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广东省河源市龙川一中2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A?B，则a的值为（） A． ﹣2 B． ﹣1 C． 0 D． 1
2．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）
x3 4 5 6 7 8
y4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 A． a＞0，b＞0 B． a＞0，b＜0 C． a＜0，b＞0 D． a＜0，b＜0 3．（5分）两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（） A． 两条相交直线 B． 两条平行直线 C． 两个点 D． 一条直线和直线外一点 4．（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=18﹣a6，则S8=（） A． 18 B． 36 C． 54 D． 72 5．（5分）下列说法正确的是（）
22
A． 命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x=1，则x≠1”
22
B． 命题“?x≥0，x+x﹣1＜0”的否定是“?x0＜0，x0+x0﹣1≥0” C． 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D． 若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
6．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）
A．
B． 5
C． 6
D．
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7．（5分）已知两个双曲线=1和=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等
分，则双曲线=1的离心率（）
A． 2或
B． 或 C． 2或 D． 或
8．（5分）已知抛物线y=2px的焦点F与双曲线
2
的右焦点重合，抛物线的准线与x
轴的交点为K，点A在抛物线上且，则△AFK的面积为（） A． 4 B． 8 C． 16 D． 32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分 9．（5分）函数f（x）=
的定义域为．
2
10．（5分）以抛物线y=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是．
2
11．（5分）若a∈[0，3]，则函数f（x）=x﹣2ax+a有零点的概率为．
12．（5分）若f（x）=x+
（x＞2）在x=n处取得最小值m，则m=，n=．
13．（5分）已知点A（1，﹣2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为．
14．（5分）若双曲线
﹣
=1的左焦点在抛物线y=2px的准线上，则p的值为．
2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=
．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长． 16．（12分）华罗庚中学2014-2015学年高二排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，
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篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．
（1）请根据两队身高数据记录的茎叶图，指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）以及排球队的身高数据的中位数与众数；
（2）现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？
2
18．（14分）已知拋物线C：x=2py（p＞0）的焦点F在直线x﹣y+1=0上． （1）求拋物线C的方程；
（2）设直线l经过点A（﹣1，﹣2），且与拋物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 19．（14分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，S7=28． （1）求数列的通项{an}； （2）求数列
的前n项和Tn；
an
*
（3）若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+q（q＞0，n∈N），求数列{bn}的通项公式，并比较bn?bn+2
2
与bn+1的大小．
20．（14分）已知椭圆
=1（a＞b＞0）经过点（
，﹣
），且椭圆的离心率e=．
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（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．
广东省河源市龙川一中2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A?B，则a的值为（） A． ﹣2 B． ﹣1 C． 0 D． 1
考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 集合．
分析： 本题的关键是集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A?B，根据集合元素的互异性与唯一性，求出a的值
解答： 解：∵A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A?B ∴a+2=1 ∴a=﹣1 故选：B
点评： 题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
2．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）
x3 4 5 6 7 8
y4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 A． a＞0，b＞0 B． a＞0，b＜0 C． a＜0，b＞0 D． a＜0，b＜0
考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计．
分析： 通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．
解答： 解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0． 故选：B．
点评： 本题考查回归方程的应用，基本知识的考查． 3．（5分）两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（） A． 两条相交直线 B． 两条平行直线 C． 两个点 D． 一条直线和直线外一点
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考点： 平行投影及平行投影作图法． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面，则两条直线是平行直线，可得答案．
解答： 解：当两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面， ∴两条直线平行，
∴两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是两个点． 故选：C．
点评： 本题考查了异面直线的定义及直线在平面内的射影，考查了学生的空间想象能力，图形演示是解答此类的常用方法． 4．（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=18﹣a6，则S8=（） A． 18 B． 36 C． 54 D． 72
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 利用等差数列的性质可得18=a1+a8，代入等差数列前8项和公式 求出S8的值． 解答： 解：∵a3=18﹣a6 ，∴a3+a6=18=a1+a8，∴S8 =
=
=72，
故选D．
点评： 本题考查等差数列的性质得应用，以及等差数列前n 项和公式，求出18=a1+a8，是解题的关键． 5．（5分）下列说法正确的是（）
22
A． 命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x=1，则x≠1”
22
B． 命题“?x≥0，x+x﹣1＜0”的否定是“?x0＜0，x0+x0﹣1≥0” C． 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D． 若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
考点： 复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定． 专题： 简易逻辑．
分析： 通过复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，逐项进行判断．
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解答： 解：对于A：否命题为“若x≠1，则x≠1”，故A错误；
2
对于B：否定是“?x0≥0，x0+x0﹣1≥0”，故B错误；
对于C：逆否命题为：若“sin x≠sin y，则x≠y”，是真命题，故C错误； A，B，C，都错误，故D正确， 故选：D．
点评： 本题考查了复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，是一道基础题．
6．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）
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