专题四 速度关联问题
[重点难点提示]
运动物体间速度关联关系，往往是有些命题的切入点.而寻找这种关系则是学生在学习中普遍感觉的难点。对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。
分运动与合运动的关系
1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性.
2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.
3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性. [习题分类解析]
类型一 求解绳联物体的速度问题
如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2
v1 甲 v1 甲 v2 α 乙 v2 v1 α 乙 分析与解答：如图所示，
甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1
变式1 如图所示，在一光滑水平面上放一个物
体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
分析与解答：解法一:应用微元法
设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图5-5所示.过C点作CD⊥AB，当Δt→0时，∠BAC极小，在△ACD中，可以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD，即为在Δt时间内绳子收缩的长度.
由图可知：BC=
BD cos?
由速度的定义：物体移动的速度为v物=人拉绳子的速度v=解之：v物=
?s1BC? ?t?t
?s2BD? ?t?t
v cos?110
解法二:应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按如图所示进行分解.
其中:v=v物cosθ，使绳子收缩.
v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动. 所以v物=
v cos?解法三：应用能量转化及守恒定律
由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.
人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1=Fv；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2=Fv物cosθ，因为P1=P2所以
v物=
v cos?变式2 如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端
点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率Vm.
分析与解答：杆的端点
A点绕O点作圆周运动，其速度VA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为：
VA=ωR
对于速度VA作如图6所示
C B α A R β VA M O ω 的正交分解，即沿绳BA方向和
垂直于BA方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率VM，因为物块只有沿绳方向的速度，所以VM=VAcosβ
sin(由正弦定理知，
?2H??)?sin? R由以上各式得VM=ωHsinα.
变式3 如图，在竖直平面内有一半径为R的半圆形圆柱截面，用轻质不可伸长
的细绳连接的A、B两球，悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的两倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，已知A始终不离开球面，且细绳足够长，圆柱固定.若不计一切
A O 摩擦.求:
R (1)A球沿圆柱截面滑至最低点时速度的大小； (2)A球沿圆柱截面运动的最大位移.
分析与解答： (1)设A球沿圆柱面滑至最低点时速度的
大小为v，则根据机械能守恒定律可得
B
2mgR?2mgR?112?2mv2?mvB 22111
又vB?vcos450 解得 v?22?2gR 5(2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱面运动的位移最大，设为S，则根据机械能 守恒定律可得2mgh?mgS?0
由几何关系
2R?SSS2?h2得h?S4R2?S2 2R解得 S?3R
变式4 一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另
一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m2由静止从
AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图5-10所示.试求： （1）m2在下滑过程中的最大速度.
（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.
分析与解答：（1）由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的
竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出
现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE增=ΔE减，即
11m1v12+m22v2+m1g（AC-AB）sin30°=m2g·BC 22又由图示位置m1、m2受力平衡，应有： Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°
又由速度分解知识知v1=v2cos∠ACB，代入数值可解得v2=2.15 m/s,
（2）m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE增′=ΔE减′
即:m1g（H2?AB2?AB）sin30°=m2gH 利用（1）中质量关系可求得m2下滑的最大距离H=
433m=2.31 m
变式5 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图5-12
所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.
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分析与解答：以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0.随着车的加速运动，重物上
升，同时速度也不断增加.当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图即vQ=vB1=vBcos45°=于是重物的动能增为 Ek2 =
2vB 211mvQ2=mvB2 24在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为
h=2H-H=（2-1）H WG=-mgh=-mg（2-1）H
于是由动能定理得 WT+WG=ΔEk=Ek2-Ek1
1mvB2-0 41所以绳子拉力对物体做功WT=mvB2+mg（2-1）H
4即WT-mg（2-1）H=
类型二 面接触物体的速度问题的求解
一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）.
分析与解答：选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方
向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=vsinθ. 设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.
令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsin2θ/h. 故A的线速度vA=ωL=vLsin2θ/h.
变式1 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体
上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。
分析与解答：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，
由于弹力方向沿
OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，
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即有V0sin??V1cos?，解得V1=V0.tgθ.
变式2 如图所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和
墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为?，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。
分析与解答：此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球
和木块总是相互接触的，所以小球的速度V1和木块 上的投影相等，即:V1Cos?=V2Sin? 由机械能守恒定律可得：
mgH=mv1/2+mv2/2
由上述二式可求得： V1=2gH.sin?, V2=2gH.cos?.
2
2
的速度V2在垂直于接触面的方向
变式3 如图所示，在光滑水平面上放一质量为M、边长为l的正方体木块，木块右上
角靠着一长为L的轻质光滑棒，棒的一端用光滑铰链连接于地面上的O点，棒可绕O点在竖直平南非内自由转动，另一端固定一质量为m的匀质金属小球．开始时，棒与木块均静止，棒与水平面夹角为?．当棒绕O点逆时针转动到棒与水平面间夹角为?的瞬时，求木块速度的大小．
分析与解答：设棒和水平面成?角时，木块速度为v，小球
速度为vm，棒与木块的接触点B的速度为vB，因B点和m在同一棒上以相同角速度绕O点转动，所以有：vm?LLL??? vB?OBl/sin?lsin?
木块与棒接触于B点时木块的速度水平向左，此速度可看作两速度的合成，即B点绕O转动的速度v⊥= vB和B点沿棒方向向m滑动的速度v∥，所以vB = vsin?
故vm = vBLLsin??vsin2? ll 因从初位置到末位置的过程中只有小球重力对小球、轻棒、木块组成的系统做功，所
以在上述过程中机械能守恒：
121mgL(sin?– sin?) =mvm?Mv2
22综合上述得v = l2mL(sin??sin?)． 224Ml?mLsin?
变式4 在水平光滑细杆上穿着A、B两个刚性小球，两球间距离为L，用两根
长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接（如图所示），开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球。已知A、B、C三球质量相等，试求A、B二球速度V的大小与C球到细杆的距
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离h之间的关系。
分析与解答：此题的关键是要找到任一位置时，A、B球的速度和C球的速度之间的
关系。在如图所示位置，BC绳与竖直方向成?角。因为BC绳不能伸长且始终绷紧，所以B、C 两球的速度VB和VC在绳方向上的投影应相等，
A A B VB B L θ 即 VC.COS?=VB.Sin? 由机械能守恒定律，可得： C C VC
2
mg(h-3L/2)=mvC/2+2(mv
2
/2) B
2222
又因为tg? =(L-h)/h
2由以上各式可得：VB=2gh(h?3L/2)(h?L)22.
[解题方法归纳与提升]
1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.
2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变. 3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向. 4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.
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