万源教育 刘 辉
2017—2018学年度第一学期高三期末自主练习
理 科 数 学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书出的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 ，，2，4?，N=xx2?2x?3?0，则M??CRN?? 1.已知全集为R，集合M=??11A. ??11，，2? B. ?1，2? C. ?4? D. x?1?x?2 ????2.已知0?b?a?1，则下列不等式成立的是 11A. ? ab?1??1?B. ????? ?2??2?abC. ?lga???lgb? D. 2211? lgalgb?ex?1,x?0,?则f?f?0??? 3.已知函数f?x???????sin?2?x?,x?0,???A.0 B.1 C.e D. 1 e4.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且3S2?2S3?15，则数列?an?的公差为 A.3 B. ?4 C. ?5 D.6 5.若将函数f?x??sin?2x?原点对称，则?的最小值是 A.
?????的图象向左平移????0?个单位长度，所得图象关于4?3? 83? 4? 8 B.
? 4 C. D.
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2”发生的概率为 26.在区间?0,??上随机取一个数x，则事件“sinx?cosx?A.
1 2 B.
1 3 C.
7 12 D.
2 37.函数y?x2?cosx的图象大致为
????????????????8.在?ABC中，已知AB?AC?AB?AC,AB?1,AC?3,M,N分别为BC的三等 ?????????分点，则AM?AN? 10 98C. 9A. 20 98D. 3B. 9.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于 A.12 B.18 C.20 D.24 x2y210.已知F1??c,0?,F2?c,0?为双曲线2?2?1?a?0,b?0?的两个焦点，若双曲线ab?????????c2上存在点P使得PF1?PF2??，则双曲线离心率的取值范围为 2A. ?1,??? B. ?2,??? C. ?2,?? ?? D. ?3,?? ???11.数列?an?,?bn?的前n项和分别为Sn,Tn,记cn?an?Tn?bn?Sn?an?bnn?N，
??若S2018?1,T2018?2018，则数列?cn?的前2018项和为 A.2017
B.2018
C.
2018
D.
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12.定义在区间?a,b?上的函数y?f?x?，f??x?是函数f?x?的导函数，若存在
???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?，则称?为函数f?x?在?a,b?上的“中
值点”.下列函数：①f?x??sinx②f?x??ex③f?x??ln?x?3?④f?x??x3?x?1.其中在区间??2,2?上至少有两个“中值点”的函数的个数为 A.1 B.2 5 C.3 D.4 二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分. 13. ?x?y??2x?y?的展开式中x3y3的系数是（用数字作答） ?2x?y?0?y?x,则z?2x?y的最小值为 14.设变量x,y满足约束条件??x?y?3?15.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.若三棱锥P?ABC为鳖臑，且PA?平面ABC，PA=2，AB=3，AB?BC，该鳖臑的外接球的表面积为29?，则该鳖臑的体积为 16.过抛物线y?2px?p?0?的焦点F的一条直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?两2点，给出以下结论：①y1?y2为定值； ②若经过点A和抛物线的顶点的直线交准线于点C，则BC//x轴； ③存在这样的抛物线和直线AB，使得OA?OB（O为坐标原点）； ④若以点A,B为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 写出所有正确的结论的序号 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17.（12分）已知函数f?x????????1?3. 3cos2??x??sin2??x??2?2??4?（1）求函数f?x?在区间?0,
???
上的最大值及相应x的值； ??2?
1BC，求的值. 2AB（2）在?ABC中，若A?B,且f?A??f?B??3
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18. （12分）某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，3，?，8，其中X?5为标准A，X?3为标准B.已知甲车间执行标准A，乙执行标准B生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲车间的等级系数X1的概率分布列如下表：若X1的数学期望E?X1??6.4，求a,b的值；
（2）为了分析乙车间的等级系数X2，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7. 用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数X2的概率分布列和均值； （3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A的概率.
19. （12分）已知四棱锥S?ABCD，SA?平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，M是SB的中点. AB//DC,?DAB?90?,AB?2DC,AD?3DC，（1）求证：CM//平面SAD； （2）若直线DM与平面SAB所成角的正切值为求二面角C?AF?D的余弦值. 3，F是SC中点，2x2y220. （12分）已知点A,B是椭圆L：2?2?1?a?b?0?的左右顶点，点C是椭圆的ab上顶点，若该椭圆的焦距为23，直线AC,BC的斜率之积为?（1）求椭圆L的方程； （2）是否存在过点M?1,0?的直线l与椭圆L交于两点P,Q，使得以PQ为直径的圆经过点C？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
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1. 4
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a?x?1?a?a?R?. x21. （12分）已知函数f?x??lnx?（1）求函数f?x?的单调区间； （2）若存在x?1，使f?x??x?1?x成立，求整数a的最小值. x
（二）选考题：共10分.在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4—4，坐标系与参数的方程]（10分）已知曲线C的参数方程为??x?1?5cos?（?为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极???y?2?5sin?坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程，并说明其轨迹； （2）若曲线C1的极坐标方程为sin??cos??段AB的长度. 23. [选修4—5，不等式选讲]（10分）已知函数f?x??2x?1,g?x??a?1?2x?3. （1）当a??5时，求f?x??g?x?的解集； （2）若存在实数x使得f?x??g?x?成立，求实数a的取值范围. 3?，曲线C与C1相交于A,B两点，求线5 万源教育 刘 辉
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理科数学参考答案
一、 选择题
C D B C C C A B D C B B 二、 填空题
13.?120 14.4 15.4 16.①②④ 三、 解答题 ???1?cos??2x?1?cos(??2x)?2??1?3 ?17. 解：（1）f?x??3?22213????sin2x?cos2x?sin?2x??. ???????????4分 223??由于0?x??2，??3?2x??3?2???5?时， ，所以当2x??即x?33212f?x?取得最大值，最大值为1. ?????????6分 （2）由已知，A、B是?ABC的内角，A?B,且f?A??f?B??可解得A?1， 2?4，B?7?. 12所以C???A?B?得?6, ????????10分 BCsinA??2 . ?????????12分 ABsinC18. 解：（1）E(X1)?5?0.2?6a?7b?8?0.1?6.4 即6a?7b?4.6① 又0.2?a?b?0.1?1，即a?b?0.7② ?6a?7b?4.6?a?0.3 联立①②得 ?，解得? . ?????????4分 a?b?0.7b?0.4??（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数X2的分布列如下：
X2 P 6
3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 8
??????????6分
0.1 0.1 万源教育 刘 辉
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E(X2)?3?0.3?4?0.2?5?0.2?6?0.1?7?0.1?8?0.1?4.8，
即乙车间的等级系数的均值为4.8. ?????????8分
332（3）P?C5?()?()?12125. ??????????12分 16（4）19. （1）证明：取SA中点N,连接MN,DN， 在?SAB中，MN//AB,MN?1AB,?NM//DC,NM?DC, 2zS?四边形CDNM为平行四边形. ??????2分 ?CM//DN 又?CM?平面SAD,DN?平面SAD ?CM//平面SAD . ????4分 （2）由已知得：AB,AD,AS两两垂直，以AB,AD,AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ADFMyCBx?AD?SA,AD?AB,SA?AB?A,?AD?平面SAB， ??DMA就是DM与平面SAB所成的角. ????????5分 在RtDAMD中，tan?AMD?3AD3，即， ?2AM2设AB?2，则AD?3， DC?1 ?AM?2 Rt?SAB中，M为斜边SB中点，?SB?4 ?AS?42?22?23. ????????6分 则A(0,0,0),B(2,0,0)，C(1,3,0),D(0,3,0)，S(0,0,23)，F(,13,3) 22????13????????,3). ??????8分 所以AD?(0,3,0),AC?(1,3,0)，AF?(,22设m?(x1,y1,z1)是平面ACF的一个法向量，则
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?????x1?3y1?0?m?AC?0????1，令y1?1，得m?(?3,1,0). ?????3y1?3z1?0??m?AF?0?x1??22 设n?(x2,y2,z2)是平面ADF的一个法向量，则
?????3y2?0?n?AD?0????1 ???? ，令z2?1 ?n??23,0,1 . ?3y2?3z2?0??n?AF?0?x2??22????????????10分
?cos?m,n??m?n6313. ??m?n1313?2313. ????????12分 13bb,kBC??， aa?二面角C?AF?E的余弦值为20. 解：（1）由题意可知，c?3，kAC?b21有 ?2??， ???????2分 a422222即a?4b，又a?b?c， x222?y2?1. ??????4分 解得a?4,b?1，所以椭圆C的方程为4（2）存在； 以PQ为直径的圆经过点C可得，CP?CQ，若直线l的斜率为0，则A,B为点(3)?(3)?45???0，此时CP,CQ不垂直，不3233?x2??y2?1满足题意，可设直线l的方程为：x?my?1，联立?4，消x可得，?x?my?1?222P,Q，此时cos?ACB?(m2?4)y2?2my?3?0，
?2m?y?y?2??1m2?4则有? . ① ???????8分
?3?yy??12m2?4?设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由题意可知x1x2?0，因为CP?CQ，
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则kCPkCQ??1，即
y1?1y2?1???1， x1x2整理可得：(1?m2)y1y2?(m?1)(y1?y2)?2?0， ②
?3(1?m2)2m(m?1)??2?0， 将①代入②可得：
m2?4m2?452整理得3m?2m?5?0，解得m??1或者m?， 3所以直线l的方程为：x?y?1?0或3x?5y?3?0. ??????????12分 1a?x2?x?a21. 解：（1）由题意可知，x?0，f?(x)??2?1?， 2xxx2方程?x?x?a?0对应的??1?4a， 1当??1?4a?0，即a?时，当x?(0,??)时，f?(x)?0， 4∴f(x)在(0,??)上单调递减； ????????2分 1?1?4a12时，方程?x?x?a?0的两根为， 421?1?4a1?1?4a且0?， ?221?1?4a1+1?4a此时，f(x)在上f?(x)?0，函数f(x)单调递增，在（，）221?1?4a1?1?4a（0，），(,??)上f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 22当0?a????????4分
1?1?4a1?1?4a?0，?0， 221?1?4a),f?(x)?0，f(x)单调递增， 此时当x?(0,21?1?4a,??)时，f?(x)?0，f(x)单调递减； ???????6分 当x?(21?1?4a1?1?4a)，f(x)单调递增，当x?(,??)综上：当a?0时，x?(0,22时， f(x)单调递减；
当a?0时，当0?a?1?1?4a1+1?4a1（，）时，f(x)在上单调递增，
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在（0，当a?1?1?4a1?1?4a），(,??)上单调递减； 221时，f(x)在(0,??)上单调递减； ?????????7分 4（2）原式等价于(x?1)a?xlnx?2x?1，
xlnx?2x?1即存在x?1，使a?成立．
x?1xlnx?2x?1设g(x)?，x?1， x?1x?lnx?2则g'(x)?， ???????9分 (x?1)2设h(x)?x?lnx?2， 1x?1?0，∴h(x)在(1,??)上单调递增． 则h?(x)?1??xx又h(3)?3?ln3?2?1?ln3?0,h(4)?4?ln4?2?2?2ln2?0，根据零点存在性定理，可知h(x)在(1,??)上有唯一零点，设该零点为x0， 则x0?(3,4)，且h(x0)?x0?lnx0?2?0，即x0?2?lnx0， xlnx0?2x0?1?x0?1 ?????????11分 ∴g(x)min?0x0?1由题意可知a?x0?1，又x0?(3,4)，a?Z，∴a的最小值为5. ????12分
22. 解：（1）曲线C的普通方程为(x?1)2?(y?2)2?5 ① 所以曲线C是以(1,2)为圆?x??cos?心，5 为半径的圆。将?代入①式并化简得??2cos??4sin? 所以曲y??sin??线C的极坐标方程为 ??2cos??4sin?. ???????6分 （2）由题意得，曲线C1的直角坐标方程为x?y?3?0.所以圆心C到直线C1的距离为d?2?2 所以|AB|?25?2?23. ???????10分 223. 解：（1）当a??5时，原不等式可化为|2x?1|?|2x?3|?6,等价于
3133??????x???x?x?? 或? 或? ?2222????(2x?1)?(2x?3)?6?(2x?1)?(2x?3)?6??(2x?1)?(2x?3)?610
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3131?x?2或??x?或?1?x?? 2222 解得
所以原不等式的解集为?x|?1?x?2?. ??????????6分
|2x?1|?|2x?3|?|(2x?1)?(2x?3)|?4 （2）|2x?1|?|2x?3|?|a?1|成立 ??|a?1|?4 ? a??3或a?5,
所以实数a的取值范围是：
(??,?3)?(5,??) . ?????????10分
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3131?x?2或??x?或?1?x?? 2222 解得
所以原不等式的解集为?x|?1?x?2?. ??????????6分
|2x?1|?|2x?3|?|(2x?1)?(2x?3)|?4 （2）|2x?1|?|2x?3|?|a?1|成立 ??|a?1|?4 ? a??3或a?5,
所以实数a的取值范围是：
(??,?3)?(5,??) . ?????????10分
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