三 应用举例
为了加深对抛物线的几何性质的认识掌握描点法画图的基本方法给出如下例1
例1 x轴对称它的顶点在坐标原点并且经过点 解因为抛物线关于x 程是y2 4x
后一部分由学生演板检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况． 第一象限内的几个点的坐标得 2
描点画出抛物线在第一象限内的一部分再利用对称性就可以画出抛物线的另一部分 2-33 ．
例2 x轴抛物线上的点M -3m 到焦点的距离等于5求抛物线的方程和m的值．
解法一由焦半径关系设抛物线方程为y2 -2px p0 则准线方 因为抛物线上的点M -3m 到焦点的距离MF与到准线的距离 得p 4
因此所求抛物线方程为y2 -8x
又点M -3m 在此抛物线上故m2 -8 -3 ．
解法二由题设列两个方程可求得pm．由学生演板．由题意 在抛物线上且MF 5 本例小结
1 即此点的焦半径 等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P x0 这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到因此必须熟练掌握． 2 AB是过抛物线焦点的一条弦 焦点弦 若A x1y1 B x2y2 则有AB x1x2p．特别地当AB⊥x轴抛物线的通径AB 2p 详见课本习题 ．
例3 y2 2px p＞0 的焦点F的一条直线与这抛物线相交于AB两点且A x1y1 B x2y2 图2-34 ．
证明
1 AB与x轴不垂直时设AB方程为
此方程的两根y1y2分别是AB两点的纵坐标则有y1y2 -p2． 或y1 -py2 p故y1y2 -p2． 综合上述有y1y2 -p2
又∵A x1y1 B x2y2 是抛物线上的两点 本例小结 1
2 本例命题1是课本习题中结论要求学生记忆． 四 练习
1．过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A x1y1 B x2y2 两点若x1x2 6求AB的值．
由学生练习后口答．由焦半径公式得AB x1x2p 8 2
请一同学演板其他同学练习教师巡视．证明可设抛物线方程 故抛物线y2 2px 五 全课小结 1．抛物线的几何性质 2．抛物线的应用． 五布置作业
1y2 12x上求和焦点的距离等于9的点的坐标．
2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2 2px上另一顶点在原点求这个三角形的边长．
3．图2-35是抛物线拱桥的示意图当水面在l时拱顶高水面2m水面宽4m水下降11m后水面宽多少
4．求证以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 作业答案
3x2 -2py可得抛物线 4．由抛物线的定义不难证明 六板书设计 一教学目标 知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法． 能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍培养学生综合运用各方面知识的能力．
学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍使学生掌握常用动点的轨迹为学习物理等学科打下扎实的基础．
二教材分析 1
解决办法对每种方法用例题加以说明使学生掌握这种方法． 2．难点作相关点法求动点的轨迹方法．
解决办法先使学生了解相关点法的思路再用例题进行讲解． 三活动设计
提问讲解方法演板小测验． 四教学过程 复习引入
大家知道平面解析几何研究的主要问题是 1
2 通过方程研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆椭圆双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法
由题设所给 的动点所满足的几何条件列出等式再用坐标代替这等式化简得曲线的方程这种方法叫直接法．
例1 1 x2y2 k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程
2 过点A ao 作圆O∶x2y2 R2 a＞R＞o 的割线求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对 1
动点PP的运动规律OP 2R或OP 0． 解设动点P xy 则有OP 2R或OP 0． 即x2y2 4R2x2y2 0．
故所求动点Px2y2 4R2或x2y2 0． 对 2
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件但可以通过分析图形的几何性质而得出即圆心与弦的中点连线垂直于弦它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成解答为
设弦的中点为M xy 连结OM 则OMAM． ∵kOM·kAM -1
其轨迹是以OAO内的一段弧 不含端点 ． 2．定义法
利用所学过的圆的定义椭圆的定义双曲线的定义抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线lOQ于点P 见图2－45 当Q点在圆周上运动时求点P的轨迹方程． 分析
∵点PAQ的垂直平分线上 ∴PQ PA． 又POQ上．
∴POPQ R即POPA R． 故P 写出P
解连接PA l⊥PQ∴PA PQ． 又POQ上． ∴POPQ 2．
由椭圆定义可知POA为焦点的椭圆． 3．相关点法
若动点P xy 随已知曲线上的点Q x0y0 的变动而变动且x0y0可用xy表示则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法 或代换法 ．
例3 y2 x1定点A 31 B为抛物线上任意一点点P在线段AB上且有BP∶PA 1∶2当B点在抛物线上变动时求点P的轨迹方程．
分析
PB点在抛物线上运动因此B可作为相关点应先找出点P与点B的联系．
人教版高中数学《圆锥曲线和方程》全部教案
椭圆及其标准方程 一教学目标 知识教学点
使学生理解椭圆的定义掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程． 能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导培养学生分析探索能力增强运用坐标法解决几何问题的能力．
学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学可以提高对各种知识的综合运用能力． 二教材分析 1
解决办法用模型演示椭圆再给出椭圆的定义最后加以强调对椭圆的标准方程单独列出加以比较．
2．难点椭圆的标准方程的推导．
解决办法推导分4步完成每步重点讲解关键步骤加以补充说明． 3．疑点椭圆的定义中常数加以限制的原因． 解决办法分三种情况说明动点的轨迹． 三活动设计
提问演示讲授详细讲授演板分析讲解学生口答． 四教学过程 椭圆概念的引入
前面大家学习了曲线的方程等概念哪一位同学回答
问题1
对上述问题学生的回答基本正确否则教师给予纠正．这样便于学生温故而知新在已有知识基础上去探求新知识．
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形． 问题3
一般学生能回答平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆．对同学提出的轨迹命题如
到两定点距离之和等于常数的点的轨迹． 到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹． 到两定点距离之差等于常数的点的轨迹． 教师要加以肯定以鼓励同学们的探索精神．
比如说若同学们提出了到两定点距离之和等于常数的点的轨迹那么动点轨迹是什么呢这时教师示范引导学生绘图
取一条一定长的细绳把它的两端固定在画图板上的F1F2两点 如图2-13 当绳长大于F1和F2的距离时用铅笔尖把绳子拉紧使笔尖在图板上慢慢移动就可以画出一个椭圆．
教师进一步追问椭圆在哪些地方见过有的同学说立体几何中圆的直观图．有的同学说人造卫星运行轨道等
在此基础上引导学生概括椭圆的定义
平面内到两定点F1F2的距离之和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点两焦点的距离叫做焦距．
学生开始只强调主要几何特征到两定点F1F2的距离之和等于常数教师在演示中要从两个方面加以强调
1 将穿有铅笔的细线拉到图板平面外得到的不是椭圆而是椭球形使学生认识到需加限制条件在平面内．
2 这里的常数有什么限制吗教师边演示边提示学生注意若常数 F1F2则是线段F1F2若常数＜F1F2则轨迹不存在若要轨迹是椭圆还必须加上限制条件此常数大于F1F2．
二 椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导
由椭圆的定义可以知道它的基本几何特征但对椭圆还具有哪些性质我们还一无所知所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程根据求曲线方程的一般步骤可分 1 2 点的集合 3 代数方程 4 化简方程等步骤．
1 建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则如使关键点的坐标关键几何量 的表达式简单化注意充分利用图形的对称性使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F1F2的直线为x轴线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 如图2-14 ．设F1F2 2c c＞0 M xy 为椭圆上任意一点则有F1 -10 F2 c0 ．
2 点的集合
由定义不难得出椭圆集合为 P MMF1MF2 2a 3 代数方程 4 化简方程
化简方程可请一个反映比较快书写比较规范的同学板演其余同学在下面完成教师巡视适当给予提示
①原方程要移项平方否则化简相当复杂注意两次平方的理由详见问题3 a2-c2 x2a2y2 a2 a2-c2
②为使方程对称和谐而引入bb还有几何意义下节课还要 a＞b＞0 ．
关于证明所得的方程是椭圆方程因教材中对此要求不高可从略． 示的椭圆的焦点在xF1 -c0 F2 c0 ．这里c2 a2-b2． 2．两种标准方程的比较 引导学生归纳 0 F2 c0 这里c2 a2-b2
-c F2 0c 这里c2 a2b2只须将 1 方程的xy互换即可得到．
教师指出在两种标准方程中∵a2b2∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
三 例题与练习
例题 8写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．
分析先根据题意判断轨迹再建立直角坐标系采用待定系数法得出轨迹方程． 解这个轨迹是一个椭圆两个定点是焦点用F1F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
∵2a 102c 8．
∴a 5c 4b2 a2-c2 52-45 9．∴b 3 因此这个椭圆的标准方程是
请大家再想一想焦点F1F2放在y轴上线段F1F2的垂直平分 练习1
练习2 [ ] 由学生口答答案为D 四 小结
1．定义椭圆是平面内与两定点F1F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹．
3．图形如图2-152-16．
4．焦点F1 -c0 F2 c0 ．F1 0-c F2 0c ． 五布置作业
12-17在椭圆上的点中A1与焦点F1的距离最小A1F1 2A2 F1的距离最大A2F1 14求椭圆的标准方程． 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程 是过F1ABF2的周长． 作业答案
4ABF2的周长为4a． 六板书设计 一教学目标 知识教学点
使学生理解椭圆的定义掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程． 能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导培养学生分析探索能力增强运用坐标法解决几何问题的能力．
学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学可以提高对各种知识的综合运用能力． 二教材分析 1
解决办法用模型演示椭圆再给出椭圆的定义最后加以强调对椭圆的标准方程单独列出加以比较．
2．难点椭圆的标准方程的推导．
解决办法推导分4步完成每步重点讲解关键步骤加以补充说明． 3．疑点椭圆的定义中常数加以限制的原因． 解决办法分三种情况说明动点的轨迹． 三活动设计
提问演示讲授详细讲授演板分析讲解学生口答．
解决办法引导学生证明并加以记忆． 三活动设计
提问填表讲解演板口答． 四教学过程 复习
1．抛物线的定义是什么
请一同学回答．应为平面内与一个定点Fl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
2．抛物线的标准方程是什么
再请一同学回答．应为抛物线的标准方程是y2 2px p0 y2 -2px p＞0 x2 2py p＞0 和x2 -2py p＞0 ．
下面我们类比椭圆双曲线的几何性质从抛物线的标准方程y2 2px p0 出发来研究它的几何性质．
二 几何性质
怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质以y2 2px p0 为例用小黑板给出下表请学生对比研究和填写．
填写完毕后再向学生提出问题和椭圆双曲线的几何性质相比抛物线的几何性质有什么特点
学生和教师共同小结 1
2 抛物线只有一条对称轴这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合抛物线没有中心．
3 抛物线只有一个顶点它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
4 抛物线的离心率要联系椭圆双曲线的第二定义并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意这样不仅引入了抛物线离心率的
概念而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．
三 应用举例
为了加深对抛物线的几何性质的认识掌握描点法画图的基本方法给出如下例1
例1 x轴对称它的顶点在坐标原点并且经过点 解因为抛物线关于x 程是y2 4x
后一部分由学生演板检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况． 第一象限内的几个点的坐标得 2
描点画出抛物线在第一象限内的一部分再利用对称性就可以画出抛物线的另一部分 2-33 ．
例2 x轴抛物线上的点M -3m 到焦点的距离等于5求抛物线的方程和m的值．
解法一由焦半径关系设抛物线方程为y2 -2px p0 则准线方 因为抛物线上的点M -3m 到焦点的距离MF与到准线的距离 得p 4
因此所求抛物线方程为y2 -8x
又点M -3m 在此抛物线上故m2 -8 -3 ．
解法二由题设列两个方程可求得pm．由学生演板．由题意 在抛物线上且MF 5 本例小结
1 即此点的焦半径 等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P x0 这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到因此必须熟练掌握． 2 AB是过抛物线焦点的一条弦 焦点弦 若A x1y1 B x2y2 则有AB x1x2p．特
别地当AB⊥x轴抛物线的通径AB 2p 详见课本习题 ．
例3 y2 2px p＞0 的焦点F的一条直线与这抛物线相交于AB两点且A x1y1 B x2y2 图2-34 ．
证明
1 AB与x轴不垂直时设AB方程为
此方程的两根y1y2分别是AB两点的纵坐标则有y1y2 -p2． 或y1 -py2 p故y1y2 -p2． 综合上述有y1y2 -p2
又∵A x1y1 B x2y2 是抛物线上的两点 本例小结 1
2 本例命题1是课本习题中结论要求学生记忆． 四 练习
1．过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A x1y1 B x2y2 两点若x1x2 6求AB的值．
由学生练习后口答．由焦半径公式得AB x1x2p 8 2
请一同学演板其他同学练习教师巡视．证明可设抛物线方程 故抛物线y2 2px 五 全课小结 1．抛物线的几何性质 2．抛物线的应用． 五布置作业
1y2 12x上求和焦点的距离等于9的点的坐标．
2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2 2px上另一顶点在原点求这个三角
形的边长．
3．图2-35是抛物线拱桥的示意图当水面在l时拱顶高水面2m水面宽4m水下降11m后水面宽多少
4．求证以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 作业答案
3x2 -2py可得抛物线 4．由抛物线的定义不难证明 六板书设计 一教学目标 知识教学点
使学生理解并掌握抛物线的几何性质并能从抛物线的标准方程出发推导这些性质．
能力训练点
从抛物线的标准方程出发推导抛物线的性质从而培养学生分析归纳推理等能力．
学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解这样才能解决抛物线中的弦最值等问题．
二教材分析 1
解决办法引导学生类比椭圆双曲线的几何性质得出． 2．难点抛物线的几何性质的应用．
解决办法通过几个典型例题的讲解使学生掌握几何性质的应用． 3．疑点抛物线的焦半径和焦点弦长公式． 解决办法引导学生证明并加以记忆．
三活动设计
提问填表讲解演板口答． 四教学过程 复习
1．抛物线的定义是什么
请一同学回答．应为平面内与一个定点Fl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
2．抛物线的标准方程是什么
再请一同学回答．应为抛物线的标准方程是y2 2px p0 y2 -2px p＞0 x2 2py p＞0 和x2 -2py p＞0 ．
下面我们类比椭圆双曲线的几何性质从抛物线的标准方程y2 2px p0 出发来研究它的几何性质．
二 几何性质
怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质以y2 2px p0 为例用小黑板给出下表请学生对比研究和填写．
填写完毕后再向学生提出问题和椭圆双曲线的几何性质相比抛物线的几何性质有什么特点
学生和教师共同小结 1
2 抛物线只有一条对称轴这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合抛物线没有中心．
3 抛物线只有一个顶点它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
4 抛物线的离心率要联系椭圆双曲线的第二定义并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意这样不仅引入了抛物线离心率的概念而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．
本题实质上是双曲线的第二定义要重点讲解并加以归纳小结． 解设dM到直线l的距离根据题意所求轨迹就是集合 化简得 c2-a2 x2-a2y2 a2 c2-a2 这就是双曲线的标准方程．
由此例不难归纳出双曲线的第二定义． 双曲线的第二定义 1．定义 由学生归纳给出 平面内点Me
叫做双曲线的准线常数e 2．说明
七 小结 由学生课后完成
将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结． 五布置作业 1e和渐近线方程． 1 16x2-9y2 144 2 16x2-9y2 -144． 2．求双曲线的标准方程
1 实轴的长是10虚轴长是8焦点在x轴上 2 焦距是10虚轴长是8焦点在y轴上 曲线的方程．
点到两准线及右焦点的距离． 作业答案 距离为7 六板书设计 一教学目标
知识教育点
使学生掌握抛物线的定义抛物线的标准方程及其推导过程． 能力训练点
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法提高分析对比概括转化等方面的能力．
学科渗透点
通过一个简单实验引入抛物线的定义可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
二教材分析 1
解决办法通过一个简单实验与椭圆双曲线的定义相比较引入抛物线的定义通过一些例题加深对标准方程的认识．
2．难点抛物线的标准方程的推导．
解决办法由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法避免了硬性规定坐标系．
3．疑点抛物线的定义中需要加上定点F不在定直线l上的限制． 解决办法向学生加以说明． 三活动设计
提问回顾实验讲解演板归纳表格． 四教学过程 导出课题
我们已学习了圆椭圆双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线抛物线以及它的定义和标准方程．课题是抛物线及其标准方程．
请大家思考两个问题 问题1
在物理中抛物线被认为是抛射物体的运行轨道在数学中抛物线是二次函数的图象
问题2
在二次函数中研究的抛物线它的对称轴是平行于y 引导学生进一步思考如果抛物线的对称轴不平行于y 二 抛物线的定义 1．回顾
平面内与一个定点Fl的距离的比是常数e的轨迹当0＜e＜1时是椭圆当e＞1时是双曲线那么当e 1时它又是什么曲线
2．简单实验
如图2-29l的位置上一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A截取绳子的长等于A到直线l的距离AC并且把绳子另一端固定在图板上的一点F用一支铅笔扣着绳子紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧然后使三角板紧靠着直尺左右滑动这样铅笔就描出一条曲线这条曲线叫做抛物线．反复演示后请同学们来归纳抛物线的定义教师总结．
3．定义
这样可以把抛物线的定义概括成
平面内与一定点Fl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F不在定直线l上 ．定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线．
三 抛物线的标准方程
设定点Fl的距离为p p为已知数且大于0 ．下面我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系才能使所得的方程取较简单的形式呢
让学生议论一下教师巡视启发辅导最后简单小结建立直角坐标系的几种方案
方案1 由第一组同学完成请一优等生演板．
以ly轴过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系 图2- 30 ．设定点F p0 动点M的坐标为 xy 过M作MD⊥y轴于D抛物线的集合为p MMF MD ．
化简后得y2 2px-p2 p0 ．
方案2 由第二组同学完成请一优等生演板
以定点Fl的直线为y轴建立直角坐标系 图2-31 ．设动点M的坐标为 xy 且设直线l的方程为x -p定点F 00 过M作MD⊥l于D抛物线的集合为
p MMF MD ．
化简得y2 2pxp2 p0 ．
方案3 由第三四组同学完成请一优等生演板．
取过焦点Fl的直线为x轴x轴与l交于K以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 图2-32 ．
抛物线上的点M xy 到l的距离为d抛物线是集合p MMF d ． 化简后得y2 2px p0 ．
比较所得的各个方程应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢 引导学生分析出方案32倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况抛物线的标准方程有四种情形 将上表画在小黑板上讲解时出示小黑板并讲清为什么会出现四种不同的情形四种情形中P0并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即当对称轴为x轴时方程等号右端为±2px相应地左端为y2当对称轴为y轴时方程等号的右端为±2py相应地左端为x2．同时注意当焦点在正半轴上时取正号当焦点在负半轴上时取负号．
四 四种标准方程的应用
例题 1 y2 6x求它的焦点坐标和准线方程
2 已知抛物线的焦点坐标是F 0-2 求它的标准方程． 方程是x2 -8y
练习根据下列所给条件写出抛物线的标准方程 1 F 30
3 焦点到准线的距离是2．
由三名学生演板教师予以订正．答案是 1 y2 12x 2 y2 -x 3 y2 4xy2 -4xx2 4yx2 -4y．
这时教师小结一下由于抛物线的标准方程有四种形式且每一种形式中都只含一个系数pp的一个条件就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后它的标准方程就唯一确定了若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定则所求的标准方程就会有多解．
五 小结
本次课主要介绍了抛物线的定义推导出抛物线的四种标准方程形式并加以运用．
五布置作业
到准线的距离是多少点M
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 x2 2y 2 4x23y 0 3 2y25x 0 4 y2-6x 0．
3．根据下列条件求抛物线的方程并描点画出图形 1 顶点在原点对称轴是x轴并且顶点与焦点的距离等于6 2 顶点在原点对称轴是y轴并经过点p -6-3 ． 4．求焦点在直线3x-4y-12 0上的抛物线的标准方程． 作业答案
3 1 y2 24xy2 -2x
2 x2 -12y 图略
4．分别令x 0y 0得两个焦点F1 0-3 F2 40 从而可得抛物线方程为x2 -12y或y2 16x
六板书设计 一教学目标 知识教育点
使学生掌握抛物线的定义抛物线的标准方程及其推导过程． 能力训练点
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法提高分析对比概括转化等方面的能力．
学科渗透点
通过一个简单实验引入抛物线的定义可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
二教材分析 1
解决办法通过一个简单实验与椭圆双曲线的定义相比较引入抛物线的定义通过一些例题加深对标准方程的认识．
2．难点抛物线的标准方程的推导．
解决办法由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法避免了硬性规定坐标系．
3．疑点抛物线的定义中需要加上定点F不在定直线l上的限制． 解决办法向学生加以说明． 三活动设计
提问回顾实验讲解演板归纳表格． 四教学过程
导出课题
我们已学习了圆椭圆双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线抛物线以及它的定义和标准方程．课题是抛物线及其标准方程．
请大家思考两个问题 问题1
在物理中抛物线被认为是抛射物体的运行轨道在数学中抛物线是二次函数的图象
问题2
在二次函数中研究的抛物线它的对称轴是平行于y 引导学生进一步思考如果抛物线的对称轴不平行于y 二 抛物线的定义 1．回顾
平面内与一个定点Fl的距离的比是常数e的轨迹当0＜e＜1时是椭圆当e＞1时是双曲线那么当e 1时它又是什么曲线
2．简单实验
如图2-29l的位置上一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A截取绳子的长等于A到直线l的距离AC并且把绳子另一端固定在图板上的一点F用一支铅笔扣着绳子紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧然后使三角板紧靠着直尺左右滑动这样铅笔就描出一条曲线这条曲线叫做抛物线．反复演示后请同学们来归纳抛物线的定义教师总结．
3．定义
这样可以把抛物线的定义概括成
平面内与一定点Fl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F不在定直线l上 ．定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线．
三 抛物线的标准方程
设定点Fl的距离为p p为已知数且大于0 ．下面我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系才能使所得的方程取较简单的形式呢
让学生议论一下教师巡视启发辅导最后简单小结建立直角坐标系的几种方案
方案1 由第一组同学完成请一优等生演板．
以ly轴过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系 图2- 30 ．设定点F p0 动点M的坐标为 xy 过M作MD⊥y轴于D抛物线的集合为p MMF MD ．
化简后得y2 2px-p2 p0 ．
方案2 由第二组同学完成请一优等生演板
以定点Fl的直线为y轴建立直角坐标系 图2-31 ．设动点M的坐标为 xy 且设直线l的方程为x -p定点F 00 过M作MD⊥l于D抛物线的集合为
p MMF MD ．
化简得y2 2pxp2 p0 ．
方案3 由第三四组同学完成请一优等生演板．
取过焦点Fl的直线为x轴x轴与l交于K以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 图2-32 ．
抛物线上的点M xy 到l的距离为d抛物线是集合p MMF d ． 化简后得y2 2px p0 ．
比较所得的各个方程应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢 引导学生分析出方案32倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况抛物线的标准方程有四种情形 将上表画在小黑板上讲解时出示小黑板并讲清为什么会出现四种不同的情形四种情形中P0并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即当对
称轴为x轴时方程等号右端为±2px相应地左端为y2当对称轴为y轴时方程等号的右端为±2py相应地左端为x2．同时注意当焦点在正半轴上时取正号当焦点在负半轴上时取负号．
四 四种标准方程的应用
例题 1 y2 6x求它的焦点坐标和准线方程
2 已知抛物线的焦点坐标是F 0-2 求它的标准方程． 方程是x2 -8y
练习根据下列所给条件写出抛物线的标准方程 1 F 30
3 焦点到准线的距离是2．
由三名学生演板教师予以订正．答案是 1 y2 12x 2 y2 -x 3 y2 4xy2 -4xx2 4yx2 -4y．
这时教师小结一下由于抛物线的标准方程有四种形式且每一种形式中都只含一个系数pp的一个条件就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后它的标准方程就唯一确定了若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定则所求的标准方程就会有多解．
五 小结
本次课主要介绍了抛物线的定义推导出抛物线的四种标准方程形式并加以运用．
五布置作业
到准线的距离是多少点M
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 x2 2y 2 4x23y 0 3 2y25x 0 4 y2-6x 0．
3．根据下列条件求抛物线的方程并描点画出图形
1 顶点在原点对称轴是x轴并且顶点与焦点的距离等于6 2 顶点在原点对称轴是y轴并经过点p -6-3 ． 4．求焦点在直线3x-4y-12 0上的抛物线的标准方程． 作业答案
3 1 y2 24xy2 -2x 2 x2 -12y 图略
4．分别令x 0y 0得两个焦点F1 0-3 F2 40 从而可得抛物线方程为x2 -12y或y2 16x
六板书设计 一教学目标 知识教学点
使学生理解并掌握抛物线的几何性质并能从抛物线的标准方程出发推导这些性质．
能力训练点
从抛物线的标准方程出发推导抛物线的性质从而培养学生分析归纳推理等能力．
学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解这样才能解决抛物线中的弦最值等问题．
二教材分析 1
解决办法引导学生类比椭圆双曲线的几何性质得出． 2．难点抛物线的几何性质的应用．
解决办法通过几个典型例题的讲解使学生掌握几何性质的应用． 3．疑点抛物线的焦半径和焦点弦长公式．