11， AC=（，5）
221∴CO=（-，-5）.
2∴OC=∴应选C. 答案：C
1112，-），C（-，），则下列计算正确的是（ ） 2323111A．向量AB的坐标为（-，） B．向量BC的坐标为（0，）
233121C．向量CA的坐标为（-，） D．向量AC+AB的坐标为（0，）
2331111解析：AB=（，-）-（0，0）=（，-），
23231211， BC=（-，）-（，-）=（-1，1）
23231212， CA=（0，0）-（-，）=（，-）
232312111AC+AB=（-，）+（，-）=（0，）.
232336.已知A（0，0），B（故D是正确的.
答案：D 综合运用
7.已知点A（-1，5），若向量AB和向量a=（2，3）同向，AB=3a，则点B的坐标为__________. 解析：由AB=3a=（6，9）得，OB=OA+AB=（-1，5）+（6，9）=（5，14），即B（5，14）. 答案：（5，14）
8.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足
OC=αOA+βOB，其中α，β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为（ ）
A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 解析：设OC=（x,y）,OA=(3,1), OB(-1,3), ∵OC=αOA+βOB， ∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3).
?x?3???,∴?
y???3?.?又α+β=1, ∴x+2y-5=0.
∴应选D. 答案：D
9.已知点A（-1，2），B（2，8）及AC=
11AB，DA=-BA，求点C、D和CD的坐标. 33解：设C、D的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),由题意可得
AC=（x1+1,y1-2）,AB=(3,6), DA=(-1-x2,2-y2), BA=(-3,-6).
11AB,DA=-BA， 3311∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=- (-3,-6),
33∵AC=
也就是（x1+1,y1-2）=(1,2),(-1-x2, 2-y2)=(1,2). ∴??x1?1?1,??1?x2?1,和?
?y1?2?2,?2?y2?2.?x1?0,?x1??2,∴?和?
y?4,y?0.?1?1∴C、D的坐标分别为（0，4）和（-2，0）. 因为CD=（-2，-4）. 拓展探究
10.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP=OA+tAB，试问：（1）t为何值时，P在x轴上？
(2)t为何值时，P在第二象限？
（3）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 解：（1）∵O（0，0）、A（1，2）、B（4，5）， ∴OA=（1，2），AB=（4-1，5-2）=（3，3）. 不妨设P（x,y）,∴OP=(x,y). ∵P在x轴上，则y=0, ∵OP=OA+tAB, ∴(x,0)=(1,2)+t(3,3).
2??x?1?3t,?t??,2∴?∴?3∴t=-.
3?0?2?3t.?x??1.?（2）若P在第二象限，则??x?0,
?y?0,
且（x,y）=(1,2)+t(3,3). ∴?∴-
?x?1?3t,?1?3t?0∴?
?y?2?3t.?2?3t?0.21＜t＜-. 33（3）因为OA=（1，2），
PB=OB-OP=（3-3t,3-3t）.
若OABP为平行四边形，需OA=PB.
?3?3t?1,因为?所以无解,
3?3t?2,?故四边形OABP不可能为平行四边形. 备选习题
11.已知AB=（-2，5），B=（1，-3）,则A点坐标为_________________. 解析：设A（x,y）,则AB=(1-x,-3-y)=(-2,5), ∴??1?x??2,?x?3, ????(y?3)?5,?y??8.∴A点坐标为（3，-8）. 答案：（3，-8）
12.已知点A（1，2），B（-2，3），C（3，5）且OA'=3OA，OB'=5OB,OC'=-2BC，求A′、B′、C′点的坐标.
解：OA'=3OA=3（1，2）=（3，6），
∴A′点的坐标为（3，6）；OB'=5OB=5（-2，3）=（-10，15）. ∴B′点的坐标为（-10，15）；
OC'=-2BC=-2［(3,5)-(-2,3)］=-2(5,2)=(-10,-4).
∴C′点的坐标为（-10,-4）. 13.已知a=（1，-1），b=（-1，3），c=（3，5），求使c=xa+yb成立的实数x与y的值. 解：xa+yb=x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y). ∵c=xa+yb,
∴(x-y,-x+3y)=(3,5). ∴??x?y?3,?x?7,解得：?
??x?3y?5,?y?4.
∴使c=xa+yb成立的实数x与y的值分别是7和4. 14.设A（2，4），B（6，3），求(1)A点关于B点对称点的坐标；(2)B点关于A点对称点的坐标；(3)线段AB中点C的坐标.
解：(1)设A点关于B点的对称点为A′(x,y).如右图所示，则AB=BA'，即（4，-1）=（x-6,y-3）.
?4?x?6,?x?10,解得： ???1?y?3,y?2.??∴A点关于B点对称点的坐标为（10，2）.
(2)同理可求得B点关于A点对称点的坐标为（-2，5）. (3)设线段AB中点C的坐标为（x1,y1）.则AC=
111，即（x1-2,y1-4）=(2,-)AB=（4，-1）
222?x1?2?2,?x1?4,??即?1解得：?7
y?4??,y?.11??22??∴线段AB中点C的坐标为（4，
7）. 215.已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c且|a|=2，|b|=1，|c|=3,试用a、b表示c.
解析：如右图以O为原点OA为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数定义，得：B（cos150°,sin150°）,C(3cos240°,3sin240°). 即：B（-
33331,）,C=(-,?).
222233331,）,c=(-,?),
2222
又∵A（2，0），故a=（2，0），b=（-设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),
∴(-
3333131,?)=λ1(2,0)+λ2(-,)=(2λ1-λ2,λ2). 222222?332?????,????3,?12?22∴1∴? ???2??33.?1???33.2?2?2∴c=-3a-33b.
16.已知三力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(x,y),f1,f2,f3的合力为零,求力f3的坐标（x,y）.
解：∵f1+f2+f3=0， ∴f3=-(f1+f2)
=-(3,4)-(2,-5)=(-5,1).
∴(-
3333131,?)=λ1(2,0)+λ2(-,)=(2λ1-λ2,λ2). 222222?332?????,????3,?12?22∴1∴? ???2??33.?1???33.2?2?2∴c=-3a-33b.
16.已知三力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(x,y),f1,f2,f3的合力为零,求力f3的坐标（x,y）.
解：∵f1+f2+f3=0， ∴f3=-(f1+f2)
=-(3,4)-(2,-5)=(-5,1).