七年级数学寒假复习提高专题——有理数及其运算
【本讲教育信息】
一、教学内容：
寒假专题——有理数及其运算
1、通过复习，能在具体情境中理解负数的概念，进一步掌握有理数及其运算的意义. 2、能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.
3、能熟练地借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.
4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题.
5、会用计算器进行较复杂的有理数混合运算.
二、学习重难点：
《有理数及其运算》这一章的重点内容是绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）等；而绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算则是本章的难点.
三、知识要点讲解： 专讲一：基本概念 1. 正数与负数
（1）概念：大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数 （2）注意：①了解负数的引入是实际的需要
②带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数
③对零的认识：0可以表示没有；0可以表示一个确切的量，如今天的最低气温是0℃；0是整数也是偶数还是自然数；0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是中性数
2. 有理数的分类
整数和分数统称为有理数
3. 有理数中的“三重锤” （1）数轴
数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. （2）相反数：
只有符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的. 在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等.
①通常用a与?a表示一对相反数.
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②若a与b互为相反数，则a?b?0.
③互为相反数的两个数的绝对值相等，即?a?a.
④若a?b，则a?b，或a??b（a与b互为相反数）. （3）绝对值：
由绝对值的几何意义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离. 因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即a?0.
从绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数.
①若a?a，则a?0； ②若a??a，则a?0； ③a?0，绝对值的非负性。
④互为相反数的绝对值相等，即|a|?|?a|
⑤若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数. 即：|a|?|b|，则a?b，或a??b ⑥绝对值最小的数是0.
【典型例题】
例1. 若a与－5互为相反数，那么a是（ ）
A. －5
B.
1 5C. ?1 5D. 5
析解：本题根据互为相反数的概念和意义，两个互为相反数的数之和为0，可以得到a＝５，故应选D
例2. 点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的实数是（ ）
A. 3. B. －1. C. 5. D. －1或3.
析解：本题主要考查学生对数轴知识的理解程度，解答本题要画出数轴，注意平移的方向，先找出A点的坐标，就可以找到B点的坐标，应选B
例3. 将正偶数按下表排列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12
第4行 14 16 18 20 ??
根据上面的规律，则2006所在的行、列分别是 .
例4. 北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下： 如果将两地国际标准时间的差称为时差，那么（ ）
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A. 汉城与纽约的时差为13小时； B. 汉城与多伦多的时差为13小时； C. 北京与纽约的时差为14小时； D. 北京与多伦多的时差为14小时.
解析：本题是一道与地理知识“联姻”的题，把中时区定为0，东时区定为正数，西时区定为负数.根据时区之间时间的换算规律：同时区相减，异时区相加.所以，汉城与纽约的时差为9＋5=14小时；汉城与多伦多的时差为9＋4=13小时；北京与纽约的时差为8＋5=13小时；北京与多伦多的时差为8＋4=12小时.故应选B.
专练一：
1. 2006年世界杯足球赛在德国举行，本次比赛共32支球队平均分成8个小组首先进行小组赛，每小组内举行单循环比赛（每个球队都与本小组的其它队比赛一场），选出两个球队进入16强. 本次足球赛的小组赛共进行 场比赛. 2. 小敏中午放学回家自己煮面条吃. 有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序. 小敏要将面条煮好，最少要用 ______分钟. 3. 已知：
223344aa×2=＋2，×3=＋3，×4=＋4，?，若×10=＋10（a，b都为112233bb正整数），则a＋b的最小值是 .
4. 一串有趣的图案按一定的规律排列. 请仔细观察，按此规律第2008个图案是 .
5. 如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆________根火柴棒.
专讲二：基本运算 1. 运算法则
（1）加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数
（2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数
（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 注意：运算步骤：①确定积的符号；②求出积的绝对值 ③几个有理数相乘，只要有一个为0，则乘积为0
④几个不为零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数，积为负；当负因数的个数为偶数，积为正。
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（4）除法：法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数；
法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何非0数都得0。 注意：倒数：乘积为1的两数互为倒数，因为除数不能为零，所以零没有倒数 （5）乘方：
①意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作“a” aaan个annna=an，乘方的
结果叫做幂，在a中，a叫做底数，n叫做指数，a叫做a的n次方
②乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
2. 运算律：（1）加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） （3）乘法交换律：ab=ba
（4）乘法结合律：a（bc）=（ab）c （5）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac 3. 运算顺序：
有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的
4. 用计算器进行简单的运算
注意键盘中各键的功能及运算过程中的按键顺序
【典型例题】
例1. 我市2005年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2005年温差列式正确的是（ ）
A. （＋39）－（－7） B. （＋39）＋（＋7） C. （＋39）＋（－7） D. （＋39）－（＋7）
解析：本题是只列式不计算的题，根据条件要求列出算式即可，应选A
例2. 下列四个运算中. 结果最小的是（ ） A. 1+（－2） B. 1－（－2） C. l×（－2） D. 1?（－2） 解析：本题考查学生简单的加、减、乘、除计算，应选C
例3. 将长为1m的绳子，截去一半，然后将剩下的再截去一半，如此下去，若余下的绳子长不足1cm，则至少需截几次（ ） ．．
A. 6次 B. 7次 C. 8次
解析：本题考查乘方的定义和计算，应选B
D. 9次
例4. 用火柴棒按下图的方式搭三角形，照这样的规律搭下去，搭第10个图形需要 根火柴棒.
解析：观察图形会发现：所搭的图形都是由三角形构成的.搭第1个图形（一个三角形）用了3根火柴棒，而后来所搭的图形都与前面的图形的一边“共享”. 所以第2个图形的火柴棒根数为：2×3－1=5，第3个图形的火柴棒根数为：3×3－2=7，?，第n个图形的火柴棒根数为：3n－（n－1）.
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故搭第10个图形需要的火柴棒根数为：3n－（n－1）=3×10－（10－1）=21.
专练二：
22???3??2. 31232. 计算：1－（－）－（－）
241. 计算：?3?3. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依此规律，第5个图
案中白色正方形的个数为 个。
4. 观察下列图形，按规律填空：
5. 观察下列数表：
根据数列所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为
6. 用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是 个。
专讲三：有理数综合问题 （一）易错点扫描
1. 有理数常见思维误区
（1）对正、负数的理解有误，如：a一定表示正数，－a一定表示负数
（2）有理数的分类问题，易把小数作为单独的一类，不知道有限和无限循环小数可以转化为分数
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2. 数轴、相反数、绝对值常见思维误区
主要是对三者概念的理解有误，应用也容易出错 3. 有理数的运算常见思维误区
（1）对几种运算法则理解不到位；（2）符号易出现错误；（3）运算顺序、运算性质易错；（4）滥用运算律等错误 （二）思想方法归纳
为了深刻理解新的数学概念，新教材渗透了不少的数学思想和方法. 1. 数形结合的思想
在学习数轴后知道了数可以用数轴上的点来表示，反之数轴上的点也表示数，这就初步奠定了数形结合的思想，在后续学习中，这种思想不断地得到体现，如
相反数的几何意义是：在数轴上位于原点的两旁，并且与原点的距离相等的两点表示的数叫互为相反数.
绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值. 这种形象与抽象的结合，加深了同学们对相反数、绝对值等概念的认识和理解，也为今后的学习奠定了基础. 2. 转化的思想方法
第二章中关于有理数的减法和除法法则分别是减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数，这两条法则充分体现了数学中的转化思想，即将未知问题转化为已知问题来解决. 3. 分类的思想方法
??正分数分数???负分数??在学习有理数、绝对值的概念时，都体现了分类的思想方法，即有理数??正整数
?整数?0???负整数????a(a?0)?|a|??0(a?0) 有了分类思想，根据“不重不漏”的分类原则去处理问题，能使思
??a(a?0)?维变得更严密，考虑问题更全面。例如，若a＞0，b＜0，则a+b 0。就必须讨论（1）
当a＞b时，a+b＞（2）当a=b时，a+b=0；（3）当a＜b时，a+b＜0. 0；
【典型例题】
111，，?，任何一个单位分数都可以243111111111拆分成两个不同的单位分数的和，如＝?，＝?，＝?，?
24124363520111（1）根据对上述式子的观察，你会发现＝?. 请写出□，○所表示的数；
5□○111?（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，☆所△☆n例1. 我们把分子为1的分数叫做单位分数. 如
表示的式子，并加以验证.
析解：（1）□表示的数为6，○表示的数为30； （2）△表示的式子为n?1，☆表示的式子为n(n?1).
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∵
?11n1??? n?1n(n?1)n(n?1)n(n?1)n?11?
n(n?1)n
例2. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为
nn（其中k是使k为奇数的正整数），并且运算重复进行. 例如，取n＝26，则： k22
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__8________.
析解：根据定义一种对正整数n的“F”运算的法则很容易计算出结果为8
例3. 在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下： 当a≥b时，a⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a. 则当x＝2时，（1⊕x）·x－（3⊕x）的值为 （“· ”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）.
析解：根据定义新运算的法则应填－2
专练三：
1. 老师在黑板上写出三个算式：5－3= 8×2，9－7=8×4，15－3=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11－ 5 =8×12，15－7=8×22，?? （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3 ）证明这个规律的正确性.
2. 1883年，康托尔构造了一个分形，称为康托尔集. 从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间的三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之一而达到第二阶段. 无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称为康托尔集. 下图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为 .
2222222222
3. 一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，??，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位.
参考答案：
专练一：1. 48；2. 12；3. 19；4.
；5. 6039063 第1个
专练二：1．6；2．0；3．28；4．9，13；5．2n-1；6．2n+1； 专练三：1. （1）略 （2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）略
?2?2. ??； 3. 50 ?3?第 7 页 （共 11 页）
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【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 0既不是正数，也不是负数 B. 0不是整数 C. 0的相反数是0 D. 0的绝对值是0 2. 温度上升－3后，又下降2实际上就是 （ ） A. 上升1 B. 上升5 C.下降5 D. 下降－1
3. 数轴上点A表示－4，点B表示2，则表示A、B两点间的距离的算式是（ ） A. －4＋2 B. －4－2 C. 2―（―4） D. 2－4 4. 两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（ ） A. 都是负数 B. 至少有一个负数 C. 有一个是0 D. 绝对值不相等 5. 如果|a|=7，|b|=5，试求a－b的值为（ ） A. 2 B. 12 C. 2和12 D. 2；12；－12；－2 6. 用计算器求25的值时，按键的顺序是（ ） A. 5、yx、2、= B. 2、yx、5、= C. 5、2、yx、= D. 2、3、yx、= 7. 如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，那么 a+b+m2－cd的值为（ ）
A. 3
B. ±3
C. 3±
12 D. 4±
128. 若0 1a1111 B. a < < a2 C. 房屋折旧每年2%，学校约1400名学生，仅贷款付息和房屋折旧两项，每个学生每年承受的实际费用为（ ） A. 约104元 B. 1000元 C. 100元 D. 约21.4元 10. 计算（－2）2004+（－2）2003的结果是（ ） A. －1 B. －2 C. －22003 D. －22004 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 某种零件，标明要求是φ20±0.02（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，它 （填“合格”或“不合格”）. 12. 在太阳系八大行星中，离太阳最近的水星由于没有大气，白天在阳光的直接照射下，表面温度高达427℃，夜晚则低至－170℃，则水星表面昼夜的温差为____________. 13. 数轴上的一点由＋3出发，向左移动4个单位，又向右移动了5个单位，两次移动后，这一点所表示的数是 14. 一个水利勘察队，第一天沿江向下游走3上游走712km，第二天又向下游走5km，第三天向3313km，第四天向上游走4km，这时勘察队在出发点的上游 km处 5515. 一口深井，井底有一只青蛙，这只青蛙白天沿着井壁向上爬3米，夜间又落下2米， 到了第十天的下午，这只青蛙恰好爬到井口，则这口井的深度是 米。 第 8 页 （共 11 页） 16. 设n是正整数，则n－（n+1）－（n+2）+（n+3）=0。应用上述结论，在数1，2，3，??2001前分别添加“+”和“－”，并运算，则所得的可能的最小非负数是 17. 小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有 个. 18. 存折现有5000元，如果存入记为正，支取为负，上半年某人支存情况为+500元，－300元，+1200元，－600元，则该人现有存款为_____. 19. 当b<0时，a，a－b，a+b，a－2b中从小到大的顺序为___________. 20. 有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是＋7，＋3，－3，＋7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请写出一个成功的算式：______________=24. 三、解答题（共40分） 21. （共10分）你想提高计算的准确率吗？不妨试试“一步一回头”.抄题与计算时每写一个数都要回头看一下是否有误.开始时可能感觉很慢，一旦形成习惯就会快起来的！计算下列各题： （1）?1?(0.5?)? 23239 10（2）?2?7?(?3)?6?5 2317125（3）(?0.25)?(?)?(?) （4）|－6＋2|＋（－8）＋|－3－| 828238 22. （本题5分）某气象员为了掌握一周内天气的变化情况，测量了一周内的气温. 下表是一周内气温变化情况（用正数表示比前一日上升数，用负数表示比前一日下降数） 星期 气温变化/℃ 一 二 三 四 4 五 －2.5 六 1 日 0.5 －1 －2 2 试分析这个星期气温的总体变化情况. 第 9 页 （共 11 页） 23. （本题5分）观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，?? （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+??+99= 。 （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律： 。 24. （本题5分）请你计算下列式子（可用计算器），完成后面的问题。 计算：6×7= ；66×67= ；666×667= ； 6666×6667= ；???? 根据上述各式的规律，你认为4444422222= 。 25. （本题5分）已知ab>0，试求 |a||b||ab|??的值 abab 26. （本题5分）利用计算器探索规律：任选1，2，3，?，9中的一个数字，将这个数乘7，再将结果乘15873，你发现了什么规律？你能试着解释一下理由吗？ 27. （本题5分）有一面积为1平方米的正方形纸，第一次剪掉一半，第二次剪掉剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的纸的面积是多少平方米？ 第 10 页 （共 11 页） 【试题答案】 一、选择题： BCCBD BAACC 二、填空题： 11. 不合格；12. 597℃；13. 4；14. 24；15. 12；16. 1；17. 9；18. 5800元； 519. a+b＜a＜a－b＜a－2b；20. [3/7?(?3)]?7 三、解答题： 21. （1） 15125；（2）－5；（3） ? （4）－1 6428122. 解：2＋（－1）＋（－2）＋4＋（－2.5）＋1＋0.5＝2（℃） 答：这星期气温上升了2℃. 23. （1）2500；（2）1+3+5+7+??+（2n+1）=n2 24. 计算结果略，66666×66667 25. 3或－1； 26. 设1，2，3，…，9中的任一数字为m，则根据题意得：m×7×15873=mmmmmm. 因为15873×7=111111，所以只要选1，2，3，?，9中的任一数字，结果都是六位数，且这六个数位上的数字都相同； 27. 1平方米 32第 11 页 （共 11 页） 【试题答案】 一、选择题： BCCBD BAACC 二、填空题： 11. 不合格；12. 597℃；13. 4；14. 24；15. 12；16. 1；17. 9；18. 5800元； 519. a+b＜a＜a－b＜a－2b；20. [3/7?(?3)]?7 三、解答题： 21. （1） 15125；（2）－5；（3） ? （4）－1 6428122. 解：2＋（－1）＋（－2）＋4＋（－2.5）＋1＋0.5＝2（℃） 答：这星期气温上升了2℃. 23. （1）2500；（2）1+3+5+7+??+（2n+1）=n2 24. 计算结果略，66666×66667 25. 3或－1； 26. 设1，2，3，…，9中的任一数字为m，则根据题意得：m×7×15873=mmmmmm. 因为15873×7=111111，所以只要选1，2，3，?，9中的任一数字，结果都是六位数，且这六个数位上的数字都相同； 27. 1平方米 32第 11 页 （共 11 页）