2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
文科数学 试卷
数学试题（文史类）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A?x1?x?3，B?xx?2，则A?B等于 A.
?????x2?x?3??? B.
?xx?1? C.
?x2?x?3?
D.xx?2
2.计算1?2sin22.5的结果等于
20A.
1233 B. C. D. 22323.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于 ．．．A.3 B.2 C.23 D.6
?1?i?4.i是虚数单位，??等于
1?i??A.i B.-i C.1 D.-1
[来源学。科。网Z。X。X。K]4
?x?1?5.若x,y?R，且?x?2y?3?0，则z?x?2y的最小值等于
?y?x?A.2 B.3 C.5 D.9
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A.2 B.3 C.4 D.5
?x2?2x?3,x?07.函数f(x)??，的零点个数为
??2?lnx,x?0 A.3 B.2 C.1 D.0 8.若向量a?(x,3)(x?R)，则“x?4”是“|a|?5”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92 10.将函数f(x)?sin(?x??)的图像向左平移
?个单位.若所得图象与原图象重合，则?的2值不可能等于 ．．．
A.4 B.6 C.8 D.12
x2y2??1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则11.若点O和点F分别为椭圆43????????OP?FP的最大值为
A.2 B.3 C.6 D.8
12.设非空集合S?|x|m?x?l|满足：当x?S时，有x?S.给出如下三个命题：①若
2m?1，则S?|1|；②若m??1112，则?l?1；③若l?，则??m?0.其中正确2422命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．
1x2y2?2?1(b?0)的渐近线方程式为y??x，则ｂ等于 . 13. 若双曲线
24b14. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频
率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 . 15. 对于平面上的点集?，如果连接?中任意两点的线段必定包含于?，则称?为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：
[来源学科网ZXXK]
其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.16. 观察下列等式：
① cos2??2cos??1;
② cos4??8cos??8cos??1;
③ cos6??32cos??48cos??18cos??1;
64242[来源学科网Z.X.X.K]
④ cos8??128cos??256cos??160cos??32cos??1;
⑤ cos10??mcos10??1280cos8??1120cos6??ncos4??pcos2??1. 可以推测，m – n + p = .
三、解答题 ：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分 ）
86421?1? 数列{an} 中a1＝，前n项和Sn满足Sn?1-Sn＝??3?3? ( I ) 求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
n?1（n?N）.
* （II）若S1, t ( S1+ S2 ), 3( S2+ S3 ) 成等差数列，求实数t的值.
18.（本小题满分12分）
设平顶向量am＝（ m , 1）, bn= ( 2 , n )，其中 m，n?{1,2,3,4}. （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；
（II）记“使得am?（am-bn）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率. 19.（本小题满分12分）
已知抛物线C：y?2px(p?0)过点A （1 , -2）.
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于25？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由. 520. （本小题满分12分） 如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1, D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1. 过EH的平面与棱BB1, CC1相交，交点分别为F，G. （I）证明：AD//平面EFGH；
（II）设AB?2AA.在长方体ABCD - A1B1C1D1内1?2a随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内
的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF?a时，求p的最小值.
21．(本小题满分12分)
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分14分）
已知函数f(x)?13x?x2?ax?b的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y?3x?2. 3m是?2,???上的增函数. x?1(Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设g(x)?f(x)? （i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算． 每小题4分，满分16分．
13．1 14．60 15．②③ 16．962
三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．
18．本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想．满分12分．
解：(Ⅰ)有序数组(m,n)的所有可能结果为：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．
22(Ⅱ)由am?(am?bn)得m?2m?1?n?o，即n?(m?1)．
由于m,n?｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个．又基本
事件的总数为16，故所求的概率
P(A)?21?168．
19．本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考
查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分12分.
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x?y?1?0.
20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分 解法一：
AD∥A1D1.（Ⅰ）证明：在长方体ABCD?A1BC11D1中，
又∵EH∥A1D1 ，∴AD∥EH． ∵AD?平面EFGH，
EH?平面EFGH
∴AD∥平面EFGH.
2（Ⅱ）设BC?b，则长方体ABCD?A1BC11D1的体积V?AB?AD?AA1?2ab，
几何体EB1F?HC1G的体积V1?(EB1?B1F)?B1C1?∵EB1?B1F?a，
22212bEB1?B1F. 2EB12?B1F2a22?a时等号成立. ∴EB1?B1F?，当且仅当EB1?B1F?222a2b从而，V1?.
4
a2b2V7故p?1?1?1?42?，当且仅当EB1?B1F?a时等号成立.
2V2ab87所以，p的最小值等于.
8解法二：
（Ⅰ）同解法一.
成立.
a2b从而V1?.
4a2bV7∴p?1?1?1?42?，当且仅当sin2??1即??45°时等号成立。
V2ab87所以，p的最小值等于.
8
21．本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．
解法一：（Ⅰ）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则
S?900t2?400?2?30t?20?cos(90??30?)
?900t2?600t?400 1?900(t?)2?3003故t?
[来源学*科*网]1103?303.时，Smin?103，v?133[来源学科网]
即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇.
由题意可知，(vt)2?202?(30t)2?2?20?30t?cos(90??30?)，
400600132??900?400(?)?675. 2ttt411由于0?t?，即?2，
2t化简得：v?2
所以当?2时，
1tv取得最小值1013，
即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时.
解法二：
（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.
设小艇与轮船在C处相遇.
在Rt?OAC中，OC?20cos30?103，
?AC?20sin30??10.
又AC?30t,OC?vt 此时，轮船航行时间t?101103?，v??303. 13033即，小艇以303海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小. （Ⅱ）同解法一
（Ⅲ）同解法一
22. 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推力论证能力、抽象概况能力、运算求
解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想.满分14分. 解法一：
因此ymin?3?m.
?ymin?0,?3?m?0，即m?3.
又m?0，故0?m?3. 综上，m的最大值为3. （ⅱ）由（ⅰ）得g(x)?证明如下：
1331x?x2?3x?2?，其图像关于点Q(1,)成中心对称。 3x?13
13， ?g(x)?x3?x2?3x?2?3x?113?g(2?x)?(2?x)3?(2?x)2?3(2?x)?2?
32?x?113832 ??x?x?3x??，
331?x2因此，g(x)?g(2?x)?.
3上式表明，若点A(x,y)为函数g(x)在图像上的任意一点，则点B(2?x,2?y)也一定在函3数g(x)的图像上.而线段AB中点恒为点Q(1,)，由此即知函数g(x)的图像关于点Q成中心对称.
这也就表明，存在点Q(1,)，使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 解法二：
1313
即不等式t?2?2m?0在[1,??)上恒成立. t所以m?t?2t在[1,??)上恒成立.
令y?t?2t，t?[1,??)，可得ymin?3，故m?3，即m的最大值为3．
（ⅱ）由（ⅰ）得g(x)?2133x?x2?3x?2?， 3x?11个长度单位，所得图像相应的函3将函数g(x)的图像向左平移1个长度单位，再向下平移
数解析式为?(x)?133x?2x?，x?(??,0)?(0,??). 3x由于?(?x)???(x)，所以?(x)为奇函数，故?(x)的图像关于坐标原点成中心对称. 由此即得，函数g(x)的图像关于点Q(1,)成中心对称.
这也表明，存在点Q(1,)，是得过点Q的直线若能与函数g(x)的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等.
1313
数解析式为?(x)?133x?2x?，x?(??,0)?(0,??). 3x由于?(?x)???(x)，所以?(x)为奇函数，故?(x)的图像关于坐标原点成中心对称. 由此即得，函数g(x)的图像关于点Q(1,)成中心对称.
这也表明，存在点Q(1,)，是得过点Q的直线若能与函数g(x)的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等.
1313