…………… … … … … … … … … … 线 :…业…专…级年…… … … … … … … … … :别…系 …) 题封 … 答… 不… 内… 线… … 封… 密… (… … … :号…学… … … … … … 密 … …:名…姓……………………………… 东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）答案
2007--2008 学年第一学期
《 高等数学(A)I 》试卷答案
开课单位： 数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场
题序 一 二 三 四 五 六 总 分 得分 评卷人 一、填空题（共50分 每小题2分）
1．f(x)?ln(x?2)x?3的定义域是 (2,3)?(3,??).
2．lim??x?cos2??x?0?x?? 0．
3．lim?1?ax?1xx?0?2,则a? ln2.
4．设f(x)?(x?1)(x?2)x2?1，则x? 1___是f(x)的可去间断点． 5．函数y?1x有___2____个间断点．
1?ex?16．x?0，sinx2是x2的__等价___（等价、高阶）无穷小．
7．设f(x)???ex,x?0a?x,x?0是连续函数，则a?__1__.
?8．已知 f?(2)?3, 则 limf(2?h)?f(2)h?03h? -1___. 9．曲线y?sinx在点(?,0)处的切线方程为 x?y???0.
《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 1页 共 6 页
_____________ ________ 10．设y?arctanx2，则dy?
2xdx． 41?xx?x011．设函数f(x)在点x0处可微，则limf(x)? f(x0).
?x?at2dy3b12．若?，则 ?t． 3dx2a?y?bt13．函数y?ex?x?1的单调增加区间是 [0,??)． 14．函数y?x?1(x?0)的图形的凹区间是(0,??)． x15．设f(x)在x0处可导且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?___0___. 16．x?0是函数y?x?ln(1?x)的极__小___值点. 17．
ddx?ex1sintdt?sinex． t18．sin(3x?1)dx??1． 3cos(3x?1)?C??19．limx?0xcost2dt0x?__1__．
20．若
??f(x)dx?2x?x3?C，则f(x)?2xln2?3x2．
21．
ddxf(x)dx?f(x)．
22．广义积分
???11dx的敛散性是_发散 ． x23．用定积分表示光滑曲线弧y?f(x)上相应于a?x?b的一段弧的弧长
?b1??f?(x)?dx．
2a24．抛物线y?x2与y2?x在第一象限所围的图形的面积A?1．
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…………… … … … … … … … … … 线 :…业…专…级年…… … … … … … … … … :别…系 …) 题封 … 答… 不… 内… 线… … 封… 密… (… … … :号…学… … … … … … 密 … …名:…姓……………………25．由曲线y?ex，直线x?0,x?1及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积V??2(e2?1)． 二、解答题（共15分 每小题5分）
1．xlim???x(1?x2?x)
?xlimx???1?x2?x ????2?
?lim1x??? ????2? 1?1x2?1?12 ????1? 2．limex?x?1x?0x2 ?limex?1x?02x ????2? ?limexx?02 ????2? ?12 ????1? 3．limsinx?tanxx?0x
?limsinx(cosx?1)x?0xcosx ????2?
?limsinxx?0x?cosx?1cosx ????2?
?0 ????1?
三、解答题（共15分 每小题5分）
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1．设y?ln(x?1?x2)?arctan1?e2,求y?. xy???x?1??x?1?x2?1?x21?1?1?????2? ????3? ?1??1?2??x??x?11?x2?1 ????2? 21?x2．设函数y?xsinx(x?0)，求dy.
lny?sinx?lnx ????1?
1sinx? ????2? ?y?cosx?lnx?yxy??xsinx(cosx?lnx?dy?xsinx(cosx?lnx?sinx) ????1? xsinx)dx ????1? x3．已知y?y(x)是由方程ey?xy?e所确定的隐函数，求y?(0)．
ey?dydy?y?x?0 ????2? dxdxdyy??y ????2? dxe?xdydx??x?0yey?x??e?1 ????1?
x?0四、解答题（共10分 每小题5分）
1．
?xexdx
1x2ed(x2) ????3? 22??1x2?e?C ????2? 2《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 1页 共 6 页
…………… … … … … … … … … … 线 :…业…专…级年…… … … … … … … … … :别…系 …) 题封 … 答… 不… 内… 线… … 封… 密… (… … … :号…学… … … … … … 密 … …名:…姓……………………22．
?x3lnxdx
1??2lnxd(14x4)1 ????2?
?1?x4214lnx?1?4?2x4?1xdx1 ????1?
?4ln2?116?x4?21 ????1?
?4ln2?1516 ????1? 五、(6分)．设抛物线y?ax2?bx?c过原点，当0?x?1时y?0，
又已知该抛物线与x轴及直线x?1所围图形的面积为
13，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小．
解：由抛物线y?ax2?bx?c过原点，得c?0， ????1?
1 ?面积S??(ax2?bx)dx?a?b?1，?b?2(1?a)，??03233??1?
1从而体积V???(ax2?2(1?a)x)2dx
03 ????2a2?a?4??1352727?? ????1? V???(4a135?127)， ????1? 令V??0，得唯一驻点a??54，从而当a??54，b?32，c?0时，旋转体的体积最小． ????2?
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六、(4分) f(x)在[a,??)上连续，f(a)?0，f??(x)?0，下面有两种证法
证明g(x)?f(x)在(a,??)内单调增加：
(x?a)法一 ?f(x)在[a,x](x?a)上连续，在(a,x)内可导，?由拉格朗日定理
得
f(x)?f(a)?f?(?)(a???x)，
x?a将f(a)?0代入上式得g(x)?f(x)?f?(?)，
(x?a)?在(a,??)内f??(x)?0，?f?(x)在(a,??)内单调增加，?f?(?)在
(a,??)内单调增加，由此g(x)?法二 g?(x)?f(x)在(a,??)内也单调增加．
(x?a)f?(x)(x?a)?f(x)， 设 F(x)?f?(x)(x?a)?f(x)， 2(x?a)则 F?(x)?f??(x)(x?a)．
由题设知F(x)在[a,??)?在(a,??)内f??(x)?0，x?a?0,?F?(x)?0，
上连续，?F(x)在[a,??)上单调增加，又F(a)?0，?在(a,??)内F(x)?0，从而在(a,??)内g?(x)?0，由此g(x)?f(x)在(a,??)内单调增加．
(x?a)问题：哪一种证法是正确的？哪一种证法是错误的？为什么？
解：法二是正确的，法一是错误的， ????2? 因为随着x的增大?并不一定增大． ????2?
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六、(4分) f(x)在[a,??)上连续，f(a)?0，f??(x)?0，下面有两种证法
证明g(x)?f(x)在(a,??)内单调增加：
(x?a)法一 ?f(x)在[a,x](x?a)上连续，在(a,x)内可导，?由拉格朗日定理
得
f(x)?f(a)?f?(?)(a???x)，
x?a将f(a)?0代入上式得g(x)?f(x)?f?(?)，
(x?a)?在(a,??)内f??(x)?0，?f?(x)在(a,??)内单调增加，?f?(?)在
(a,??)内单调增加，由此g(x)?法二 g?(x)?f(x)在(a,??)内也单调增加．
(x?a)f?(x)(x?a)?f(x)， 设 F(x)?f?(x)(x?a)?f(x)， 2(x?a)则 F?(x)?f??(x)(x?a)．
由题设知F(x)在[a,??)?在(a,??)内f??(x)?0，x?a?0,?F?(x)?0，
上连续，?F(x)在[a,??)上单调增加，又F(a)?0，?在(a,??)内F(x)?0，从而在(a,??)内g?(x)?0，由此g(x)?f(x)在(a,??)内单调增加．
(x?a)问题：哪一种证法是正确的？哪一种证法是错误的？为什么？
解：法二是正确的，法一是错误的， ????2? 因为随着x的增大?并不一定增大． ????2?
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