湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题（2）
麻城三中数学组命制
一、选择题(本题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．(理科)??（0，?），若
sin??cos?isin??cos?i?R，则α=( )
A．?3 B．?2
C．2?3
D．不存在
(文科） 若函数g?x??sin2xcos(?2?2x)的最小正周期是（ ）
A．?4
B．?2
C．?3
D．2π
2．在锐角△ABC中，A＞B是sinA＞cosB的( )
A． 必要不充分条 B． 充分不必要条件 C． 充要条件
D． 非充分非必要条件
3．函数f(x)?3x?1?13x?1的反函数是f(x)，若f?1(x)?0，则x的取值范围是（ A．(－∞，－1)
B．(－∞，0)
C．(－1，0)
D．(1，＋∞)
4．某部队为了了解战士课外阅读情况,随机调查了50名战 士,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据.结果 用右面的条形图表示,根据条形图可得这50名战士这一天 平均每人的课外阅读时间为（ ）
教育博客
A．
教育博客 B．
教育博客 C．
教育博客 D．
5．在平面直角坐标系中,过A?2,2?的直线为L.到原点距离等于m的直线L有( 教育博客 )条.
A． 0 B． 1教育博客
C． 2
D． 以上答案都正确
6．不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|中两等号同时成立的充要条件是（ 教育博客 ）
）
A．|b|?0 7．二项式(y?B．|a|?|b|?0 C．a、b反向
教育博客D．a、b同向
1n)的展开式中前三项系数成等差数列，则展开式的常数项为（ ） 2y教育博客A．T4?35 8B．T4?70
教育博客C．T5?70
教育博客D．T5?35 8教育博客8．在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC⊥BC，∠AB1C＝α，∠ABC＝β，∠BAB1＝θ，则（ ）
A．sinα＝sinβcosθ C．cosβ＝cosαcosθ
B．cosα＝cosβcosθ
教育博客D．sinβ＝sinαcosβ
9．(理科)函数f(x)?x?4m?x的单调递增区间为(－∞，1)，则实数m等于（ ）
教育博客A．1 B．3
教育博客C．5
教育博客D．7
(文科） 设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)?1,且对任意实数a、b都有
f(a)?f(a?b)?b(2a?b?1)，则f(x)的解析式可以是
A． f(x)?x2?x?1 C． f(x)?x?x?1
2B． f(x)?x2?2x?1D． f(x)?x?2x?12教育博客
教育博客
10．(理)设f?x??x3?bx2?cx,又m是一个常数.已知当m＜0或m＞4时, f(x)?m?0只有一个实根;当0＜m＜4时, f(x)?m?0有三个相异实根,现给出下列命题:(1)
f(x)?4?0和f'(x)?0有一个相同的实根;(2) f(x)?0和f'(x)?0有一个相同的实
根;(3) f(x)?3?0的任一实根大于f(x)?1?0的任一实根;(4) f(x)?5?0的任一实根小于f(x)?2?0的任一实根.其中错误命题的个数是（ ）
教育博客A． 4 B． C． 2 D． 1
教育博客x2y2??1的左准线为l，左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的准线为l，(文)椭圆C1:43焦点为F2，C1与C2的一个交点为P,则|PF2|的值等于（ ）
教育博客A．
2 3C． 2
4 38D．
3B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上）
11．在一次有奖彩票的100000个有机会中奖的号码(编号00000—99999)中，民政部门按照
教育博客随机抽取的方式确定后两位是88或68的号码作为中奖号码，这是运用了____________抽样方法．
教育博客12．（理科）等腰直角三角形ABC中，AB=1，锐角顶点C在平面α内，β∥α，α、β的距离为
教育博客1， 随意旋转三角形ABC，则三角形ABC在β另一侧的最大面积为 。 (文科)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。
教育博客x2y213．已知双曲线2?2?1的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线右支上任意
ab一点,则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为______________
教育博客14．已知函数f(x)?1?3(x?1)?3(x?1)2?(x?1)3则：
教育博客f?1?8??f?1?? 。
教育博客15．（理科）给出下列四个命题：
①函数y?f(x)在x?x0处可导，则函数y?f(x)在x0处连续；
教育博客教育博客②函数y?f(x)在x?x0处的导数f(x0)?0，则f(x0)是函数y?f(x)的一个极值；
教育博客③函数y?f(x)在x?x0处的导数不存在，则f(x0)不是函数y?f(x)的一个极值；
教育博客④函数y?f(x)在x?x0处连续，则函数在x?x0处可导；
教育博客教育博客⑤函数y?f(x)在x?x0处的左、右极限存在，则函数y?f(x)在x0处连续； 其中正确的命题的序号是________________(请把所有正确命题的序号都填上)。
教育博客(文科）曲线y?2x?x上在横坐标为?1的点处的切线方程是______________. 三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)
教育博客3设钝角三角形ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，a>b>c, b=2asinB,
(1) 求∠A 的大小.
(2)求cosB+sinC的取值范围.
17．(本小题满分12分)
如图在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD为平行四边形, PA⊥面ABCD， PC?BD?0，
教育博客教育博客PA＝AB＝2。 ?BAD?60。
教育博客?(１） 证明：面PAC⊥面PBD．
教育博客(２）求Ｃ到面PBD的距离．
教育博客(３）(理科)求面PBC与面PAD的二面角的大小．
18．（理科）(本小题满分12分)
甲、乙两人定点投篮，甲投篮3次，记投篮投中的次数为ξ；乙投篮2次,记投篮投中的次数
教育博客为η．
教育博客(1)求Eξ和Dξ；
教育博客(2)规定：若ξ>η，则甲获胜；若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲、乙获胜的概率。
教育博客教育博客(文科）如图是一个正方体魔块（表面有颜色），将它掰开（沿图中各面的线），得到27
教育博客教育博客棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中。
教育博客教育博客
(1）从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率为多少？ (2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中一个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率为多少？
教育博客教育博客
19．(本小题满分12分)
教育博客(理科）已知f?x??2mx?(1） 求m,n的值；
教育博客1n处都取得极值。 ?lnx在x?1与x?2x教育博客教育博客(2） 若对x?[131,4]时，f?x??lnc?恒成立，求c的取值范围； 412教育博客(文）已知f?x??(1)当|a|?23x?ax2?3x,(a?R)。3教育博客
1时,求证: f(x)在(-1，1)内是减函数；2教育博客
(2)若y?f(x)在(-1，1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围；
教育博客
20．(本小题满分13分)
教育博客已知抛物线x2?2y上有两个点A（x1，y1）B(x2，y2)且x1x2??2m（m为定值且m>0）。
教育博客(1） 求证：线段AB与轴的交点为定点（0， m）；
教育博客教育博客(2） (理科)过A，B两点做抛物线的切线，求PA与PB夹角的取值范围；
教育博客教育博客(文科)过A，B两点做抛物线的切线，求两切线夹角的取值范围；
21．(本小题满分14分)
(理科）已知函数f?x??x2?1?1?x?0?，x教育博客数列?an?满足a1?0,且
an?f?1?an?1??n?N*?。
教育博客(1） 若数列?an?的前n项和为Sn，试比较Sn与nan的大小；
教育博客(2） 若a1?1,证明：Sn?an?1； (文科）在数列?an?中，a1?1，
an1?1?. an?1n教育博客(1) 求an；
教育博客(2)设小；
f?x??sinx,An是数列?f?an??前
n项的和, Bn是?an?前n项的和,比较An与Bn的大
参考答案：
1 (理）B【解析】：
?sin??cos?i2??sin??cos?i???cos2??sin2?i?R∴??
2sin??cos?i?2?2x)?sin22x?11?cos4x 22教育博客(文）B【解析】：g?x??sin2xcos(∴函数的周期为T??2。
教育博客2、 B 【解析】：A?B?无关. ∴选B.
?2?A??2?B?0?sinA?cosB恒成立，与A>B
3x?1?2y?1?1?x(x?0)得, 3x?3、 C 【解析】：本题实际是求值域，y?x∴ 3?13?11?y0?y?1?1∴选C. 1?y教育博客
4 .B 【解析】:20?0.5?1?10?1.5?10?2?5?0.9，∴选B.
教育博客505. D 【解析】： 由于直线L过定点（2，2），原点到L的最小距离为22，故当m?22时，0条。m?22时，1
条。m?22时，2条。∴选D.
6. A 【解析】：右边等号成立条件为a、b同向，左边等号成立条件为a、b异向且
|a|?|b| ∴|b|?0满足题意。∴选A.
教育博客7. D 【解析】：(y?120n1n?111)的展开式中前三项为Cny,Cny()， 2y2y教育博客2n?2Cny(nn?n?1?12n?n?1?),其系数为1、，，∴ n?1?，解之得n?8。
8282y351rr1rn?2r)?Cn()y当r?4时， T5?， 故选D。
82y2教育博客又Tr?1?Cnyrn?2(8. C 【解析】：如图在RT△AB1C中sin??AC， AB1教育博客在RT△ABC中sin??AC， AB在RT△AB1B中cos??AB，∴sin??sin?cos?，故选C。 AB1教育博客9.（理）C【解析】：换元法用复合函数的单调法则处理或用导数法。令t=m?x,则
教育博客f?t???t2?4t?m，欲使f(x) 的单调递增区间为(－∞，1)，需使f(t)的单调递减区间
为(m?1，+∞)，即为(4，+∞)，∴m=5。故选C。
(文）A【解析】：令a?b?x,得f(x)-f(0)=x(2x-x+1)=x2+x.又f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1. 10.（理）D【解析】：有题意可知4为f?x??x3?bx2?cx的极大值,
教育博客 0为
f?x??x3?bx2?cx?d的极小值,有右图,⑴⑵⑷正确.
教育博客
(文）D【解析】：椭圆的离心率为
11 ，P到椭圆的左准线的距离设为d，则|PF1|=d，|PF2|+ 22|PF1|=4，又|PF2|=d，∴|PF2|=
8。故选D。 311.系统. 【解析】：有系统抽样的定义可知。
?12. (理)
2?1【解析】：当直角三角形的斜边垂直与平面时,所求面积最大.本题是近几2?2年高考中常出现的竞赛性题目类似题。
(文) 1∶5【解析】：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球
教育博客的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距33a，故正三棱柱的高为a，当球33外接正三棱柱时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角
教育博客形构成两个正三棱锥，R2?(23232 a)?(a)，∴内切球与外接球表面积之比为1∶5。
63教育博客13 .内切 【解析】：如图在三角形PF1F2 中
OQ?PF?2aPF11PF2?1??a 222∴内切
14．1 【解析】：由题意得f?x???2?x?，令f?x??8得x=0, ∴f3?1(8)?0，令x=1，
f(1)?1。
15. (理）① 【解：由定义知，①正确，②④⑤错误。函数求导是求极值的方法之一，求极值的方法与函数存在极值无关，故③错误。
'2'(文）x+y-2=0【解析】：f(?1)??2?1??1，f(x)?2?3x，f(?1)?2?3??1
∴切线方程为y?1??(x?1), 即x+y-2=0.
17．【解析】：（1）?b?2asinB ∴sinB?2sinAsinB∴sinA?1， 3分 2∵△ABC为钝角三角形，a>b>c, ∴A为钝角， ∴A?5?。 5分 6(2）由（1）知B?C??6，C为最小角，0?C??12 ，
∴cosB?sinC?cos(?6?C)?sinC?3sin(C??6) 8分
∵C?(0,?12)，∴C???(,) 664??∴cosB?sinC的取值范围为(3,2)。 10分 218．如图（1）证明：连AC，BD ∵PA⊥BD，PC⊥BD ∴BD⊥面PAC， ∴面PAC⊥面PBD． 2分
(2）【解法1】：O为AC的中点，故A、C到面PBD的距离 相等。连PO，过A做AE⊥PO于E，∵面PAC⊥面PBD． ∴AE为A到面ＰＢＤ的高。 4分
在Rt△APO中，AO?3，AP=2，∴AE?AO?AP3?2221。 7分 ??PO73?4【解法2】：VP?ABD?VA?PBD ∴SABD?PA?SPBD?AE.
∴AE?221. 7分 7教育博客教育博客(3)解: ∵BC∥AD ∴BC∥面PAD, ∴过P做PQ即为面ＰＢＣ与面ＰＡＤ
P(?P(?P(?P(?P(?P(?P(?11?0)?C?()3?,28131?1)?C3?()3?,2813?2)?C32?()3?,28113?3)?C3?()3?,28110?0)?C2?()2?,24111?1)?C2?()2?,22112?2)?C2?()2?2403的交线.过B做BM⊥AD于M,BM⊥面ＰＡＤ,过M做MQ⊥PQ于Q,连BQ,则∠BQM为面PBC与面PAD的二面角的平面角。 9分
教育博客在Rt△BQM中，BM=
3教育博客，MQ=2 ∴tan∠BQM=
3 ∴∠2BQM=arctan3。 12分 2教育博客19.（理）【解析】: (1)依题?～B(3,)，∴E??3?1213?，22113D??3??? 。 4分
224 (2) 甲获胜有以下情况：ζ=1，η=0，ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2.
教育博客则甲获胜的概率为：
P1?3131111111???(?)??(??)?.8484284242 9分
教育博客乙获胜有以下情况： η=1，ζ=0；η=2，ζ=0，1. 则乙获胜的概率为：
P2?111133???(?)?.2848816 12分
(文）在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个.
(1）记“从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色”为事件A，则P（A）=
1. 272
(2）从27个小正方体中同时任意取出2个小正方体，共C27种等可能的结果.这些结果中，
有一个小正方体恰好有1面涂有颜色；另一个小正方体至少有2个面涂有颜色有
111C6(C12?C8)种.所以从27个小正方体中同时任意取出2个小正方体，有一个小正方体恰
好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色概率为
p?C1116(C12?C8)40C2?。 2711720．（理）【解析】：（1）f'?x??2m?n1x2?x，由求函数极值的过程可知1与12为 方程2m?n1?2m?n?x2?x?0的两个根。代入得?1?0?2m?4n?2?0 解之得m??13,n?13。 5分 (2）由（1）得f?x???21'21113x?3x?lnx，f?x???3?3x2?x??3x2?x?1??2x?1?。 分
故当x?[14,12)时，f'?x??0,f?x?是减函数，
当x?(12,1)时, f'?x??0,f?x?增函数，
当x?(1,4]时，f'?x??0,f?x?是减函数，
又f??1?82??76?ln2.，f?4???3?112?2ln2 ??f?4??f??1????83?112?2ln2?(715?2?6?ln2.)=?4?3ln2??3?3?0 ∴在x?[14,4]上，f?x?的最小值为 f?4???3112?2ln2 10分 使f?x??lnc?31恒成立，只要12lnc?3112??3112?2ln2
∴0?c?4 12分 (文） (1)证明:∵f(x)=
23x3-ax2
-3x, ?f???1??2(a?1)?0∴f′(x)=2x2-2ax-3.2分∵|a|≤1??2,2,∴? 3???f??1???2(a?1分
2)?0.
7
又∵二次函数f′(x)的图象开口向上
∴在(-1，1)内f′(x)<0.故f(x)在(-1,1)内是减函数. 6分 (2)解:设极值点为x0∈(-1,1),则f′(x0
1????f?1?2(a?)?0,?1?2当a>时，∵?∴在(-1，x0)内f′(x)>0,在(x0,1)内f′(x)<0
2?f??1???2(a?1)?0.?2?即f(x)在(-1，x0)内是增函数，f(x)在(x0,1)内是减函数∴当a>当a
1时f(x)在(-1，1)内有且只有一个极值点且是极大值点 21时，同理可知f(x)在(-1，1)内有且只有一个极值点,且是极小值点. 2教育博客11≤a≤时，由(1)知f(x)在(-1，1)内没有极值点.
2211)∪(，+∞). 12分
22教育博客教育博客教育博客故所求a的取值范围是(-∞，?21.【解析】：（1）∵x1 x2=-2m<0 ∴线段AB与轴必有交点，且设为M（0, y0）。
2?设A?x1,x1?2?2??x2，B??x2,??2????， ??教育博客∴
x1?x2x1?y0112 ∴x1x22?x1y0?x2x12?x2y0 ?222x2y0?2教育博客教育博客2∵x1 x2=-2m ∴?mx2?x1y0??mx1?x2y0
∴m(x2?x1)?y0(x2?x1) ∵x2?x1 ∴m?y0。
教育博客即线段AB与轴的交点为定点（0, m）。 6分
(2) (理）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P ，则两切线的夹角为∠APB 。
x2'由x?2y可得y?，则y?x，
22∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为KAP?x1,KAP?x2， 若m?若m?1? ，则tan?APB?. 221x?xx?x2，∴tan?APB?1? 12, 21?2m1?x1x2
∵x1 x2=-2m ∴x1?x2???x2?x1???2?x1x2??2?2m, 9分
?2?2m>0 ∴2?2m∠APB
21?2m1?2m综上所述, m?m??1 ，则tan?APB?
22?1时， 2?2m∠APB<.
arctan?222m?112?2m∠APB
(2）（文）设过A，B两点做抛物线的切线的交点为P ，则两切线的夹角为∠APB 。
x2由x?2y可得y?，则y'?x， 8分
22∴过A，B两点做抛物线的切线的斜率分别为KAP?x1,KAP?x2， 若m?若m?1 ，则tan?APB??。 221，∴tan?APB?x1?x2?x1?x2 10分 21?x1x21?2m∵x1 x2=-2m ∴x1?x2?2?x1x2?2?2m。
?∴tan?APB?2?2m， arctan2?2m?∠APB<.
21?2m1?2m?∴两切线夹角的取值范围为[arctan2?2m，]。 12分
21?2m22．（理）【解析】：(1)f?x??x2?(x2?1?1)x?12x2?1?1?x?0? ， x1??1x2?1?0，∴2x则f'?x??x2?1f?x?在?0,???上为增函数。2分
an?1?1an2∵an?f?an?1?，f?x??x2?1?1?0?x?0? ∴an?1?x?0。4分
?12?22又a1n?1?an?an?1?1?1an?1???1?2an?2?， aan?n2an2∵(a2?1)2????1?12?142an? ，∴a?1na???4an?0n?12n。 ∴a?11?2a2?22a3???2nan ，
∴Sn?a1?a2??an?1n?2an?2n?2an??a?nn?2?1?an， ∴Sn?nan??2n?n?1?an,∵2n?n?1??1?1?n?n?1?0
∴Sn?nan?0,∴Sn?nan. 8分 (2)由（1）知Sn?(2n?1)an，∴Sn?an?2nan。
下面只需比较a1n与
2n即可。 9分 ∵22a?1?1?1??1?an?n?1?1?ana?1?ana
nn?a2n?1???1?a2n???2an?0
∴0?an?1?1，∴0?an?1。
a2an?1an?111112n?2?2∴
1?an?11?an?1，∴a??n2an?12，即a?n?1a?1n。
1?1?2(1a?1),1?1?2n?1(1?1)?2n,∴an?1n∴an?1a1
a11n?2n?1?2nS。∴n?ann1故
n?2an?2?2n?1. 12分
(文）解：（1）由
ana?1?1得，nan??n?1?an?1，2分 n?1n∴?nan?构成以1?a1为首项的常数数列，又1?a1=1，故nan=1，∴an?1n. (2)令g?n??a?f?a??1nn?sin1,
nn可使g?x??1?sin1xx(x>0).
5分
则在单位圆中，由当???0, ∴ 1?sin1 9分
xx????,sin????tan? ?2?∴1?sin1?1?sin1???1?sin1>0
22nn∴1?sin1,1?sin1,?,1?sin1 ∴An 22nn