【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．
12．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为( )
A． B．5 C．6 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．
【分析】由已知中多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，我们易求出四棱锥E﹣ABCD的体积，然后根据整个几何体大于部分几何体的体积，分析已知中的四个答案，利用排除法，得到答案． 【解答】解：
法一：如下图所示，连接BE、CE
则四棱锥E﹣ABCD的体积VE﹣ABCD=×3×3×2=6，
又∵整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积， ∴所求几何体的体积V求＞VE﹣ABCD，
法二：分别取AB、CD的中点G、H连EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，
可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积，整个多面体的体积为故选D．
．
【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据根据整个几何体大于部分几何体的体积，求出四棱锥E﹣ABCD的体积，并与已知中的四个答案进行比较，利用排除法是解答此类问题的捷径．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．一个棱柱至少有5个面；面数最少的一个棱锥有4个顶点；顶点最少的一个棱台有3条侧棱．
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】面最少的棱柱是三棱柱，有五个面；面数最少的棱锥是三棱椎，有4个顶点．顶点最少的一个棱台是三棱台，它有三条侧棱． 【解答】解：面最少的三棱柱是三棱柱， 它有五个面；
面数最少的棱锥是三棱椎， 它有4个顶点；
顶点最少的一个棱台是三棱台， 它有三条侧棱．
故答案为：5，4，3．
【点评】本题考查棱锥的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
14．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由4块木块堆成．
【考点】由三视图还原实物图． 【专题】图表型；规律型．
【分析】求解本问题需要正确由三视图还原实物图，由图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排有三个，故可得答案．
【解答】解：由图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，故后排有三个， 故此几何体共有4个木块组成． 故答案为：4．
【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查利用三视图的作图规则，由三视图还原实物图的能力，这是三视图的一个重要应用，也是三视图在实际问题中的主要运用．
15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为12厘米． 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题．
【分析】根据圆柱水面升高的高度，求出水的体积，就是球的体积，然后求出球的半径．
【解答】解：（cm）
故答案为：12
【点评】本题是基础题，考查圆柱的体积与球的体积的关系，考查计算能力，是送分题．
16．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角，则圆台的侧面积为6π．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】计算题．
【分析】利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径，代入圆台的侧面积公式进行运算． 【解答】解：圆台的轴截面如图
由已知，∠DBE为母线和下底面的一条半径成的角，∴∠DBE=60°， 设圆台上底面的半径为 r，下底面的半径为 R，
过D作DE⊥OB于E，在RT△DEB中，母线DB=2，∴EB=R﹣r=DB?cos∠DBE=2×=1，∴R=2
故圆台的侧面积等于π（r+R）l=π（1+2）×2=6π， 故答案为：6π．
【点评】本题考查了圆台的结构特征，侧面积的求法．利用了圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，将空间问题转化为平面问题解决．
三、解答题：（共70分）
17．已知：a?α，b?α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ?α．
【考点】空间图形的公理． 【专题】证明题．
p∈b，b?α，【分析】首先根据两条直线平行，得到一个确定的平面，根据直线a?β，点P∈β，
确定p∈α，根据一条直线和直线外一点可以确定一个平面，得到另个平面是同一个平面，得到结论．
【解答】证明∵PQ∥a， ∴PQ与a确定一个平面β， ∴直线a?β，点P∈β． ∵p∈b，b?α， ∴p∈α ∵a?α，
∴α与β重合， ∴PQ?α
【点评】本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法，考查两条平行线确定一个平面，考查两条相交线确定一个平面，考查用同一法证明两个平面重合，实际上这种利用公理证明问题的题目，比较抽象．
18．根据给出的空间几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．（写出画法，并保留作图痕迹）
【考点】简单空间图形的三视图；平面图形的直观图． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由几何体的三视图知道，这个几何体是一个上面小而底面大的圆台，我们可以建斜系，先画出下、上底面圆，再画母线．最后去掉辅助线． 【解答】解：画法如下：
（1）画轴如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．
（2）画圆台的两底面画出底面⊙O假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图
中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面 ⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′、B′两点．
（3）成图连接A′A、B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的直 观图．
【点评】做这种类型的题目，关键是要能够看懂给定的三视图所表示的空间几何体的形状，然后才能正确地完成．
19．正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为1cm和5cm，求体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．
【分析】连接棱台的两个底面中心，通过侧棱长，求出高，利用棱台的体积公式求出体积即可．
【解答】解：正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1O1，O是两底面的中 ∵
，
，∴
∴
∴
棱台的体积为：
cm3
=
【点评】本题是基础题，考查棱台的有关知识，考查空间想象能力，计算能力，正确应用棱台的体积公式，常考题型．
20．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点，求MN与CC1所成角的余弦值．
2015-2016学年青海省西宁市昆仑中学高二（上）第一次月考数
学试卷
一、单项选择（每小题5分，共60分）
1．不共面的四点可以确定平面的个数为( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无法确定
2．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是( ) A．a⊥α且a⊥β B．a⊥γ且β⊥γ
C．a?α，b?β，a∥b D．a?α，b?α，a∥β，b∥β
3．图中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的( )
A． B． C． D．
4．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的是( ) A．①② B．① C．③④ D．①②③④
5．棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) A． B． C． D．
6．三棱锥P﹣ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( ) A．4 B．6 C．8 D．10
7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．2+ B． C． D．1+
8．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A．25π B．50π C．125π D．都不对
9．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24πcm2，12πcm3 B．15πcm2，12πcm3 C．24πcm2，36πcm3 D．以上都不正确
10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为( ) A．
B．
C．
D．
11．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A．
12．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为( )
B．
C．
D．
A． B．5 C．6 D．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的一个棱锥有__________个顶点；顶点最少的一个棱台有__________条侧棱．
14．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由__________块木块堆成．
15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为__________厘米．
16．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角，则圆台的侧面积为__________．
三、解答题：（共70分）
17．已知：a?α，b?α，a∩b=A，P∈b，PQ∥a．求证：PQ?α．
18．根据给出的空间几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．（写出画法，并保留作图痕迹）
19．正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为1cm和5cm，求体积．
20．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点，求MN与CC1所成角的余弦值．
21．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH，图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．
求：
（1）画出该标识墩的侧视图； （2）计算该标识墩的表面积． 22． 已知两个圆锥有公共底面，（14分）且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的值．
，求这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比
2015-2016学年青海省西宁市昆仑中学高二（上）第一次
月考数学试卷
一、单项选择（每小题5分，共60分）
1．不共面的四点可以确定平面的个数为( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无法确定 【考点】平面的基本性质及推论． 【专题】计算题．
【分析】不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，由于不共线的三个点确定一个平面，从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，利用组合数写出结果． 【解答】解：∵不共线的三个点确定一个平面， 不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，
∴从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，共有C43=4种结果， 故选C．
【点评】本题考查平面的基本性质及推论，考查不共线的三点可以确定一个平面，考查组合数的应用，本题是一个基础题．
2．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是( ) A．a⊥α且a⊥β B．a⊥γ且β⊥γ
C．a?α，b?β，a∥b D．a?α，b?α，a∥β，b∥β 【考点】平面与平面平行的判定． 【专题】阅读型．
【分析】根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项A是否正确；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误，对于选项C可知两个平面可能相交，选项D，若a与b平行时，两平面相交，对选项逐一判断即可．
【解答】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确； 选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确； 选项C，a?α，b?β，a∥b，α与β 可能相交，故不正确；
选项D，a?α，b?α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β 相交，所以D不正确； 故选：A
【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．
3．图中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的( )
A． B． C． D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】作图题．
【分析】旋转体是由一个圆锥和一个圆台组成的，可知上面是直角三角形，下面是直角梯形．
【解答】解：旋转体是由一个圆锥和一个圆台组成的，可知上面是直角三角形，下面是倒放的直角梯形，旋转以前的图形为两平面图形组合而成的，可知选A． 故选A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．
4．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的是( ) A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【考点】斜二测法画直观图． 【专题】作图题．
【分析】由斜二测画法规则知①正确，②错误，③中平行性不变，梯形两底平行且长度不相等，不可能为平行四边形；④菱形的直观图应为平行四边形．即可选出答案． 【解答】解：由斜二测画法规则知①正确，②错误；，③中平行性不变，梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故不可能为平行四边形；④中由平行于x轴的长度不变，平行于y轴的超度减半，故菱形的直观图应为平行四边形． 故选B
【点评】本题考查对斜二测画法规则的理解，属基础知识的考查．
5．棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【专题】计算题．
【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．
【解答】解：因为四个面是全等的正三角形则
．
，
故选A
【点评】本题考查棱锥的面积，是基础题．
6．三棱锥P﹣ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( ) A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．
【分析】由题意设出三条棱长，两条侧面积，列出方程，求出三条棱长，然后求出三棱锥的体积．
【解答】解：设PA=a、PB=b、PC=c，三棱锥P﹣ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3， 所以ab=12，bc=6，ac=8，解 得，a=4，b=3，c=2，
所以以ABC为底面，棱锥的体积为：
=4
故选A．
【点评】本题是基础题，考查棱锥的表面积，体积与棱长的关系，充分利用三条侧棱两两垂直，是本题的突破口，常考题型．
7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．2+ B． C．
D．1+
【考点】斜二测法画直观图． 【专题】计算题；作图题． 【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+可利用原图和直观图的面积关系求解．
，利用梯形面积公式求解即可．也
【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+×2=2+．
故选A
S=（1+，+1）
【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．
8．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A．25π B．50π C．125π D．都不对
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【专题】计算题．
【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：
，
所以球的半径为：，
所以这个球的表面积是：=50π．
故选B．
【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．
9．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24πcm2，12πcm3 B．15πcm2，12πcm3 C．24πcm2，36πcm3 D．以上都不正确 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】图表型．
【分析】由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为6，圆锥的母线长为5，代入圆锥的表面积和体积公式，我们易得结论． 【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥，
且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5 则圆锥的底面积S底面=π?r2=9π 侧面积S侧面=π?r?l=15π
故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2， 又由圆锥的高h=故V=?S底面?h=12πcm3
故选A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积和体积，考查空间想象能力，根据三视图判断几何体的底面半径和母线长是解答本题的关键．
10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为( ) A．
B．
C．
D．
=4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．
【分析】取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．
【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图， △ADC，△ABC都是等腰直角三角形，
DO=B0==，BD=a，
△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC， DO就是三棱锥D﹣ABC的高， S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：故选D．
，
【点评】本题考查棱锥的体积，是基础题．
11．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A．
B．
C．
D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】计算题．
【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求． 【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，
则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD 为轴截面的小圆锥后剩余的部分．
∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=， BE=ABcos60°=1， V1=
∴V=V1﹣V2=故选：A．
=，
，V2=
=π，
【考点】直线与平面所成的角． 【专题】计算题；空间角．
【分析】取AC中点O，连接MO，NO，则NO垂直平面ABC，可得∠MNO为MN与CC1所成的角，在Rt△MNO中，即可求得MN与CC1所成角的余弦值．
【解答】解：设正三棱柱的棱长为a，取AC中点O，连接MO，NO，则NO垂直平面ABC
∴∠MNO为MN与CC1所成的角
在Rt△MNO中，∠NOM=90°，NO=A1A=2a ∵M，O分别为BC，AC的中点，∴MO=AB=a ∴MN=∴cos∠MNO=
==
a
【点评】本题考查空间角，考查学生的计算能力，正确作出空间角是关键． 21．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH，图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．
求：
（1）画出该标识墩的侧视图； （2）计算该标识墩的表面积．
【考点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图． 【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）根据几何体的直观图以及正视图和俯视图，即可得出它的侧视图； （2）根据图中数据即可求出该几何体的表面积． 【解答】解：（1）根据题意，画出该安全标识墩的侧视图，
如图所示；
（2）∵该安全标识墩的上半部分是正四棱锥，
且底面是边长为40cm的正方形，正四棱锥的高为60cm， ∴正四棱锥的斜高为20，
下半部分是长、宽、高分别为40cm，40cm，20cm的长方体， ∴该安全标识墩的表面积为：
S=×4+40×40=800（6+2）（cm2）． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图与表面积的应用问题，解题的关键是准确判断空间几何体的形状，是基础题目． 22． 已知两个圆锥有公共底面，（14分）且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的值．
，求这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；数形结合；转化法；空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，结合图形设出球的半径，求出球的面积以及圆锥的底面积，由此求出圆锥的底面半径和两圆锥的高的比值．
【解答】解：设球的半径为R=4；则球的表面积为4π×42=64π， 两圆锥的底面积为
×64π=12π，
所以圆锥的底面半径r满足πr2=12π， 解得r=2；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离d，
球的半径R以及圆锥底面的半径r三者构成一个直角三角形， 由此求出球心到圆锥底面的距离d=
所以圆锥体积较小者的高为h=R﹣d=4﹣2=2， 同理得圆锥体积较大者的高为H=R+d=4+2=6；
所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为=．
【点评】本题考查了旋转体的表面积以及球内接圆锥的表面积的应用问题，也考查了计算能力与空间想象能力，是基础题目．
=2，