星期一 (三角与数列) 2017年____月____日
1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用)
(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 C10sin ＝. 24(1)求cos C的值；
31513
(2)若△ABC的面积为4，且sin2A＋sin2B＝16sin2C，求a，b及c的值.
C10
解 (1)因为sin 2＝4，
C1
所以cos C＝1－2sin22＝－4. 13
(2)因为sin2A＋sin2B＝16sin2C，由正弦定理得
13
a2＋b2＝c2，①
16
132222
由余弦定理得a＋b＝c＋2abcos C，将cos C＝－4代入，得ab＝8c，②
31515
由S△ABC＝4及sin C＝1－cos2C＝4，得ab＝6，③
?a＝2，?a＝3，
由①②③得?b＝3，或?b＝2，
?c＝4，?c＝4.
经检验，满足题意.
所以a＝2，b＝3，c＝4或a＝3，b＝2，c＝4.
2.数列(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等.)
2S2n(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝
2Sn－1(n≥2).
?1?
(1)求证：数列?S?是等差数列；
?n?
1113
(2)证明：当n≥2时，S1＋2S2＋3S3＋?＋nSn＜2. 2S2n证明 (1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，
2Sn－1
11
Sn－1－Sn＝2SnSn－1，－＝2，
SnSn－1
?1?
从而?S?构成以1为首项，2为公差的等差数列.
?n?
11
(2)由(1)可知，S＝S＋(n－1)32＝2n－1，
n1
1
∴Sn＝，
2n－1
111
∴当n≥2时，nSn＝＜
n（2n－1）n（2n－2）1?111?1
－? ＝22＝?
n（n－1）2?n－1n?111
从而S1＋2S2＋3S3＋?＋nSn
11111?3131?1－＋－＋?＋－?＜1＋2＝－＜. 223n－1n???22n2
星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日
1.概率统计(命题意图：考查独立性检验及超几何分布列问题)
(本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据(人数)：
男 女 总计 赞同 5 11 16 反对 6 3 9 总计 11 14 25 (1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？ (2)进一步调查：
①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
②从反对“男女延迟退休”的9人选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：
P(K2≥k0) k0 2
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 n（ad－bc）2
K＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
253（533－6311）2
解 (1)K的观测值k＝≈2.932＞2.706，
1639311314
2
由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关. (2)①记题设事件为A，则所求概率为
121C5C11＋C2115C11
P(A)＝＝3C1616，
k3－k
C3C6
②根据题意，X服从超几何分布，P(X＝k)＝C3，k＝0，1，2，3.
9
X的分布列为：
X P 0 521 1 1528 2 314 3 184 51531X的数学期望为E(X)＝0321＋1328＋2314＋3384＝1. 2.立体几何(命题意图：考查线线垂直及面面角的求解) (本小题满分12分)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点. (1)求证：BD⊥EG；
(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.
(1)证明 ∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥BE，
∴BE，EF，AE两两垂直，
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴. 建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，
→→
∴EG＝(2，2，0)，BD＝(－2，2，2)， →2EG→＝－232＋232＝0，∴BD⊥EG. ∴BD
→＝(2，0，0)是平面DEF的法向量，
(2)解 由已知得EB
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z) ， →＝(0，2，2)，EG→＝(2，2，0)， ∵ED
→2n＝0，y＋z＝0，??EG??∴即?令x＝1，得n＝(1，－1，1)， →x＋y＝0，???ED2n＝0，设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ， →
n·EB233→则|cos〈n，EB〉|＝＝＝3，则cos θ＝3. →|23|n|·|EB3
∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为3.
星期三 (解析几何) 2017年____月____日
解析几何(命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题) x2y2
(本小题满分12分)如图，已知F1、F2是椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以BF2为直径的圆D经过椭圆的上→|＝|AF→|，F→→＝6.
顶点A，且|BFBA111A·(1)求椭圆C的方程及圆D的方程；
(2)斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆C交于M、N两点，若在x轴上存在点P(m，0)，使得以PM、PN为邻边的平行四边形为菱形，求实数m的取值范围. →|＝|AF→|， 解 (1)因为以BF2为直径的圆经过椭圆的上顶点A，且|BF11π
所以∠BAF2＝2，∠BAF1＝∠ABF1， 所以∠F1AF2＋∠BAF1＝∠AF2B＋∠ABF1， 所以∠F1AF2＝∠AF2F1， 所以△F1AF2是等边三角形. →|＝|F→→所以|AF11F2|＝|BF1|＝2c，
→→→
又|AF1|2＝|OF1|2＋|OA|2，即4c2＝c2＋b2＝a2， 则B(－3c，0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)， →→所以F(3c，b)＝3c2＋b2＝6， 1A2BA＝(c，b)·所以a2＝4，b2＝3，c2＝1， x2y2
所以椭圆C的方程为4＋3＝1. →|＝2，得
由F1(－1，0)，|AF1圆D的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知F2(1，0)，则l：y＝k(x－1)，
y＝k（x－1），??
联立?x2y2消去y整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
＋＝1，??43
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则Δ＝(－8k2)2－4(3＋4k2)(4k2－12)＝1639(k2＋1)＞0，8k2
x1＋x2＝，y＋y＝k(x1＋x2－2)，
3＋4k212
→＋PN→＝(x－m，y)＋(x－m，y)＝(x＋x－2m，y＋y). 所以PM11221212→＋PN→)·→＝0， 由于菱形的对角线互相垂直，则(PMMN
→的一个方向向量是(1，k)，故x＋x－2m＋k(y＋y)＝0，所以x＋x－2m因为MN121212＋k2(x1＋x2－2)＝0，
2
8k8k2??2
所以k?3＋4k2－2?＋－2m＝0，
??3＋4k2由已知条件知k≠0，
k211
所以m＝＝，所以0＜m＜
4， 3＋4k23
k2＋4
1??
故实数m的取值范围是?0，4?.
??
星期四 (函数与导数) 2017年____月____日
函数与导数(命题意图：考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.) (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋1，g(x)＝ln(x＋1).
(1)当实数a为何值时，函数g(x)在x＝0处的切线与函数f(x)的图象相切；
(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)＋g(x)≤x＋1恒成立，求a的取值范围； (3)已知n∈N*，试判断g(n)与g′(0)＋g′(1)＋?＋g′(n－1)的大小，并证明之. 解 (1)∵g(x)＝ln(x＋1)， ∴g′(x)＝
1
，g′(0)＝1， x＋1
故g(x)在x＝0处的切线方程为y＝x. ?y＝x，由?得ax2－x＋1＝0， 2
?y＝ax＋1，∴Δ＝1－4a＝0， 1∴a＝4.
(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)＋g(x)≤x＋1恒成立， 即ax2＋ln(x＋1)－x≤0恒成立. 设h(x)＝ax2＋ln(x＋1)－x(x≥0)， 只需h(x)max≤0即可. h′(x)＝2ax＋
x[2ax＋（2a－1）]1
－1＝. x＋1x＋1
－x
①当a＝0时，h′(x)＝，当x＞0时，h′(x)＜0，
x＋1函数h(x)在[0，＋∞)上单调递减， 故h(x)≤h(0)＝0成立.
1
②当a＞0时，由h′(x)＝0，得x＝2a－1或x＝0.
11
1° 2a－1＜0，即a＞2时，在区间(0，＋∞)上，h′(x)＞0，则函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)在(0，＋∞)上无最大值，此时不满足条件.
111??
2° 若2a－1≥0，即0＜a≤2时，函数h(x)在?0，2a－1?上单调递减，在区间
??
?1?
?2a－1，＋∞?上单调递增，同样h(x)在[0，＋∞)上无最大值，不满足条件. ??③当a＜0时，h′(x)＜0，函数h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0成立，
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0].
(3)结论：g(n)＜g′(0)＋g′(1)＋g′(2)＋?＋g′(n－1).
1
证明：当a＝0时，ln(x＋1)≤x(当且仅当x＝0时取等号)，令x＝n， ?1?1∴ln?n＋1?＜n，
??1∴ln(n＋1)－ln n＜n. 1
故有ln(n＋1)－ln n＜n， 1
ln n－ln(n－1)＜，
n－1
1
ln(n－1)－ln(n－2)＜，
n－2??
1
ln 3－ln 2＜2，ln 2－ln 1＜1， 111
所以ln(n＋1)＜1＋2＋3＋?＋n， 即g(n)＜g′(0)＋g′(1)＋g′(2)＋?＋g′(n－1).
星期五 (选考系列) 2017年____月____日
一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴π??
为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝22sin?θ＋?，曲线C2的极坐标方程为
4??
πππ
ρsin θ＝a(a＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋4，θ＝φ－4，θ＝2＋φ与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.
(1)若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； (2)求|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|的值.
解 (1)C1：(x－1)2＋(y－1)2＝2，C2：y＝a， 因为曲线C1关于曲线C2对称，a＝1，C2：y＝1. π??
(2)|OA|＝22sin?φ＋?，
4??
π??
|OB|＝22sin?φ＋?＝22cos φ，
2??|OC|＝22sin φ，
3π?π???
|OD|＝22sin?φ＋?＝22cos ?φ＋?
4?4???
|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|＝42.
二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为[－1，5]，求实数a，m的值；
(2)当a＝2，且0≤t＜2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2). 解 (1)因为|x－a|≤m，所以a－m≤x≤a＋m， ?a－m＝－1，?∴a＝2，m＝3. ?a＋m＝5，
(2)a＝2时等价于|x－2|＋t≥|x|，
当x≥2，x－2＋t≥x，∵0≤t＜2，所以舍去， t＋2
当0≤x＜2，2－x＋t≥x，∴0≤x≤2，成立. 当x＜0，2－x＋t≥－x成立， t＋2??
??. 所以原不等式解集是－∞，
2??
星期六 (综合限时练) 2017年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟.) 1.(本小题满分12分)已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*). (1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈N*)，且λan＞2n＋n＋2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
解 (1)因为an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，bn＝3n＋5. 所以an＋1－an＝2(bn＋1－bn)＝2(3n＋8－3n－5)＝6，
所以{an}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，即an＝6n－5. (2)因为bn＝2n，所以an＋1－an＝2(2n1－2n)＝2n1，
＋
＋
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1 ＝2n＋2n－1＋?＋22＋6 ＝2n＋1＋2，
当n＝1时，a1＝6，符合上式，所以an＝2n＋1＋2，
n
2＋n1n
由λan＞2n＋n＋2λ得λ＞n＋1＝2＋n＋1，
22
n＋11－nn
－＝≤0， ＋＋
2n22n12n＋22n＋n3
所以，当n＝1，2时， n＋1取最大值4，
2?3?
故λ的取值范围为?4，＋∞?.
??
2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形. (1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角A－PD－B的余弦值.
(1)证明 取BC的中点E，连接DE，则四边形ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O， 连接OA，OB，OE，OD，
由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD， 即点O为正方形ADEB对角线的交点，
故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，所以OE⊥PB， 因为O是BD的中点，E是BC的中点， 所以OE∥CD，因此PB⊥CD.
(2)解 由(1)可知，OE，OB，OP两两垂直，以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O－xyz.设|AB|＝2，则A(－2，0，0)，D(0，－2，0)，P(0，0，2) →＝(2，－2，0)，AP→＝(2，0，2)，
AD
设平面PAD的法向量n＝(x，y，z)， →＝2x－2y＝0，??n·AD∴?
→?AP＝2x＋2z＝0，?n·
取x＝1，得y＝1，z＝－1，即n＝(1，1，－1)， 因为OE⊥平面PBD，设平面PBD的法向量为m， 取m＝(1，0，0)，
则cos〈m，n〉＝13
＝3， 321
由图象可知二面角A－PD－B的大小为锐角. 3
所以，二面角A－PD－B的余弦值为3.
3.(本小题满分12分)“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车.”
2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图. (1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点) (2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；
(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，?，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x、y(mg/100 mL)，则事件|x－y|≤10的概率是多少？
解 (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上者，共有0.05360＝3人.
(2)由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝2530.25＋3530.15＋4530.2＋5530.15＋6530.1＋7530.1＋8530.05＝47(mg/100 mL). (3)第五组和第七组的人分别有：6030.1＝6人，6030.05＝3人. |x－y|≤10即选的两人只能在同一组中.
22
C6＋C315＋31
P(|x－y|≤10)＝C2＝36＝2. 9
x2y2?3?
4.(本小题满分12分)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点?1，?，一个焦点
2??为(3，0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝k(x－1)(k≠0)与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB|AB|
的垂直平分线与x轴交于点Q.求|PQ|的取值范围. a2－b2＝3，??
解 (1)由题意得?1解得a＝2，b＝1. 3
＋＝1，22??a4bx22
所以椭圆C的方程为4＋y＝1.
y＝k（x－1），??
(2)由?x22得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
＋y＝1，??4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4k2－48k2
则有x1＋x2＝，xx＝，
1＋4k2121＋4k2y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝
－2k
. 1＋4k2－k??4k2
所以线段AB的中点坐标为?2，2?，
?1＋4k1＋4k?所以线段AB的垂直平分线方程为 4k2?－k1?
y－＝－k?x－1＋4k2?. 1＋4k2??
2
?3k?
于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q?1＋4k2，0?，又点P(1，0)，
??
3k2?1＋k2?
所以|PQ|＝?1－1＋4k2?＝.
??1＋4k2又|AB|＝
4k2－48k22（1＋k）[（）－4·]
1＋4k21＋4k22
4（1＋k2）（1＋3k2）
＝. 1＋4k24（1＋k2）（1＋3k2）
1＋4k2|AB|
于是，|PQ|＝ 1＋k21＋4k2 ＝4
1＋3k2＝41＋k223－. 1＋k2因为k≠0， 所以1＜3－
2
＜3. 1＋k2|AB|
所以|PQ|的取值范围为(4，43).
5.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2ax2＋bx＋1)e－x(e为自然对数的底数). 1
(1)若a＝2，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(1)＝1，且方程f(x)＝1在(0，1)内有解，求实数a的取值范围. 1
解 (1)当a＝2，f(x)＝(x2＋bx＋1)e－x， f′(x)＝－[x2＋(b－2)x＋1－b]e－x，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝1－b.当b＝0，f′(x)≤0；
当b＞0时，当1－b＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＜1－b或x＞1时， f′(x)＜0；
当b＜0时，当1＜x＜1－b时，f′(x)＞0，当x＞1－b或x＜1时， f′(x)＜0.
综上所述，b＝0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)；
b＞0时，f(x)的单调递增区间为(1－b，1)，递减区间为(－∞，1－b)，(1，＋∞)； b＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，1－b)，递减区间为(－∞，1)，(1－b，＋∞). (2)由f(1)＝1得2a＋b＋1＝e，b＝e－1－2a.
由f(x)＝1得ex＝2ax2＋bx＋1，设g(x)＝ex－2ax2－bx－1，则g(x)在(0，1)内有零点.
设x0为g(x)在(0，1)内的一个零点，则由g(0)＝0、g(1)＝0知g(x)在区间(0，x0)和(x0，1)上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h(x)＝g′(x)，则h(x)在区间(0，x0)和(x0，1)上均存在零点，即h(x)在(0，1)上至少有两个零点.g′(x)＝ex－4ax－b，h′(x)＝ex－4a.
1
当a≤4时，h′(x)＞0，h(x)在区间(0，1)上递增，h(x)不可能有两个及以上零点； e
当a≥4时，h′(x)＜0，h(x)在区间(0，1)上递减，h(x)不可能有两个及以上零点；
1e
当4＜a＜4时，令h′(x)＝0得x＝ln(4a)∈(0，1)， 所以h(x)在区间(0，ln(4a))上递减，
在(ln(4a)，1)上递增，h(x)在区间(0，1)上存在最小值 h(ln(4a)).
若h(x)有两个零点，则有h(ln(4a))＜0，h(0)＞0，h(1)＞0. e??1
h(ln(4a))＝4a－4aln(4a)－b＝6a－4aln(4a)＋1－e?4＜a＜4?.
??
3
设φ(x)＝2x－xln x＋1－e(1＜x＜e)，
1
则φ′(x)＝2－ln x，令φ′(x)＝0，得x＝e，
当1＜x＜e时φ′(x)＞0，φ(x)递增，当e＜x＜e时φ′(x)＜0，φ(x)递减， φ(x)max＝φ(e)＝e＋1－e＜0，所以h(ln(4a))＜0恒成立.
e－21e－21
由h(0)＝1－b＝2a－e＋2＞0，h(1)＝e－4a－b＞0，得2＜a＜2.当2＜a＜2时，设h(x)的两个零点为x1，x2，则g(x)在(0，x1)递增，在(x1，x2)递减，在(x2，1)递增，所以g(x1)＞g(0)＝0，g(x2)＜g(1)＝0，则g(x)在(x1，x2)内有零点.综上，实数?e－21?a的取值范围是?，2?.
?2?
6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
3
?x＝－1－?2t，
已知直线l的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的
1
??y＝3＋2tπ??
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4?θ－?.
6??(1)求圆C的直角坐标方程；
π??
(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin?θ－?的公共点，求3x＋y的取值范围.
6??
π??
解 (1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin?θ－?，
6??
π??3??1
所以ρ2＝4ρsin?θ－?＝4ρ?sin θ－cos θ?，
6?2??2?又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝23y－2x，
所以圆C的普通方程为x2＋y2＋2x－23y＝0. (2)设z＝3x＋y，
由圆C的方程x2＋y2＋2x－23y＝0?(x＋1)2＋(y－3)2＝4， 所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2， 3
?x＝－1－?2t，将?代入z＝
1
??y＝3＋2t3x＋y得z＝－t，
又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2， 所以－2≤t≤2，
所以－2≤－t≤2.即3x＋y的取值范围是[－2，2]. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围. 解 (1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a， ∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3. ∴a－3＝－2，∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，
??11则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝?4，－2＜n≤2，
1?2＋4n，n＞?2，
∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞).
1
2－4n，n≤－2，
星期一 (三角与数列) 2017年____月____日
1. 三角(命题意图：考查正、余弦定理、面积公式及三角恒等变换)
(本小题满分12分)已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，ac
且满足cos A＝.
2－cos C(1)若b＝4，求a；
(2)若c＝3，△ABC的面积为3，求证：3sin C＋4cos C＝5. acsin Asin C
(1)解 由cos A＝得cos A＝.
2－cos C2－cos C∴2sin A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin B，即2a＝b， ∵b＝4，∴a＝2.
1
(2)证明 ∵△ABC的面积为3，∴2absin C＝a2sin C＝3，① ∵c＝3，∴a2＋4a2－4a2cos C＝9，② 由①②消去a2得3sin C＝5－4cos C， 即3sin C＋4cos C＝5.
2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及求和)
(本小题满分12分)已知数列{an}是首项a1＝1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1＝2的等比数列，且b2S2＝16，b1b3＝b4. (1)求an和bn；
(2)令c1＝1，c2k＝a2k－1，c2k＋1＝a2k＋kbk(k＝1，2，3?)，求数列{cn}的前2n＋1项和T2n＋1.
解 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 则an＝1＋(n－1)d，bn＝2qn－1. b4由b1b3＝b4，得q＝b＝b1＝2.
3
由b2S2＝2q(2＋d)＝16，解得d＝2， ∴an＝2n－1，bn＝2n.
(2)∵T2n＋1＝c1＋a1＋(a2＋b1)＋a3＋(a4＋2·b2)＋?＋a2n－1＋(a2n＋nbn)
＝1＋S2n＋(b1＋2b2＋?＋nbn). 令A＝b1＋2b2＋?＋nbn， 则A＝2＋2·22＋?＋n·2n， ∴2A＝22＋2·23＋?＋n·2n＋1， 两式相减，得
－A＝2＋22＋?＋2n－n·2n＋1， ∴A＝n·2n＋1－2n＋1＋2. 2n（1＋a2n）2又S2n＝＝4n，
2∴T2n＋1＝1＋4n2＋n·2n＋1－2n＋1＋2 ＝3＋4n2＋(n－1)·2n＋1.
星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日
1.概率统计(命题意图：考查分层抽样、频率及离散型随机变量的分布列、期望) (本小题满分12分)为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量(单位：毫克).当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品.已知该天甲厂生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 (1)求乙厂该天生产的产品数量；
(2)用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品的件数X的分布列及数学期望.
14解 (1)乙厂生产的产品总数为5÷98＝35；
22
(2)样品中优等品的频率为5，乙厂生产的优等品的数量为3535＝14； (3)由表可得X＝0，1，2，
i2－iC2C3
P(X＝i)＝C2(i＝0，1，2)，X的分布列为
5
X P 3314E(X)＝0310＋135＋2310＝5.
0 310 1 35 2 110 2.立体几何(考查线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用) (本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD中点. (1)求证：直线AF∥平面PEC；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
(1)证明 作FM∥CD交PC于M，连接EM. ∵点F为PD中点， 1
∴FM＝2CD. 1
∴AE＝2AB＝FM， ∴AEMF为平行四边形， ∴AF∥EM， ∵AF?平面PEC， EM?平面PEC， ∴直线AF∥平面PEC.
(2)解 连接DE，∵∠DAB＝60°，∴DE⊥DC，如图所示，建立坐标系，
则P(0，0，1)，C(0，1，0)， ?E???B??
??3?31
?，A?，－，0?， ，0，0
22??2?31?
?，
2，2，0?
?→31→＝??－，，1?，AB∴AP＝(0，1，0).设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z).
?22?→＝0，n·→＝0，
∵n·ABAP
?－23x＋1
2y＋z＝0， ∴??y＝0，
3
取x＝1，则z＝2，
?3?
∴平面PAB的一个法向量为n＝?1，0，?.
2??→＝(0，1，－1)，
∵PC
→所成角为θ，
∴设向量n与PC
3－2→
n·PC42
cos θ＝＝＝－14. →|7|n||PC
432
42
∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为14.
星期三 (解析几何) 2017年____月____日
解析几何(命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题) x2y2
(本小题满分12分)已知椭圆M：4b2＋b2＝1(b＞0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4＋23. (1)求椭圆M的方程；
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围.
解 (1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4＋23， 所以2a＋2c＝4＋23， 又a＝2b，所以c＝3b， 所以b＝1，则a＝2，c＝3. x22
所以椭圆M的方程为4＋y＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)， Q(x2，y2)，
?y＝kx＋m，由?2消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 2
?x＋4y－4＝0，则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0， －8km4（m2－1）
且x1＋x2＝，xx＝，
1＋4k2121＋4k2故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
22
y1y2kx1x2＋km（x1＋x2）＋m2所以x2x＝＝k，
x1x212
11
又m≠0，所以k2＝4，即k＝±2，
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2且m2≠1.
111
则S△OPQ＝2|y1－y2|2|2m|＝2|x1－x2|2|m|＝22（x1＋x2）2－4x1x2|m|＝m2（2－m2），
所以S△OPQ的取值范围为(0，1).
星期四 (函数与导数) 2017年____月____日
函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思想)
(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(3－a)x－2＋a－2ln x(a∈R). (1)若函数y＝f(x)在区间(1，3)上单调，求a的取值范围；
1??
(2)若函数g(x)＝f(x)－x在?0，2?上无零点，求a的最小值.
??
2（3－a）x－2
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3－a－x＝. x当a≥3时，有f′(x)＜0，即函数f(x)在区间(1，3)上单调递减；
2
，若函数y＝f(x)在区间(1，3)上单调，则 3－a
227≤1或≥3，解得a≤1或3≤a＜3； 3－a3－a
?7?
综上，a的取值范围是(－∞，1]∪?3，＋∞?.
??
1??
(2)因为当x→0时，g(x)→＋∞，所以g(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x＜0在区间?0，2?上
??当a＜3时，令f′(x)＝0，得x＝恒成立不可能，
1?1???
故要使函数g(x)在?0，2?上无零点，只要对任意的x∈?0，2?，g(x)＞0恒成立，
????1?2ln x?
即对x∈?0，2?，a＞2－恒成立，
??x－1
1?2ln x?
令l(x)＝2－，x∈?0，2?，
??x－1
22（x－1）－2ln x2ln x＋－2xx
则l′(x)＝－＝，
（x－1）2（x－1）21?2?
再令m(x)＝2ln x＋x－2，x∈?0，2?，
??
22－2（1－x）
则m′(x)＝－x2＋x＝＜0，
x21???1?
故m(x)在?0，2?上为减函数，于是m(x)＞m?2?＝2－2ln 2＞0，
????
(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D. (1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值. 解 (1)取AB中点为O，连接OD，OB1. 因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB. 又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1， 所以AB⊥平面B1OD，
因为OD?平面B1OD，所以AB⊥OD. 由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC， 所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B， 所以OD⊥平面ABB1A1.
又OD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.
→的方向为x轴的方向，
(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，OB→|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. |OB
由题设知B1(0，0，3)，D(0，1，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，3).
→→→则B1D＝(0，1，－3)，AC＝(2，2，0)，CC1＝(－1，0，3).
→＝0，m·→＝0，即x＋y＝0，设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·ACCC1－x＋3z＝0，可取m＝(3，－3，1). 设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，
→
B21211D2m→
故cos〈B1D，m〉＝＝－7.则sin θ＝7.
→|B1D|2|m|21
∴直线B，D与平面ACC1A1所成角的正弦值为7. 星期三 (解析几何) 2017年____月____日
解析几何知识(命题意图：考查直线与椭圆的位置关系及三角形面积的最值问题)
x2y23
(本小题满分12分)已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，F1、F2分别为
3
椭圆的左、右焦点，D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S△DEF2＝1－2. (1)求椭圆C1的方程；
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.
c331解 (1)由题意知e＝a＝2，故c＝2a，b＝2a.
11?3?a
因为S△DEF2＝2(a－c)3b＝2?a－a?32＝
2??1?33?
?1－?a2＝1－， 4?22?
1
故a2＝4，即a＝2，b＝2a＝1，c＝3， x22
所以椭圆C1的方程为4＋y＝1.
(2)∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点， ∴直线l的斜率必存在且为负. 设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)， y＝kx＋m，??
联立?x22消去y整理可得
＋y＝1，??4?21?2
?k＋4?x＋2kmx＋m2－1＝0，① ??根据题意可得方程①有两相等实根，
?21?2
∴Δ＝(2km)－4?k＋4?(m－1)＝0，整理可得m2＝4k2＋1.②
??
?m?
∵直线l与两坐标轴的交点分别为?－k，0?，(0，m)且k<0，
??1m2
∴l与坐标轴围成的三角形的面积S＝22，③
－k
11
②代入③可得S＝(－2k)＋≥2(当且仅当k＝－2时取等号)，
－2k
2
∴l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.
星期四 (函数与导数) 2017年____月____日
函数与导数知识(命题意图：考查函数的极值点及函数的零点(或方程根)的问题)
1
(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝8x2－x. (1)求f(x)的单调区间和极值点； (2)是否存在实数m，使得函数h(x)＝
3f（x）
4x＋m＋g(x)有三个不同的零点？若存
在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解 (1)f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，
11
由f′(x)>0得x>e，f′(x)<0得0 1???1? ∴f(x)在?0，e?上单调递减，在?e，＋∞?上单调递增， ???? 1 f(x)的极小值点为x＝e. 3f（x） (2)假设存在实数m，使得函数h(x)＝4x＋m＋g(x)有三个不同的零点， 即方程6ln x＋8m＋x2－8x＝0有三个不等实根， 令φ(x)＝6ln x＋8m＋x2－8x， 2（x2－4x＋3）2（x－3）（x－1）6 φ′(x)＝x＋2x－8＝＝， xx由φ′(x)>0得0 ∴φ(x)在(0，1)上单调递增，(1，3)上单调递减，(3，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)的极大值为φ(1)＝－7＋8m，φ(x)的极小值为φ(3)＝－15＋6ln 3＋8m.要使方程6ln x＋8m＋x2－8x＝0有三个不等实根，则函数φ(x)的图象与x轴要有三个交点， ?－7＋8m>0，7153 根据φ(x)的图象可知必须满足?解得8 ?－15＋6ln 3＋8m<0，3f（x） 4x＋m＋g(x)＝0有三个不等实根， 7153 实数m的取值范围是8 星期五 (选考系列) 2017年____月____日 一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 ?x＝6cos θ， 已知曲线C的参数方程为?(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中， ?y＝4sin θ1x′＝??3x， 将曲线C上的点按坐标变换?得到曲线C′. 1 ??y′＝4y(1)求曲线C′的普通方程； (2)若点A在曲线C′上，点D(1，3).当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程. ?x＝6cos θ 解 (1)将? ?y＝4sin θ 1x′＝??3x，，?x′＝2cos θ，代入?得C′的参数方程为? 1?y′＝sin θ.y′＝y.??4 x22 ∴曲线C′的普通方程为4＋y＝1. (2)设P(x，y)，A(x0，y0)，又D(1，3)，且AD中点为P， ?x0＝2x－1， 所以有：? ?y0＝2y－3. x22 又点A在曲线C′上，∴代入C′的普通方程4＋y＝1得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4. ∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4. 二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|. (1)解不等式：f(x)＞0； (2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围. 解 (1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|＞0， 当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4＞0，解得x＜5， ?x≤－4， 即不等式组?的解集是{x|x≤－4}. |2x－1|－|x＋4|＞0?1 当－4＜x＜2时，不等式化为1－2x－x－4＞0， 解得x＜－1， 1??－4＜x＜，2即不等式组?的解集是{x|－4＜x＜－1}. ??|2x－1|－|x＋4|＞0 1 当x≥2时，不等式化为2x－1－x－4＞0，解得x＞5， 1??x≥， 即不等式组?2的解集是{x|x＞5}. ??|2x－1|－|x＋4|＞0综上，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞5}. (2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9. ∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10， 故所求a的取值范围是{a|8≤a≤10}. 星期六 (综合限时练) 解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟) 1.(本小题满分12分)在公比为2的等比数列{an}中，a2与a5的等差中项是93. (1)求a1的值； ?π? (2)若函数y＝a1sin?x＋φ?(其中0<φ<π)的一部分图象如图所示，M(－1，a1)， ?4?N(3，－a1)为图象上的两点，设∠MON＝θ，其中O为坐标原点，0<θ<π，求cos(θ－φ)的值. 解 (1)由题可知a2＋a5＝183，又a5＝8a2，故a2＝23，∴a1＝3. ?π? (2)∵点M(－1，a1)在函数y＝a1sin?x＋φ?的图象上， ?4? 3?π? ∴sin?－＋φ?＝1，又∵0<φ<π，∴φ＝4π. ?4?连接MN，在△MON中，由余弦定理得 |OM|2＋|ON|2－|MN|24＋12－283cos θ＝＝＝－ 2|OM||ON|2. 835 又∵0<θ<π，∴θ＝6π， 5π3π5π3π6＋2?5π3π? ?＝cos∴cos(θ－φ)＝cos?cos＋sinsin＝－64644. 4??6 2.(本小题满分12分)甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法