难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
◆类型一 抛物线与三角形的综合 一、求最值
1．如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题
2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错4】
3．★如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
三、与面积相关的问题
4．如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为( )
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A．1 B. C. D.
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5．★如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2 ◆类型二 抛物线与特殊四边形的综合 6．抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是( ) A．(－6，0) B．(6，0) C．(－9，0) D．(9，0) 7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________． 8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)上，则a的值为________． 9．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点． (1)建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O，P，A三点坐标； ②求抛物线l的解析式； (2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值． 参考答案与解析 1－b＋c＝0，????b＝4， 1．解：(1)由题意得?b解得?∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. ?c＝3.???2＝2，(2)存在．∵点A与点C关于直线x＝2对称，∴连接BC与直线x＝2交于点P，则点P 即为所求．根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3，0)．∵y＝x2－4x＋3，∴点B的坐标 ???3m＋n＝0，?m＝－1， 为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则?解得?∴直线BC的解 ??n＝3，n＝3.?? 析式为y＝－x＋3，∴直线BC与直线x＝2的交点坐标为(2，1)，即点P的坐标为(2，1)． a－b＋c＝0，?? 2．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得?9a＋3b＋c＝0， ??c＝－3，a＝1，?? 解得?b＝－2，∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－3. ??c＝－3. (2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时点P的横坐标为－ b ＝1，故点P的坐标为(1，0)． 2a (3)点M的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)． 解析：抛物线的对称轴为b 直线x＝－＝1.设点M的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，－3)，则 2a MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝12＋32＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±6；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)． 3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2 ?y＝－x2＋2x，?x＝2，??x＝－1，????＋2x.联立抛物线和直线解析式可得解得或?∴点B的坐标为????y＝x－2，?y＝0?y＝－3， (2，0)，点C的坐标为(－1，－3)． (2)证明：分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于点D，E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，CE＝3，∴BE＝CE，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝90°，∴△ABC是直角三角形． (3)解：假设存在满足条件的点N，设点N的坐标为(x，0)，则点M的坐标为(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|.由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝2，BCMNON ＝32.∵MN⊥x轴，∴∠MNO＝∠ABC＝90°，∴当△ABC和△MNO相似时，有＝或ABBC|－x2＋2x||x|MNONMNON1 ＝.①当＝时，则有＝，即|x||－x＋2|＝|x|.∵当x＝0时，M，O，BCABABBC3232 1157 N不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝，即－x＋2＝±，解得x＝或x＝，此时点N 33335??7?|－x＋2x||x|MNON ，0或，0；②当的坐标为?＝时，则有＝，即|x||－x＋2|＝3|x|，∴|?3??3?BCAB322－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1，此时点N的坐标为(－1，0)或(5，0)．综5??7? 上所述，存在满足条件的N点，其坐标为??3，0?或?3，0?或(－1，0)或(5，0)． 2 4．D 解析：∵y＝－x2＋4x－k＝－(x－2)2＋4－k，∴顶点D的坐标为(2，4－k)，点C111 的坐标为(0，－k)，∴OC＝k.∵△ABC的面积为AB·OC＝AB·k，△ABD的面积为AB·(4 22214 －k)，△ABC与△ABD的面积比为1∶4，∴k＝(4－k)，解得k＝.故选D. 45 ???a＝－2，?4a＋2b＝4，2 ?5．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax＋bx，得解得? ?36a＋6b＝0，?? ?b＝3. 1 (2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x1111 轴，垂足分别为E，F.则S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4.S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x 2222111 －x2＋3x?＝－x2＋6x.则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－－4，S△BCD＝BD·CF＝×4×??2?224－x2＋6x＝－x2＋8x.∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2 －4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16. 6．D 解析：令x＝0，得y＝－9，∴点B的坐标为(0，－9)．∵y＝－x2＋6x－9＝－(x－3)2，∴点A的坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝3.∵点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥x轴，∴点C的坐标为(6，－9)，∴BC＝6，∴AD＝6，∴点D的坐标为(9，0)．故选D. 5120 7．y＝－x2－x＋ 解析：依题意得A点的坐标为(－4，2)，B点的坐标为(－2， 122316a－4b＋c＝2，?? 6)，C点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，则?4a－2b＋c＝6，解 ??4a＋2b＋c＝4， ??1 5120 得?b＝－2，∴抛物线的函数关系式为y＝－x－x＋. 1223 20?c＝?3. 2 5a＝－，12 8．－ 2 解析：连接OB.∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴∠BOC＝45°，OB3 62?2?（2）－＝，∴点B的 ?2?2 2 ＝1×2＝2.过点B作BD⊥x轴于点D.∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD＝45°12－15°＝30°，∴BD＝OB＝，∴OD＝OB2－BD2＝22 2262?6?2??2 坐标为.∵点B在抛物线y＝ax(a＜0)上，∴a＝－，解得a＝－. ，－232??2?2?9．解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示． ①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)． ②设抛物线l的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由抛物线l经过O，P，A三点，得 1 0＝c，a＝－，?2?1 ?0＝16a＋4b＋c，解得b＝2，∴抛物线l的解析式为y＝－2x2＋2x. ??2＝4a＋2b＋c， c＝0. ????? 1 m，－m2＋2m?(0＜m(2)∵点E是正方形内的抛物线l上的动点，∴设点E的坐标为?2??11111 －m2＋2m?＋×4m＝－m2＋4m＋2m＝＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝OA·yE＋OC·xE＝×4×??2?2222－(m－3)2＋9，∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.