南安一中2013～2014学年度下学期期末考试
高一数学科试卷
【试卷综析】本试卷是高一期末试卷，考查了高一学年的全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、不过多涉及综合性较强的问题、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：等比数列、等差数列、数列求和、不等式的性质、基本不等式、证明不等式的方法、程序框图、二元一次不等式组表示的平面区域及简单的线性规划、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、函数的概念及应用、平面向量的数量积等；考查学生解决实际问题的综合能力。是份非常好的试卷. 第I卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 下列程序语言中，哪一个是输入语句 ( ) A. PRINT B. INPUT C. THEN D. END 【知识点】输入语句的概念
【答案解析】B 解析：解：根据输入语句的定义可知选B 【思路点拨】根据输入语句的概念直接判断 2. 公比为2的等比数列
{an}的各项都是正数，且a3?a11=16，则a6= （ ）
1 B.2 C.4 D.8
【知识点】等比数列的性质及等比数列的定义
2aa?a?16，又数列的各项都是正数，3117【答案解析】B 解析：解：由等比数列的性质得
所以
a7=4，由等比数列的定义得
a6?a72=2，所以选B.
【思路点拨】先观察所给的项的项数，发现可利用等比数列的性质求出数列的第7项，再结合公比为2，利用等比数列的定义求第六项
f(x)?x?3. 若函数
1(x?2)x?2，在x?a处取最小值，则a=（ ）
A.1?2 B.1?3 C.3 D.4 【知识点】利用基本不等式求最值
【答案解析】C 解析：解：因为
x＞2，所以
x－2＞0，则
f(x)?1x?x?2?x?21?x?22?2?x(1?2)?x?2?2?4x?2?，当且仅当
1x?2，
即x=3时等号成立，所以a=3，选C
【思路点拨】观察所给的函数，可通过凑项法凑出基本不等式，再利用基本不等式取得最小值的条件求出对应的x的值，即可确定a的值.
1
4. 已知a,b,c?R,则下列推证中正确的是 （ ）
ab??a?b22a?b?am?bmcc A. B.
a3?b3,ab?0? C.
1111?a2?b2,ab?0??ab D. ab
【知识点】不等式的性质
【答案解析】C 解析：解：对于A选项，当m=0时不成立；B选项当c＜0时不成立；D选项当a，b都是负数时不成立，即可确定选C. 【思路点拨】在遇到不等式两边同时乘以一个实数时应注意考虑实数的符号，若不能确定符号，应对所乘的实数考虑0和负数的情况进行判断. 5. 在等比数列
{an}中，已知前n项和Sn=5n?1?a，则a的值为（ ）
A．－1 B．1 C ．5 D．-5 【知识点】等比数列的前n项和
n?1nS?5?a?5?5?a，由等比数列的前n项和的特征可n【答案解析】D 解析：解：因为
知a=－5，所以选D.
【思路点拨】当等比数列的公比不为
1时其前n项和公式为
a1(1?qn)aaSn??1?1?qnnq1?q1?q1?q，其常数项与系数互为相反数.
6. 如果执行右边的程序框图，那么输出的 s? （ ）
A．22 B．46 C．94 D．190 【知识点】程序框图
【答案解析】C 解析：解：第一次执行循环体变量的值为i=2，s=4；第二次执行循环体变量的值为i=3，s=10；第三次执行循环体变量的值为i=4，s=22；第四次执行循环体变量的值为i=5，s=46；第五次执行循环体变量的值为i=6，s=94；此时i＞5，输出s=94，所以选C.
【思路点拨】对于循环结构的程序框图问题，可依次执行循环体直到满足条件跳出循环体，当运行次数教多时，可观察是否有数列的规律，利用规律解答.
2
7. 已知a?0，x,y满足约束条件（ ）
?x?1??x?y?3?y?a(x?3)?，若z?2x?y的最小值为0，则a?11A．4 B．2 C．1 D．2
【知识点】简单的线性规划
【答案解析】C 解析：解：根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最小值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，又B点坐标为(1,－2a)，代入z=2x+y，得2－2a=0，得a=1，选C.
【思路点拨】由线性约束条件求最值问题通常利用数形结合解答，即先作出满足约束条件的可行域，再结合目标函数确定取得最值的位置.
3
6b2?c2?a2?bc58. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若，则sin(B?C)?( )
4433A．－5 B.5 C．－5 D.5
【知识点】余弦定理、三角形内角和公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式
6b2?c2?a23b?c?a?bccosA??52bc5，【答案解析】B 解析：解：因为，所以
222sinA?1?cos2A?445，则sin(B+C)=sinA=5，所以选B.
【思路点拨】结合余弦定理可由条件直接得出cosA，再利用角形内角和公式、诱导公式及同角三角函数基本关系式进行计算.
9. 已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 ( )
A．a B.2a C. 2a D．3a
【知识点】利用余弦定理解三角形
【答案解析】D 解析：解：因为灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，所
2222AB?a?a?2?a?a?cos120??3a以∠ACB=120°，由余弦定理得，则3a，所以
选D.
【思路点拨】根据A、B与C的方位角及距离，把三个点放在三角形中，已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理求AB距离.
a1?a3?a9{a}a,a,aa?a4?a10的值是
10. 已知等差数列n的公差d?0，且139成等比数列，则2（ ）
13121515A. 16 B.13 C. 14 D.16
【知识点】等差数列的通项公式、等比数列的定义
2a?a?2d,a?a?8d(a?2d)?a1(a1?8d)，31911【答案解析】A解析：解：因为，则有
a1?a3?a9a?3a1?9a113?1?d?a1a?a4?a102a1?4a1?10a116，则选A.
因为公差不等于0，得，所以2【思路点拨】可用等差数列的通项公式求出第一、三、九项，再利用等比数列的定义得出等差数列的首项与公差的关系，把所求的分式的分子与分母都用等差数列的首项表示，即可求
4
其比值.
111. 若数列
{an}满足an＋1－1{a}an＝d(n∈N*，d为常数)，
则称数列n为“调和数列”．已
?1???bb?b2?L?b9?90，则b4?b6的最大值是
知正项数列?n?为“调和数列”，且1( )
A．10 B．100 C．200 D．400 【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值
?1???b?b?b?bn?d，
【答案解析】B解析：解：因为正项数列?n?为“调和数列”，则n?1即数列n为等差数列，由等差数列的性质
2b1?b2?b3??b99?b59?0，b5?10则
?b?b?b4b6??46??100b?b6即该数列为常数列时b4?b6?2b5?20，所以?2?，当且仅当4等号成立，所以选B.
【思路点拨】根据所给的新定义可得到数列
?bn?为等差数列，从所给的项的项数特征可发
b4?b6?2b5?20，再由和为定
现等差数列的性质特征，利用等差数列的性质即可得到则值求积的最大值利用基本不等式解答即可.
12. 设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?2008 ，且对任意x?R， 满
足
f(x?2)?f(x)?3?2x，
f(x?6)?f(x)?63?2x，则
f(2008)=
（ ） A．22006?2007 B．22006?2008 C．22008?2006 D．22008?2007
【知识点】函数的概念、数列累加求和的应用、等比数列前n项和公式
【答案解析】D解析：解：由f（x+2）-f（x）≤3?2 x，f（x+6）-f（x）≥63?2 x可得 f（x+6）-f（x+2）≥60?2 x=15?2 x+2，即f（x+4）-f（x）≥15?2 x，
由f（x+2）-f（x）≤3?2x，得f（x+4）-f（x+2）≤3?2 x+2，两者相加得，得f（x+4）-f（x）≤15?2x，所以f（x+4）-f（x）=15?2x，则f（4）-f（0）=15，f（8）-f（4）=15?2，f（12）-f（8）=15?2，…，f（2008）-f（2004）=15?2842004，上述式子两边分别相加得
?1?22008??4?1?2?=22008?1，所以f（2008）=22008?2007，则选D f（2008）-f（0）=15??【思路点拨】先利用所给的函数的不等关系通过对x的代换及不等式的性质得到一个等量关
5
系f（x+4）-f（x）=15?2x，再借助于数列的累加求和求通项公式的方法求f（2008）.
第II卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分。
?1?2?x?1??y??x?1?y?x?1y?1?13. 若实数x，y满足?，则x的最大值为________．
【知识点】不等式组表示的平面区域、两点连线斜率公式
y?1【答案解析】5解析：解：作出不等式表示的平面区域如图为四边形ABCD对应的区域，而x表示区域内的点与点(0，－1)连线的直线斜率，显然当直线经过D点时斜率最大，而D点坐
3?12?513??1?,?标为?22?，所以所求的最大值为2.
【思路点拨】一般遇到二元一次不等式组可考虑其对应的平面区域，则对所求的式子考虑其相应的几何意义，一般分式问题可考虑两点连线斜率公式.
914. 某程序框图如右图所示,若该程序运行后输出的值是5,
判断框内“k?a”，且a?Z，则a?___________.
【知识点】程序框图，数列求和
【答案解析】4解析：解：该程序框图为循环结构，依次执行程序框图可得：第一次执行循
111环体S=1+1?2，k=2；第二次执行循环体S=1+1?2+2?3，k=3；第三次执行循环体
6
S=1+
11?2+
12?3+
13?4，k=4；第四次执行循环体
111111111119?1?1????????22334455，k=5；此时应输出S，S=1+1?2+2?3+3?44?5=
所以a=4
【思路点拨】对于循环结构的程序框图，可依次执行循环体直到满足跳出循环的条件为止,若循环次数较多时，可利用其规律利用数列知识解答 开始 S=1，k=1 是 k>a? 否 1S=S+ k(k+1)k=k+1 输出S 结束 （第14题图）
uuuruuur15. △ABC满足AB?AC?23，∠BAC=30°，
设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)， 其中x,y,z分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，
114?f(M)?(x,y,)xy的最小值为__________________ 2，则若
【知识点】向量的数量积计算公式，三角形面积公式，基本不等式求最值 【答案解析】18解析：解：由向量的数量积公式得
ABACcosA?2312，得
ABAC?4，
S所
以
ABC?1ABACsiA?n21，
则
x+y=1
－
=
12，所以
??14??14y4x?y4x?y4x??2?x?y?????2?5????2?5?2??18????xyxy?xy?xy??xy，??，当且仅当
7
11x?,y?63时等号成立，所以最小值为18. 即
【思路点拨】利用向量的数量积和三角形面积计算公式得出x+y为定值，即出现了利用“1”的代换凑出基本不等式的题型特征，再求最值.
?n2f(n)??2??n16. 已知函数
且
n为奇数n为偶数，
an?f(n)?f(n?1)，则a1?a2?a3?L?a1001?___________.
【知识点】函数的概念，数列求和
??2n?1,n为奇数an???2n?1,n为偶数，所以【答案解析】－1003解析：解：因为
a1?a2?a3??a1001??3?5?7?9??2003??3???2??500??1003.
【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常先确定其通项公式，因为函数f(n)为分段函数，
所以可对所求数列分段求其通项公式，最后结合通项公式特征用并项求和法求和即可.
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a?2,c?5，（1）求b的值； （2）求sinC的值.
【知识点】余弦定理，正弦定理
cosB?35．
【答案解析】（1）
41717；17（2）解析：解：（1）由余弦定理得
3b2?a2?c2?2accosB?4?25?2?2?5??175，所以17；
175?434bcsinCcosB?,所以sinB??55，由正弦定理sinBsinC ，即 5（2）因为
所以sinC?41717. 【思路点拨】三角形已知两边及夹角的余弦求第三边用余弦定理，已知两边及一边所对角的正弦，求另一边所对角的正弦值用正弦定理.
8
18. 已知不等式ax?5x?2?0的解集是M． （1）若2?M，求a的取值范围；
2M?x（2）若
?1?x?2222，求不等式ax?5x?a?1?0的解集．
?【知识点】一元二次不等式的解法
【答案解析】（1）a??2；（2）
?x?3?x?12．解析：解：
（1）∵2?M，∴
?a?22?5?2?2?0，∴a??2；
M?x（2）∵
?11?x?2,2222，∴是方程ax?5x?2?0的两个根，
?5?1?2????2a??1?2??2?a 解得a??2 ∴由韦达定理得?2∴不等式ax?5x?a?1?0即为：?2x?5x?3?0
222得解集为
?x?3?x?12．
?【思路点拨】解一元二次不等式时要注意结合其对应的二次函数的图象求解，其解集的端点值为其对应的一元二次方程的根. 19. 已知数列点
{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an-2(n=1,2,3L)，数列{bn}中，b1=1，
P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上．
（1）求数列(2) 设
{an},{bn}的通项an和bn；
cn?an?bn，求数列?cn?的前n项和Tn．
【知识点】等差数列，等比数列，数列求和
na?2,bn?2n?1（2）(2n?3)2n?1?6 n【答案解析】（1）
解析：解：（1）
QSn?2an?2,Sn?1?2an?1?2,
又Sn－Sn?1＝an，（n?2,n?N*)?an?2an?2an?1,Qan?0,.
9
?an?2,(n?2,n?N*),即数列?an?是等比数列.an?1
Qa1?S1,?a1?2a1?2, 即a1＝2， ?an?2n
Q点（Pbn,bn?1)在直线x-y+2=0上，?bn?bn?1＋2＝0
?bn?1?bn?2,即数列?bn?是等差数列，又b1＝1，?bn?2n?1nQc＝(2n?1)2, n（2）
；
?Tn＝a1b1?a2b2?L?anbn?1?2?3?22?5?23?L?(2n?1)2n,?2Tn?1?22?3?23?L?(2n?3)2n?(2n?1)2n?1
23nn?1?T?1?2＋(2?2＋2?2＋L＋2?2)?(2n?1)2n因此： 34n?1n?1?T?1?2?(2?2?L?2）?(2n?1)2即：n
?Tn?(2n?3)2n?1?6.
【思路点拨】一般遇到数列的前n项和与通项的递推公式，通常利用关系式
*an?Sn－Sn?（1n?2,n?N)转化成单一的项的递推关系或单一的前n项和的递推关系，再
利用特殊数列-等差数列或等比数列求通项公式；遇到数列求和问题先明确其通项公式，结合通项公式特征确定求和思路.
【知识点】函数解析式的求法，基本不等式求最值
96000【答案解析】（1）y＝x＋240x－160(0 其最小值为9 440万元． 240解析：解：（1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝x－1. 10 ?240?24096000?1???＋x(x2＋x)＝x＋240x－160. 所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400?x96000故y与x的函数关系是y＝x＋240x－160(0 9600096000?240xxx(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440. 96000240240当且仅当x＝240x，即x＝20时取等号，此时，k＝x－1＝20－1＝11， 故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元． 【思路点拨】由实际问题求函数解析式，可结合题目中的条件建立等量关系，同时注意定义域的确定，在求最值时，若出现积为定值可考虑用基本不等式，注意其等号成立的条件. cosA?2cosC2c?a?A,B,Ca,b,cABCcosBb． 21. 在△中，角所对的边分别为，已知sinC （1）求sinA的值； cosB? （2）若 14，b?2，求△ABC的面积S. 【知识点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式 15【答案解析】（1）2；（2）4 abc???k,sinAsinBsinC解析：解： （1）由正弦定理，设 2c?a2ksinC?ksinA2sinC?sinA??,ksinBsinB则b cosA?2cosC2sinC?sinA?.cosBsinB所以 即(cosA?2cosC)sinB?(2sinC?sinA)cosB， 化简可得sin(A?B)?2sin(B?C). sinC?2.A?B?C??sinC?2sinAsinA又，所以 因此 11 sinC?2 （2）由sinA得c?2a.由余弦定理 1b2?a2?c2?2accosB及cosB?,b?2,41得4=a2?4a2?4a2?.4 解得a=1。因此c=2 cosB?又因为 151sinB?.4 4，且0?B??，所以 S?因此 111515acsinB??1?2??.2244 【思路点拨】在解三角形问题中，一般遇到边角混合条件可先考虑利用正弦定理或余弦定理把条件转化为单一的角的关系或单一的边的关系再进行解答；在求三角形面积时，若已知一内角可考虑用含夹角的面积公式进行计算. 3an3a1?,an?1?,n?1,2,L{a}52a?1n22. 已知数列n的首项. 1?1}{a}a（1）求证：n是等比数列，并求出n的通项公式； {x?0,an?（2）证明：对任意的 112?(?x),n?1,2,L1?x(1?x)23n； 2n2n??a1?a2?L?an?5n?1. （3）证明： 【知识点】等比数列的定义，不等式的证明，等比数列前n项和公式的应用 Qan?1?【答案解析】略，解析：证明：（1） 3an121111,?????1?(?1)2an?1an?133anan?13an， 12?1?,a3 又1121?1}a所以n是以3为首项，以3为公比的等比数列． {12123n??1??n?1?n,?an?nan3333?2 12 3nan?n?0,3?2（2）由（1）知 112112111?(?x)=?(?1?1?x)??[?(1?x)]1?x(1?x)23n1?x(1?x)23n1?x(1?x)2an =-11(?an)2?an?anan1?x （3）先证左边不等式，由 3n2an?n=1-n，3?23?2知 1112a1?a2?L?an=n-2(??L?n)?n?5113?25；当n?1时等号成立； 再证右边不等式，由（2）知，对任意 x?0，有 a1?a2?L?an?n1222?(??L??nx)1?x(1?x)23323n， 22221?2?L?n(1?n)3?33?1(1?1)x?33n1nn3n(1?)3取， n2a1?a2?L?an???111n?11?(1?n)n?1?nn33则 n n2an?1?a?a【思路点拨】一般证明数列n是等比数列，可结合定义只需证明n等于常数即可，在 证明不等式中放缩法是常用的方法，本题第2问先通过对右边凑项出现 an，再利用放缩法 进行证明，第3问在第二问的基础上先利用不等式的性质得到数列的和满足的不等式，再利 用放缩法证明. 13