kMA?kMB12x?(b?1)x?2b2?0所以x1?x2?8(b?1)x1x2?16b2(1) 811(?x1?b?1)(x2?2)?(?x2?b?1)(x1?2)y?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)4?1???4x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)1???x1x2??4b?2??x1?x2??16?b?1???4?.将(1)式代入上式得:kMA?kMB=0(x1?2)(x2?2)，MB与x轴总围成等腰三角形. 即直线MA与MB关于y轴对称. 所以直线MA考点：1.椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合问题； 18.（本小题满分为16分）
在长为20m，宽为16m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C)，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示).
?1?若圆盘半径为25m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；
?2?如果监控摄像头最大水平视角为60?，求圆盘半径的最大值.
(注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现
的夹角.)
【答案】(1) 1?【解析】
35；（2）53?4m. 10试题分析：（1）过点B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，结合已知和图形可知摄像水平视角为?ABE时水平摄像视角最小.
4然后在Rt?ABC中由已知可得tan?ABC?，再在Rt?BCE中根据题意可计算出
5tan?CBE?
50，最后根据两角和的正切公式即可算出所求结果；（2）当?ABE?60时，611
若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大. 在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，于是可求出直线BE的方程，然后由点到直线的距离即可所求. 试题解析：(1)如图，过点B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为
A，连接CA，CE，CB，则CE?BE，CA?AB，则摄像水平视角为?ABE时水平
摄像视角最小.在Rt?ABC中，AB?10,AC?8,tan?ABC?4，在Rt?BCE中，5，
所
以
CE?25,BE?CB2?CE2?12，
tan?CBE?5645?35tan?ABE?tan(?ABC??CBE)?56?1?，
10451??56所以最小摄像视角的正切值为1?35. 10
（2）当?ABE?60时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大.在平面ABC内，以
0B为坐标原点，
BA为x轴建立平面直角坐标系，所以直线BE方程为y?3x，所以
CE?103?8(3)?12?53?4，则圆C的最大半径为53?4m.
考点：1.正切函数的定义；2.两角和的正切公式；3.三角函数的实际应用； 19.（本小题满分为16分）
已知函数f(x)?12x?alnx． 2（1）若a??1，求函数f(x)的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若a?1，求函数f(x)在[1,e]上的最值；
12
（3）若a?1，求证：在区间[1,??)上，函数f(x)的图象在g(x)?【答案】（1）
23x的图象下方． 3f(x)的极小值是f(1)?证
1，无极大值．（2）2明
：
令
h(x)?f(x)?g(x)?122x?lnx?x3(x?1)， 231?2x3?x2?1(x?1)(2x2?x?1)2h?(x)?x??2x????0在[1,??)上恒成立，
xxx121?h(x)在区间[1,??)上递减，函数f(x)?h(x)?h(1)?????0?在区间[1,??)上，
23623的图象在g(x)?x的图象下方-
3【解析】
试题分析：（1）首先由函数f(x)?12x?alnx即可得出其定义域为(0,??)，然后求出其2导函数并判断导函数大于0和小于0时自变量x满足的区间，进而判断函数的单调区间，从而可得到函数的极值；（2）若a?1，首先求出其导函数并易判断其导函数在[1,e]上恒为正的，所以函数f(x)在[1,e]上的递增，即可求出函数f(x)的最大值和最小值；（3）要证明在区间[1,??)上，函数f(x)的图象在g(x)?23x的图象下方，即证明3h(x)?f(x)?g(x)?122x?lnx?x3(x?1)在[1,??)上恒小于0，于是求出其导函数并23判断函数的单调性，进而比较函数h(x)在[1,??)上的最大值与0的大小关系即可得出证明的结论.
1x2?1(x?1)(x?1)试题解析：（1）f(x)的定义域是(0,??)，f?(x)?x??. ?xxx当x?(0,1)时f?(x)?0?f(x)在(0,1)上递减；当x?(1,??)时f?(x)?0?f(x) 在
(1,??)上递增，
1，无极大值． 2121?f(x)在[1,e]上递增，（2）f(x)?x?lnx?f?(x)?x??0恒成立对x?[1,e]，
2x11?f(x)max?f(e)?e2?1,f(x)min?f(1)?.
221223证明：令h(x)?f(x)?g(x)?x?lnx?x(x?1)，
23?f(x)的极小值是f(1)?
13
1?2x3?x2?1(x?1)(2x2?x?1)2h?(x)?x??2x????0在[1,??)上恒成立，
xxx121?h(x)在区间[1,??)上递减，?h(x)?h(1)?????0
2362?在区间[1,??)上，函数f(x)的图象在g(x)?x3的图象下方-
3考点：1. 导数在研究函数的极值中的应用；2.导数在求区间上的最值；3.导数在证明不等式中的应用；
20.（本小题满分为16分）
数列an?，bn?，cn?满足：bn?an?2an?1，cn?an?1?2an?2?2，n?N*． （1）若数列an?是等差数列，求证：数列bn?是等差数列；
（2）若数列bn?，cn?都是等差数列，求证：数列an?从第二项起为等差数列； （3）若数列bn?是等差数列，试判断当b1?a3?0时，数列an?是否成等差数列？证明你的结论．
【答案】（１）设数列an?的公差为d，∵bn?an?2an?1，
∴bn?1?bn?(an?1?2an?2)?(an?2an?1)?(an?1?an)?2(an?2?an?1)?d?2d??d， ∴数列bn?是公差为?d的等差数列．（２）当n?2时，cn?1?an?2an?1?2，∵
????????????bn?an?2an?1an?1?an?∴
，∴
an?bn?cn?1?12，
?∴
an?1?bn?1?cn?12，∴
bn?1?cnb?c?n1b?n?b1c?c???n222n1nn，∵数列bn?，cn?都是等差数列，
2??bn?1?bncn?cn?1?为常数，∴数列?an?从第二项起为等差数列． （３）数列?an?成22等差数列． 【解析】
试题分析：（1）根据等差数列的定义知，要证数列bn?是等差数列，即证明
?为常
数即可，于是结合已知等式bn?an?2an?1并作差化简即可证明所给的结论；（2）要证明数列an?从第二项起为等差数列，即证明当n?2时，
?为常数即可，结合已知
bn?an?2an?1，cn?1?an?2an?1?2可得an?bn?cn?1b?c?1，an?1?n?1n?1，将两者22于是令?1，
进行作差化简即可证明所给的结论；（3）当b1?a3?0时，∵bn?an?2an
14
n?1，
即可得出a1,a2,a3之间的等式关系即a1?2a2?a3?0，结合bn?an?2an?1可知
bn?1?an?1?2an?2，从而可求出2bn?1?bn?bn?2，再由数列?bn?是等差数列可得2bn?1?bn?bn?2?0，即可得出2an?1?an?an?2?2(2an?2?an?1?an?3)，进而可证明数列
?a?是等差数列．
n试题解析：（１）设数列an?的公差为d，∵bn?an?2an?1，
∴bn?1?bn?(an?1?2an?2)?(an?2an?1)?(an?1?an)?2(an?2?an?1)?d?2d??d， ∴数列bn?是公差为?d的等差数列．
（２）当n?2时，cn?1?an?2an?1?2，∵bn?an?2an?1，∴an???bn?cn?1?1，∴2bn?1?cn?1， 2b?cnbn?cn?1bn?1?bncn?cn?1???∴an?1?an?n?1，∵数列?bn?，cn?都是等差数列，?2222b?bncn?cn?1?∴n?1为常数，∴数列?an?从第二项起为等差数列． 22an?1? 15
考点：1.等差数列；2.等比数列；
16
一、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 1.设集合A??1,2,4?，B??2,6?，则A?B? ． 【答案】?1,2,4,6? 【解析】
试题分析：直接由集合的并集的定义知，A?B?{1,2,4,6}，故应填?1,2,4,6?. 考点：1.集合的基本运算；
2.设复数z满足i(z?4)?3?2i（i是虚数单位），则z的虚部为 ． 【答案】?3 【解析】
试题分析： 设复数z?a?bi，则由i(z?4)?3?2i可得，i(a?4?bi)?3?2i整理得，
?b?(a?4)i?3?2i，所以b??3,a?6，所以z的虚部为b??3，故应填?3.
考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算；
3.“x?2”是“x?x?2?0”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】
试题分析：当“x?2”时，此时不能判断x?x?2?(x?1)(x?2)与0的大小关系，即
22“x?2”是“x?x?2?0”的不充分条件；反过来，“x?x?2?0”，则?1?x?2，
22即可得x?2，即“x?2”是“x?x?2?0”的必要条件，故应填必要不充分. 考点：1.充分条件；2.必要条件；
4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：2；3；?10,20?，?20,30?，?30,40?，
4；?40,50?，5；?50,60?，4；?60,70?，2．则样本在?10,50?上的频率是 ．
2 1
【答案】
7 10【解析】
试题分析：由题意知，样本数据在?10,50?上的频数为14个，样本容量为20，由频率的计算公式可得，样本在?10,50?上的频率为考点：1.频率分布表；
5.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ． 【答案】
1477?，故应填. 2010101 3【解析】
试题分析：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同的只有2种，由古典概型及其概率计算公式可得，从中任取两个球，这两个球颜色相同的概率为P?考点：1.古典概型及其概率计算公式；
6.右图是一个算法流程图，则输出的a的值是 ． 【答案】127 【解析】
试题分析： 当第一次执行语句：a?2?1?1?3；当第二次执行语句：
211?，故应填. 633a?2?3?1?7；当第三次执行语句：a?2?7?1?15；当第四次执行语句：a?2?15?1?31；当第五次执行语句：a?2?31?1?63；当第六次执行语
句：a?2?63?1?127；故应填127. 考点：1.程序框图与算法； 7.在?ABC中，已知cosA?【答案】
41，tan(A?B)??，则tanC的值是 ． 5211 2【解析】
试题分析：在?ABC中，因为cosA?342A?1?cosA?，所以，所以sin55tanA?sinA3tanA?tanB11?，??，又因为tan(A?B)??，所以解得tanB?2，cosA41?tanAtanB22 2
??(A?B)]??tan(A?B)??所以tanC?tan[tanA?tanB1111?，故应填.
1?tanAtanB22考点：1.同角三角函数的基本关系；2.两角和与差的正切公式；
8.若PQ是圆x2?y2?9的弦，PQ的中点是?1,2?,则直线PQ的方程是 ． 【答案】y??15x? 22【解析】设圆的圆心为O，PQ的中点是E?1,2?，则OE?PQ，所以OE?PQ，kOE?2，所以kPQ??1115，所以直线PQ的方程为y?2??(x?1)，整理得y??x?，故应填222215y??x?.
22考点：1.直线与圆的位置关系；
9.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，给出以下四个结论： ①D1C∥平面A1ABB1；②A1D1与平面BCD1相交； ③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【解析】
试题分析：对于①，因为平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C?平面
A A1 D B D1 B1 C1
C CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面
A1ABB1，即①正确；对于②，因为A1D1∥BC，所以A1D1?平面BCD1，所以②错误；
对于③，只有AD?D1D，而AD与平面BCD1内其他直线不垂直，所以③错误；对于④，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，容易知道BC?平面A1ABB1，而BC?平面BCD1，所以平面BCD1?平面A1ABB1，所以④正确.故应填①④. 考点：1.空间中直线与平面之间的位置关系；
310.设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为Sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的等差
4中项为a5，则S6? ．
3
【答案】
63 411.已知函数y?a?b(a?1,b?0)的图像经过点P(1,3)，则【答案】
x41?的最小值为 ． a?1b9 2【解析】
试题分析：因为函数y?ax?b(a?1,b?0)的图像经过点P(1,3)，所以3?a?b，所以
2?(a?1)?b所以
41(a?1)?b411a?14b19???(?)??(4???1)?(5?4)?，故应填a?1b2a?1b2ba?1229. 2考点：1.指数函数；2.基本不等式的应用；
12.已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M、N分别为线段BC、CD上的两个不同点，且MN?1，则OM?ON的取值范围是 ．
???【答案】[2?2,2) 【解析】
试题分析：由题意知，MN?(ON?OM)?OM?ON?2ON?OM?1，所以
??2???22?2??2OM?ON?1???ON?OM2?222?2?2?2.设
CM?x,CN?y??，则
MN?x?y?1.OM?ON?1?(1?x)2?1?(1?y)2?(1?x)2?(1?y)2?2，
表示单位圆面x?y?1上的点与点(1,1)连线的距离的平方加上2，故其最小值为
4
22
(2?1)?2?5?22，最大值为(2?1)?2?5?22.故OM?ON的最下值为
?22??2??OM?ON?15?22?1??2?2.又当OM,ON的模最大且夹角最小时，
22?2OM?ON最大，OM?ON最大等于2?2?2，故当M,N和点C重合时，再由点M,N分别为线段BC,CD上的两个不同的点可得，OM?ON的最大值小于2，故OM?ON的取值范围为[2?2,2)，所以应填[2?2,2).
考点：1.平面向量的数量积的应用；2.基本不等式的应用；
????????x2y213.已知点P(m,4)是椭圆2?2?1(a?b?0) 上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，若
ab3?PF1F2 的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为 ．
2【答案】
3 53，所以?PF1F2 的面积2【解析】
试题分析：因为?PF1F2 的内切圆的半[径为
S?13(PF1?PF2?F1F2)r，即S?(a?c)r?(a?c)，又因为?PF1F2 的面积2213c33S??F1F2?4?4c，所以(a?c)?4c，即e??，故应填.
22a55考点：1.椭圆的基本性质；2.椭圆的定义；
14.设定义域为(0,??)的单调函数f(x)，对任意x?(0,??)，都有f[f(x)?log2x]?6，若x0是方程f(x)?f?(x)?4的一个解，且x0?(a,a?1)(a?N*)，则实数a= ． 【答案】1 【解析】
试题分析：由函数f(x)为单调函数，且对任意x?(0,??)，都有f[f(x)?log2x]?6知，
f(x)?log2x必为常数，令t?f(x)?log2x，则f(x)?lo2gx?t，且f(t)?lo2tg?t?6，所以t?4，所以f(x)?log2x?4，f'(x)?方程f(x)?f?(x)?4的一个解，所以log2x0?4?1，又因为x0是xln21?4，整理得
x0ln2 5
log2x0?1?0，即x0ln2log2x0?1?0，令h(x0)?x0ln2log2x0?1，所以
x0ln2h(1)??1?0，h(2)?2ln2?1?0，由零点存在性定理知，x0?(1,2)，所以a?1.
考点：1.函数的基本性质；2.对数函数；3.导数的计算；4.函数与方程；
第Ⅱ卷（共90分）
二、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分为14分）已知函数f(x)?2cos(?6x??3)(0?x?5)，点A,B分别是函数
y?f(x)
图象上的最高点和最低点．
（1）求点A,B的坐标以及OA?OB的值；
（2）设点A,B分别在角?,?(?,??[0,2?])的终边上，求sin(???2?2?)的值．
【答案】（1）A(0,1),B(4,?2)，OA?OB??2；（2）【解析】
试题分析：（1）首先由0?x?5可知?1?cos(和最低点的纵坐标分别为
72. 10?6x??3)?1，即函数y?f(x)的最高点21,?1，于是可分别求出其对应的自变量x的取值范围，进而求出2点A,B的坐标，最后运用向量数量积的坐标运算即可求出OA?OB的值；（2）直接根据三角函数的定义可得???2,sin???5，然后运用倍角公式分别求出sin2?和cos2?，5最后由两角和差的正弦公式即可求出所求的结果. 试题解析：（1）因为0?x?5，所以当
?3??6x??3?7???1，所以?1?cos(x?)?，6632?6x??3??3，即x?0时，f(x)取得最大值1；当
?6x??3??，即x?4时，f(x)取
?得最大值-2，因此，所求的坐标为A(0,1),B(4,?2)，则OA?(0,1),OB?(4,?2)，所以
?OA?OB??2;
（2） 因为点A(0,1),B(4,?2)分别在角?,?(?,??[0,2?])的终边上，则
?? 6
???2,sin???5， 5s2?i?2ns?ic2523)?1?55cos??255，则
?no?2?s(?25254)???555所
，
cos2??2cos2??1?2?(?，以
sin(??23472?2?)?sin(?2?)?. ?(?)?2425510考点：1.余弦函数的图像及其性质；2.向量数量积的坐标运算；3.倍角公式；4.两角和差的正弦公式；
16.（本小题满分为14分） 如图，过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDFE. (1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；
(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形时，试证明：平面BDEF?平面AC1CA1.
【答案】（1）在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1、A1B1于F、E两点，即EF即为所作的锯线.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D且B1B?D1D，所
7
以四边形B1BD1D是平行四边形，B1B∥BD，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面
BDFE?平面ABCD?BD，平面BDFE?平面A1B1C1D1?EF，所以EF∥BD，从
而EF∥B1D1.（2）证明：由于四边形B1B1DD1是矩形，所以BD?B1B，又A1A∥B1B，所以BD?A1A.又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，所以
BD?AC.因为AC?A1A?A，AC?平面A1C1CA，A1A?平面A1C1CA，所以BD?平面A1C1CA，因为BD?平面BDFE是，所以平面BDFE?平面A1C1CA. 【解析】
试题分析：（1）在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1、A1B1于F、E两点，即
EF即为所作的锯线. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，易知四边形B1BD1D是平行四
边形即B1B∥BD，再由平面ABCD∥平面A1B1C1D1，运用平面平行的性质即可得出EF∥B1D1.（2）首先根据四边形B1B1DD1是矩形可得到BD?A1A，然后根据四棱柱
ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形可得到BD?AC，根据线面垂直的判定定理
知BD?平面A1C1CA，最后由面面垂直的判定定理即可得出结论成立.
试题解析：（1）在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1、A1B1于F、E两点，即
EF即为所作的锯线.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D且B1B?D1D，
所以四边形B1BD1D是平行四边形，B1B∥BD，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面
BDFE?平面ABCD?BD，平面BDFE?平面A1B1C1D1?EF，所以EF∥BD，从
而EF∥B1D1.
8
（2）证明：由于四边形B1B1DD1是矩形，所以BD?B1B，又A1A∥B1B，所以BD?A1A.又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，所以BD?AC.因为
AC?A1A?A，AC?平面A1C1CA，A1A?平面A1C1CA，所以BD?平面A1C1CA，
因为BD?平面BDFE是，所以平面BDFE?平面A1C1CA.
考点：1.平面与平面平行的性质及其判定定理；2.平面与平面垂直的判定定理；3.线面垂直的判定定理；
17.（本小题满分为14分）
如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M(2,1)，离心率为线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M.
求椭圆C的方程和抛物线C的方程。
//3，抛物21的直线l不过M点，与抛物线C交于A、B两个不同的点，求证：直线4MA，MB与x轴总围成等腰三角形.
斜率为?y M O A B l x
9
【解析】
试题分析：（1）首先设出椭圆C的方程和抛物线C的方程，然后分别根据椭圆C过点
//M(2,1)，且离心率为3/，列出方程组即可求出椭圆C的方程和抛物线C过点M(2,1)可2得抛物线的方程；（2）设出直线l的方程及点A,B的坐标即
13l:y??x?b(b?)A(x1,y1)B(x2,y2)，然后联立直线与抛物线C的方程并消去y得
42到关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1?x2?8(b?1)入kMA?kMB并化简即可得出kMA?kMB?0，即命题得证！
将其直接代x1x2?16b2(1)，
x2y2/试题解析：(1) 设椭圆的标准方程为2?2?1，抛物线的方程为y2?2px，则由椭圆Cab过点M(2,1)，且离心率为413c322，所以2?2?1，?，联立可解得a?8,b?2，2aba2x2y2??1.又因为抛物线C过点M，所以1?2p?2，所以所以椭圆C的方程为82/p?112，所以抛物线C的方程为y?x. 421?y??x?b??413(2)设l:y??x?b(b?)A(x1,y1)B(x2,y2)联立方程组?得
142?y2?x??2
10