2017年三明市普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非必考题两部分）．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合A?x|1?2x?16,B??x|x?a?，若A?B?A，则实数a的取值范围是 A.a?4 B.a?4 C.a?0 D.a?0 2．已知i是虚数单位，则复数
???1?i
的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为 3?4i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为
A．
1244 B． C． D． 5595x2y24．设F1，F2为双曲线?:2?2?1(a?0,b?0)的左、
ab右焦点，P为?上一点，PF2与x轴垂直，直线PF1 的斜率为
3，则双曲线?的渐近线方程为 4A．y??x B．y??2x C．y??3x D．y??2x
5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 2，则输出S的值为
A．64 B．84 C．340 D．1364
，an+1?an?2n(n?N?)，则S2016? 6．已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1?1A．3?21008?3 B.22016?1 C．22009?3 D．22008?3
7.已知函数f(x)?sin(x??)?2cos(x??)(0???π)的图象关于直线x?π对称，则
cos2??
A.
3344 B. ? C. D. ? 5555??x?0,?1??8．在区域???(x,y)|?x?y?1,??中，若满足ax?y?0的区域面积占?面积的，则实数a3??x?y?1????的 值是 A.
21 B. 32 C. ?
12 D. ?
239. 在四面体ABCD中，若AB?CD?3，AC?BD?2，AD?BC?5，则直线AB与CD所成角的余弦值为
A．? B．? C．
131411 D． 43x2ln|x|10．函数f(x)?的图象大致是
2|x|
x2y211．已知F1，F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2aba2?e2与圆x?y?b相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则（其中e为椭圆Cb222的离心率）的最小值为 A．6 B. 3635 C.5 D. 4412．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几
何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形ABCD是为 体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是
ADBC半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为 A．r3 B．πr3 C．
838316163r D．πr3
33绝密★启用前
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理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须
做答. 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量a，b满足a?(3,1)，|b|?1，且a??b，则实数?? . 14．(1?ax)(1?x)5的展开式中x的系数是20，则实数a? . 15. 已知函数f(n)=n2cos(nπ)，数列?an?满足an?f(n)?f(n?1)(n?N?)，
则a1?a2???a2n? . 16．对于定义域为R的函数f(x)，若满足①f(0)?0；②当x?R，且x?0时,都有
2
xf?(x)?0；③当x1?x2，且f(x1)?f(x2)时，x1?x2?0，则称f(x)为“偏对称函
数”．
1?1?)x2(x?0),?ln(?x?1) (x?0),?(x 现给出四个函数：g(x)??2?12 h(x)??2x (x?0);???0 (x?0);?(x)??x3?x2；?(x)?ex?x?1．
则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且B?60?，c?4． （Ⅰ）若b?6，求角C的正弦值及△ABC的面积；
（Ⅱ）若D，E在线段BC上，且BD?DE?EC，AE?23BD，求AD的长．
18．（本小题满分12分）
32如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD?底面ABCD，底面ABCD是平行四边形， AD?AP?2，AB?DP?22，E为CD?ABC?45?，
的中点，点F在线段PB上． （Ⅰ）求证：AD?PC；
（Ⅱ）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所
成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．
19．（本小题满分12分）
某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照?0,2?，
(2,4]，?，?14,16?分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.
（图1） （图2）
（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．
（i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用
量
都超过12吨的概率；
（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；
（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y(元)与月份x的散点图，
其拟合的线性回归方程是?y?2x?33. 若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．
20．（本小题满分12分）
x2y2已知椭圆?: 2?2?1 (a?b?0)的右焦点F(1,0),椭圆?的左,右顶点分别为
ab
M,N.过点F的直线l与椭圆交于C,D两点,且△MCD的面积是△NCD的面积的
3倍.
（Ⅰ）求椭圆?的方程；
（Ⅱ）若CD与x轴垂直，A,B是椭圆?上位于直线CD两侧的动点，且满足
?ACD??BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?e2x(ax2?2x?1)，a?R．
（Ⅰ）当a?4时，求证：过点P(1,0)有三条直线与曲线y?f(x)相切； （Ⅱ）当x?0时，f(x)?1?0，求实数a的取值范围.
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线
πl的极坐标方程为2?cos(??)?2?0，曲线C的极坐标方程为：
4?sin2??cos?，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后
再向右平移一个单位得到曲线C1. （Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A,B两点，点P(2,0)，求PA?PB的值．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)?2x?a?2x?1，a?R．
（I）当a?3时，求关于x的不等式f(x)?6的解集； （II）当x?R时，f(x)?a?a?13，求实数a的取值范围.
2
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理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，满分60分．
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.A 8. C 9. D 10.D 11.C 12.C 二、填空题：每小题5分，满分20分．
13.?2 14.2 15.?2n 16.2 17．解：（Ⅰ）B?60?，c?4，b?6，
在△ABC中，由正弦定理
bc， ?sinBsinC3csinB2?3， ????????2分 得sinC??b636又b?c，所以B?C，则C为锐角，所以cosC?，
3361332?3????则sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?， 23236132?3?62?23．????????6分 所以△ABC的面积S?bcsinA?12?264?（Ⅱ）设BD?x，则BE?2x，AE?23x，又B?60?，c?4，
在△ABE中，由余弦定理得12x2?16?4x2?2?4?2x?cos60?，
即8x2?16?8x，解得x?1， ????????9分 则BE?2，所以?AEB?90?，
在直角△ADE中，AD?AE2?DE2?12?1?13．??????????12分 18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，
因为AB?22，BC?2，?ABC?45?，
由余弦定理得AC2?8?4?2?22?2?cos45??4， 得AC?2， ????????2分 所以?ACB?90，即BC?AC，又AD∥BC，
?PFDAECB以
所以AD?AC，
又AD?AP?2，DP?22，所以PA?AD，AP?AC?A，所A?以AD?平面PAC，所
D． ??????????5分
（Ⅱ）侧面PAD?底面ABCD，PA?AD，所以PA?底面ABCD，所以直线
AC,AD,AP两两互相垂直，以A为原点，直线AC,AD,AP坐标轴，
建立如图所示空间直角坐标系
A?xyz， ??????
??6分
则A(0,0,0)，D(?2,0,0)，C(0,2,0)，
zPFyB(2,2,0)，E(?1,1,0)，
???????? P(0,0,2)，所以PC?(0,2,?2)，PD?(?2,0,?2)，
DAExCB????PF??(??[0,1])， PB?(2,2,?2)，设PB????则PF?(2?,2?,?2?)，F(2?,2?,?2??2)，
????所以EF?(2??1,2??1,?2??2)，
易得平面ABCD的法向量m?(0,0,1)． ????????8分
????????设平面PDC的法向量为n?(x,y,z)，由n?PC?0，n?PD?0，
?2y?2z?0,得?令x?1，得n?(1,?1,?1)． ????????10
?2x?2z?0,?分
因为直线EF与平面PDC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，
????????????????2?|EF?m||EF?n||， ?????所以|cos?EF,m??，所以 |?2??2|?|||cos?EF,n?|，即
3|EF|?|m||EF|?|n|即3|??1|?|?|，解得??分
19. 解：（Ⅰ）（i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12
3?3PF3?3，所以． ??????????12?2PB21，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为 10928131 P?C5． ??????????4()3()?101010000吨的概率为分
（ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下： 月用水量x（吨） 价格X（元/吨） 概率P (0,12] 4 0.9 (12,14] 4.20 (14,16] 4.60 0.04 0.06 所以全市居民用水价格的期望E(X)?4?0.9?4.2?0.06?4.6?0.04?4.04吨．????8分
(Ⅱ) 设李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为
(xi,yi)(i?1,2,3,4,5,6)，
它们的平均值分别为x，y，则x1?x2???x6?21?6x，又点(x,y)在直线
?y?2x?33上，所以y?40，因此y1?y2???y6?240，所以7月份的水费为
294.6?240?54.6元．
设居民月用水量为t吨，相应的水费为f(t)元，则
?4t, 0?t?12,?4t, 0?t?12,??f(t)??48?(t?12)?6.6, 12 ?61.2?(t?14)?7.8 14?t?16,?7.8t?48, 14?t?16,??当t?13时，f(t)?6.6?13?31.2?54.6， 所以李某7月份的用水吨数约为13吨． ??????????12分 20. 解法一：（I）因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍， 2所以MF?3NF，即a?c?3?a?c? ，所以a?2c?2，所以b?3， x2y2??1．则椭圆?的方程为 ??????????434分 （II）当?ACD??BCD，则kAC?kBC?0， 设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为?k， 不妨设点C在x轴上方，C?1,? ， 设A?x1,y1?，B?x2,y2?， ?3??2?3x2y2??1中整理得 则AC的直线方程为y??k?x?1?，代入 243?3?4k2?x2?4k?2k?3?x?4k2?12k?3?0， 1?x1?4k?2k?3??3?4k?2； 同理1?x2?8分 4k?2k?3??3?4k?2． ???????? 8k2?6?24k所以x1?x2?，， ????????x?x?12223?4k?3?4k???10分 则kAB?k?x1?x2??2k1y1?y2 ? ?， 2x1?x2x1?x21． ??????????2因此直线AB的斜率是定值12分 解法二：（I）同 解法一． x2y2??1中 （II）依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y?kx?m代入43整理得(4k?3)x?8kmx?4m?12?0，设A ?x1,y1?，B?x2,y2?， 2228km4m2?12所以x1?x2??2， x1x2?， ????????624k?34k?3分 ??64k2m2?4(4k2?3)(4m2?12)?16(12k2?3m2?9)?0 当?ACD??BCD，则kAC?kBC?0，不妨设点C在x轴上方，C?1,? ， ?3??2?33y2?2?2?0，整理得2kxx?(m?3)(x?x)?2m?3?0，?????所以12122x1?1x2?1y1?8分 4m2?1238km?(m?)(?)?2m?3?0， 所以2k?224k?324k?3整理得12k?12(m?2)k?9?6m?0， ????????9分 即(6k?3)(2k?2m?3)?0，所以2k?2m?3?0或6k?3?0．????????10分 当2k?2m?3?0时，直线AB过定点C?1,?， 不合题意； 2?3??2?1，符合题意， 21所以直线AB的斜率是定值． ??????????12 2当6k?3?0时，k? 分 2x221. 解法一：(Ⅰ)当a=4时，f?x??e4x?2x?1， 2x22x2x2 f??x??e?24x?2x?1?e?8x?2??2e4x?6x ????????1 ??????分 设直线与曲线y?f(x)相切，其切点为(x0,f(x0))， 则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)， 因为切线过点P(1,0)，所以?f(x0)?f?(x0)(1?x0)， ????????2分 即?e2x0?4x20?2x0?1??2e2x0?4x02?6x0??1?x0?， ?e2x0?0，?8x03?14x0?1?0， ??????????????3 分 设g?x??8x?14x?1， 3?g??2???35?0,g?0??1?0,g?1???5?0,g?2??37?0???????4 分 ?g?x??0在三个区间??2,0?,?0,1?,?1,2?上至少各有一个根 又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程8x?14x?1?0恰有三个根， 故过点P?1,0?有三条直线与曲线y?f(x)相切． ?????????????5分 (Ⅱ) ?当x?0时，f(x)?1?0，即当x?0时，e2x3?ax2?2x?1??1?0 ?当x?0时，ax2?2x?1?1?0， ?????????????6分 e2x1212设h?x??ax?2x?1?2x，则h?(x)?2ax?2?2x?2(ax?1?2x)， ??7分 eee12设m(x)?ax?1?2x，则m?(x)?a?2x． ee2⑴当a??2时，?x?0,?2x?2，从而m??x??0（当且仅当x?0时，等号成立） e1?m?x??ax?1?2x在???,0?上单调递增， e又?m?0??0,?当x?0时，m?x??0，从而当x?0时，h??x??0， ?h?x??ax2?2x?1?1在???,0?上单调递减，又?h?0??0， e2x12从而当x?0时，h?x??0，即ax?2x?1?2x?0 e于是当x?0时，f(x)?1?0， ?????????????9 分 ⑵当a??2时，令m??x??0，得a?21?2??0,?x?ln????0, 2xe2?a?故当x?(ln(?),0?时, m??x??122aa?2x2??e???0, e2x?a?112(ln(?),0?上单调递减， 在e2x2a12又?m?0??0,?当x?(ln(?),0?时，m?x??0， 2a12从而当x?(ln(?),0?时，h??x??0， 2a112?h?x??ax2?2x?1?2x在(ln(?),0?上单调递增，又?h?0??0， e2a1212从而当x?(ln(?),0)时，h?x??0，即ax?2x?1?2x?0 2ae12于是当x?(ln(?),0)时，f(x)?1?0， ???????????11 2a?m?x??ax?1?分 综合得a的取值范围为??2,???. ???????????12分 2x2解法二：(Ⅰ)当a=4时，f?x??e4x?2x?1， 2x22x2x2 f??x??e?24x?2x?1?e?8x?2??2e4x?6x，????????1 ??????分 设直线与曲线y?f(x)相切，其切点为(x0,f(x0))， 则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)， 因为切线过点P(1,0)，所以?f(x0)?f?(x0)(1?x0)， ????????2 分 即?e2x0?4x20?2x0?1??2e2x0?4x02?6x0??1?x0?， ?e2x0?0，?8x03?14x0?1?0 ??????????????3 分 设g?x??8x3?14x?1，则g??x??24x2?14，令g??x??0得x??当x变化时，g(x)，g?(x)变化情况如下表： 7 12x g?(x) (??,?7) 12?7 120 (?77,) 1212? 7 120 极小值 (7,??) 12? ? 极大值 g(x) ? 287?1 312? ?287?1 312? ??????????????????? ??4分 ?8x3?14x?1?0恰有三个根， 故 过 点 P(1,有 三条直线与曲线 y?f(x)相 切． ?????????????5分 （Ⅱ）同解法一． 22．解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y?x， ??????2分 2?C1的直角坐标方程为 ??????5分 y2?2x?．( 1 )（Ⅱ）由直线l的极坐标方程：2?cos(???4)?2?0，得?cos???sin??2?0 所以直线l的直角坐标方程为:x?y?2?0，又点P(2,0)在直线l上， ?2x?2?t??2所以直线l的参数方程为：?， (t为参数）?y?2t??2代入C1的直角坐标方程得t?22t?4?0， ??????????8分 2设A，B对应的参数分别为t1,t2， ???8?16?0???t1?t2??22?tt??4?12?PA?PB?t1?t2?t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?8?16?26． ， ??????????10分 23． 解：（I）当a?3时，不等式f(x)?6为2x?3?2x?1?6 111时，不等式可化为?(2x?3)?(2x?1)??4x?4?6，解得??x?， 2221313若?x?时，不等式可化为?(2x?3)?(2x?1)?2?6，解得?x?， 2222335若x?时，不等式可化为(2x?3)?(2x?1)?4x?4?6，解得?x?， 222若x?综上所述，关于x的不等式f(x)?6的解集为?x???15??x??． ??????22?5分 （II）当x?R时，f(x)?2x?a?2x?1?2x?a?1?2x?1?a， 所以当x?R时，f(x)?a2?a?13等价于1?a?a?a?13， 当a?1时，等价于1?a?a?a?13，解得?14?a?1， 2当a?1时，等价于a?1?a?a?13，解得1?a?1?13， 22所以a的取值范围为??14,1?13?． ?????????? ??10分