化抽象为具体-抽象函数问题转化方法
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。2005高考北京卷、辽宁卷、广东卷等各有一个抽象函数解答题，同样2006高考重庆卷、辽宁卷、安徽卷等也出现抽象函数。化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 一、数形结合使抽象函数具体
一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。 例1、设奇函数f(x)的定义域为[?5,5]，若当x??0,5?时，f(x)是增函数且f(2)=o 求不等式xf(x)?0的解。 分析：f(x)的图像如图所示 x>0时2 例2、已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有 4个不同的实根，求这些实根之和。 分析：由f（2+x）=f（2-x）知直线x=2是函数图象的对称轴，又f（x）=0有四根，现从 大到小依次设为x1、x2、x3、x4，则x1与x4，x2与x3均关于x=2对称， ∴x1+x4= x2+x3=2×2=4， ∴x1+x2+x3+x4=8。 评注：一般地，若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则直线x=a是函数图象的对称轴， 利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。 二、利用单调性定义使问题具体 加上函数符号f即为“穿”，去掉函数符号f即为“脱”。对于有些抽象函数，可根据函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。 例3已知f(x)是定义在（0，式。f(x+5)- f( ）上的增函数，且f( x)=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等y1)<2 x - 1 - x36)=f(x)-f(y)得：f()=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。而 f(x+5)- 6y11f()<2“穿”f号得f(x+5)- f() ）上的增函数，“脱”得x。 在结合函数的定义域可得：0 三、类比模型使解题思路具体 模型，就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法尤其对选择题或填空题中抽象函数也可赋于具体的背景函数以帮助作答。对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用。 例4、已知函数f（x）(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(6)=1 （1）求证：f(1)=f(-1)=0； （2）求证：f(x)为偶函数； （3）若f(x)在(0,+∞)上是增函数，解不等式f(x)+f(x+5)≤2。 分析：因为定义域为(-∞,0)∪(o,+∞)，所以由f(x)=logax(0＜a＜1）理解题意显然不当，但是只要稍加变通，可以发现用f(x)=loga|x︳理解题意较为恰当，第（3）小题解不等式就可与解对数不等式类比处理。 （1）令x=y=1得f(1)=0，令x=y= -1得f(-1)=0； （2）令y= -1得f(-x)=f(x)； （3）f(6)= f(6)+f(6) =2 ∵f(x)为偶函数，∴f（x）+f（x+5)=f（|x|）+f（|x+5 |）=f（|x(x+5)|）≤f（6）。 o<|x(x+5)| ≤6 ∴?2?x?1或?6?x??5或?5?x??3 例4、已知函数f（x）对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y)，且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2）f(x)在x∈R上是减函数。 分析：由f（x）= a(0＜a＜1）理解题意。 x - 2 - （1）令x=y=0得f（0）=f （0），又f（0）≠0，f（0）=1，再令y=-x得f（x）（-x）=1，∵当时x＞0时，f（-x）＞1，∴0＜f（x）＜1； （2）受指数函数的单调性启发得，x＜0时，f（x）＞1；x＞0时，0＜f（x）＜1；x=0时，f（x）≠0，f（x）＞0。又∵f(x+y)=f(x)f(y), (x、y∈R) ,设x1＜x2，x+y= x1 ,x= x2则 2 f?x1??f(x1-x2)＞1，∵f(x2)＞0∴f(x1)＞f(x2),因此，f(x)在x∈R上是减函数。 f?x2?四、赋值策略使问题具体 抽象函数常常以函数方程的形式出现，解决这类问题的时候让变量取一些特殊值或特殊式，从而使问题解决，并具有一定的规律性。 例5．如果f(a?b)?f(a)?f(b)且f(1)?2，则 f(1)f(3)f(5)????? f(0)f(2)f(4)f(2005)?（ ） f(2004)A. 1002 B. 1003 C. 2004 D. 2006 分析：所求的是函数值分式的和，从已知式变形 值差的函数。 解： f(a?b)?f(b)知函数值商等于自变量 f(a)f(1)f(3)f(5)f(2005)??????f(1)?f(1)???f(1) f(0)f(2)f(4)f(2004)?1003f(1)?2006 1003个 例6 设f(x)是区间(0,1)上的函数，且同时满足：①对任意x?(0,1)，恒有f(x)>0；②对于任意x1,x2?(0,1),恒有 f(x1)f(1?x1)+?2.试证明：（I）对任意x?(0,1)都有f(x2)f(1?x2)（II）对任意x1,x2?(0,1)都有f(x1)?f(x2). f(x)?f(1?x)； 解：（Ⅰ）令x1?x,x2?1?x,x1,x2?(0,1)，由②知 f(x)f(1?x)+?2， f(1?x)f(x)由①知f(x)?0,f(1?x)?0,?f(x)f(1?x)f(x)f(1?x)+?2，?+=2. f(1?x)f(x)f(1?x)f(x) - 3 - 上式取等号时 f(x)=1，故f(x)?f(1?x). f(1?x) （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）得， f(x1)f(1?x1)f(x1)f(x1)?++?2， f(x2)f(1?x2)f(x2)f(x2)?f(x1)f(x2)?1，同理?1，?f(x1)?f(x2). f(x2)f(x1) 例．7已知定义在R上的函数f?x?满足： （1） 值域为??1,1?，且当x?0时，?1?f?x??0 （2）对于定义域内任意的实数x,y，均满足：f?m?n??试回答下列问题： （Ⅰ）试求f?0?的值； （Ⅱ）判断并证明函数f?x?的单调性； （ Ⅲ ） 若 函 数 f?m??f?n? 1?f?m?f?n?f?x?存在反函数 g?x?，求证： 1?1??1????1?g???g?????g?2?g???． 511n?3n?1???????2?讲解：（Ⅰ）在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?0,n?0，则有 1?f?m?f?n?f?m??f?m??f?0?．即：f?m???1?f?m?f?0????f?m??f?0?． 1?f?m?f?0?也即：f?0??f?m????2?1??0． ?由于函数f?x?的值域为??1,1?，所以，?f?m????2?1??0，所以f?0??0． ?（Ⅱ）函数f?x?的单调性必然涉及到f?x??f?y?，于是，由已知 f?m??f?n?，我们可以联想到：是否有 f?m?n??1?f?m?f?n? - 4 - f?m?n??f?m??f?n?？（＊） 1?f?m?f?n?这个问题实际上是：f??n???f?n?是否成立？ 为此，我们首先考虑函数f?x?的奇偶性，也即f??x?与f?x?的关系．由于f?0??0，所以，在f?m?n??f?m??f?n?中，令n??m，得f?m??f??m??0． 1?f?m?f?n?所以，函数 f?x?为奇函数．故（＊）式成立．所以， f?m??f?n??f?m?n???1?f?m?f?n???． 任取x1,x2?R，且x1?x2，则x2?x1?0，故f?x2?x1??0且?1?f?x2?,f?x1??1．所以， f?x2??f?x1??f?x2?x1???1?f?x2?f?x1????0 所以，函数f?x?在R上单调递减． （Ⅲ）由于函数f?x?在R上单调递减，所以，函数f?x?必存在反函数g?x?，由原函数与反函数的关系可知：g?x?也为奇函数；g?x?在??1,1?上单调递减；且当?1?x?0时， g?x??0． 为了证明本题，需要考虑g?x?的关系式． 在（＊）式的两端，同时用g作用，得：m?n?g??f?m??f?n???， ?1?f?m?f?n??令f?m??x,f?n??y，则m?g?x?,n?g?y?，则上式可改写为： ?x?y?g?x??g?y??g??． ?1?xy?不难验证：对于任意的x,y???1,1?，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了g?x?的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将 1写成 n2?3n?1x?y的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端． 1?xy - 5 - 事实上，由于 11??n?1??n?2??n?1n?2， 11??1n2?3n?1?n?1??n?2??11?1?n?1??n?2?1???1??n?1?????1??n?2??所以，g??1??n2?3n?1???g??1??n?1???g??1??n?2??． 所以，g??1???g?1??1?5???11?????g???n2?3n?1?? ????1???1??g??2???g??1??3?????????g??1??3???g??1??4???1?????????g??n?1???g??n?2?????g??1??2???g??1??n?2?? ?g??1??1??1??2???g???n?2???g??2??点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定f?0?的值． - 6 - 事实上，由于 11??n?1??n?2??n?1n?2， 11??1n2?3n?1?n?1??n?2??11?1?n?1??n?2?1???1??n?1?????1??n?2??所以，g??1??n2?3n?1???g??1??n?1???g??1??n?2??． 所以，g??1???g?1??1?5???11?????g???n2?3n?1?? ????1???1??g??2???g??1??3?????????g??1??3???g??1??4???1?????????g??n?1???g??n?2?????g??1??2???g??1??n?2?? ?g??1??1??1??2???g???n?2???g??2??点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定f?0?的值． - 6 -