1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)
x?x??22?x2dx?_____________.
2(2) 已知f?(x)??1,则limx?0x?_____________.
f(x0?2x)?f(x0?x)dy?_____________. dx(3) 设方程exy?y2?cosx确定y为x的函数,则
?0a10L0??00aL0?2??M?,其中ai?0,i?1,2,L,n,则A?1?_____________. (4) 设A??MMM??000Lan?1????an00L0??(5) 设随机变量X的概率密度为
?2x,0?x?1, f(x)??0,其他，?以Y表示对X的三次独立重复观察中事件?X???1??出现的次数,则P?Y?2?? 2?_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
x2?x?1(1) 曲线y?earctan的渐近线有 ( )
(x?1)(x?2)x21(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数??0,而级数
?an?1?2n收敛,则级数
?(?1)n?1?nann??2 ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与?有关 (3) 设A是m?n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B?AC的秩为r1,则
( )
(A) r?r1 (B) r?r1
(C) r?r1 (D) r与r1的关系由C而定
(A) 事件A和B互不相容 (B) 事件A和B相互对立 (C) 事件A和B互不独立 (D) 事件A和B相互独立
(4) 设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(AB)?P(AB)?1,则 ( )
(5) 设X1,X2,L,Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本,X是样本均值,记
S21?1nn?1?(X?X)2,S21ni2??(Xi?X)2,i?1ni?1S21n21n
n?1?(Xi??),S23?4?(Xi??)2,i?1n?i?1则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是 ( ) (A) t?X??S (B) t?X?? 1S2n?1n?1(C) t?
X??S (D) t?X?? 3S4nn
三、(本题满分6分)
计算二重积分
??(x?y)dxdy,其中D??(x,y)x2?y2?x?y?1?. D
四、(本题满分5分)
设函数y?y(x)满足条件??y???4y??4y?0,???y(0)?2,y?(0)??4,求广义积分?0y(x)dx.
五、(本题满分5分)
已知f(x,y)?x2arctany2x?2fx?yarctany,求?x?y.
六、(本题满分5分)
设函数f(x)可导,且f(0)?0,F(x)??xn?10tf(xn?tn)dt,求limF(x)x?0x2n.
七、(本题满分8分)
已知曲线y?ax(a?0)与曲线y?lnx在点(x0,y0)处有公共切线,求: (1) 常数a及切点(x0,y0)；
(2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx.
八、(本题满分6分)
假设f(x)在[a,??)上连续,f??(x)在?a,???内存在且大于零,记
F(x)?证明F(x)在?a,???内单调增加.
九、(本题满分11分) 设线性方程组
f(x)?f(a)(x?a),
x?a?x1?a1x2?a12x3?a13,?23?x1?a2x2?a2x3?a2, ?23?x1?a3x2?a3x3?a3,?x?ax?a2x?a3.4?14243(1) 证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则此线性方程组无解；
(2) 设a1?a3?k,a2?a4??k(k?0),且已知?1,?2是该方程组的两个解,其中
??1??1??,???1?,
?1??1??2?????1????1??写出此方程组的通解.
十、(本题满分8分)
?001???设A?x1y有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件. ????100??
十一、(本题满分8分)
假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且同分布
P?Xi?0??0.6,P?Xi?1??0.4(i?1,2,3,4),
求行列式X?
X1X3X2X4的概率分布.
十二、(本题满分8分)
假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(?,1),内径小于10或
大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系:
??1,X?10,? T??20,10?X?12,
??5,X?12.?问平均内径?取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知
原式? ?22xxxdx?dx?2??22?x2??22?x2?02?x2dx 2?2012dx 22?x20?ln(2?x2)?ln6?ln2?ln3.
(2)【答案】1
【解析】根据导数的定义,有f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0).
?x所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于
f(x0?2x)?f(x0?x)
x?0xf(x0?2x)?f(x0)?f(x0?x)?f(x0)?lim x?0xf(x0?2x)?f(x0)f(x0?x)?f(x0)?(?2)lim?lim??2f?(x0)?f?(x0)?1.x?0x?0?2x?xlim所以 原式?limx?0x1??1.
f(x0?2x)?f(x0?x)1yexy?sinx(3)【答案】y???
xexy?2y【解析】将方程e?y?cosx看成关于x的恒等式,即y看作x的函数. 方程两边对x求导,得
xy2yexy?sinx. e(y?xy?)?2yy???sinx?y???xexy?2yxy【相关知识点】两函数乘积的求导公式：?f(x)?g(x)???f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x).