上海市普陀区2011届上学期高三年级期末调研考试数学试卷（理科）
一、填空题（本大题满分56分） 1. 设平面向量2. 已知函数
，则3. 已知集合4. 若数列
对任意的
，
,
.
，都有
，则，且
. ，则
= .
，则
. ,若
的反函数
的图像经过点
5. 若直线的一个法向量为6. 已知
，其中
，则直线的倾斜角为 .
.
是第四象限角，则
7. 已知一个球的半径为离为
，则
，一个平面截该球所得小圆的半径为，该小圆圆心到球心的距
关于的函数解析式为 .
的一个焦点，
8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆
则此抛物线的焦点到其准线的距离为 .
9. 若函数，则 .
10. 某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数
之后，输出的变量
表示的
实际意义是 ；若一次采购85台该电子产品，则元. 11. 方程为为 .
的曲线上任意两点之间距离的最大值
12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即
. （填入推导的步骤）
13. 已知函数
范围是 .
在区间
上存在零点，则实数的取值
14. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）
① 能构成每个面都是等边三角形的四面体； ② 能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体； ④ 能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.
二、选择题（本大题满分20分） 15. “
”是“
”的 （ ）
A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 16. 设
为非零实数，则关于函数
，
的以下性质中，错误的是．．
（ ）
A. 函数C. 区间
一定是个偶函数； B. 函数一定是
的单调递增区间； D. 函数
一定没有最大值； 不可能有三个零点.
17. 双曲线上到定点的距离是6的点的个数是 （ ）
A. 0个； B. 2个； C. 3个； D. 4个.
18. 若对于任意角，都有，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
三、解答题（本大题满分74分） 19. （本题满分10分）
已知数列（，），试判定：依据、的不同取值，
集合
含有三个元素，并用列举法表示集合.
20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅
度，比普通冰箱约节省电能
，达到
国家一级标准.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳.
千克二氧化碳，而一棵大
（1）一台节能型冰箱在一个月（按排放多少千克的二氧化碳（精确到
天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层千克）？
（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？
21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）
已知
的三个内角A、B、C的对边分别为、
、.
（1）若当时，取到最大值，求的值；
（2）设大值.
的对边长，当取到最大值时，求面积的最
22.（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为（上移动.设
与侧面
所成的角为
.
），动点
在侧棱
（1）当时，求点到平面的距离的取值范围；
（2）当.
时，求向量与夹角的大小.
23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分.）
平面直角坐标系
上的
（1）若数列（2）若点（3）若点
个点（
中，已知
，
、
均为非零常数）.
，?，是直线
成等差数列，求证：数列是直线上一点，且满足
也成等差数列；
，求，我们称
的值； 是向量
，
，?，
的线性组合,当
是向量
是该线性组合的系数数列. ，
，?，
的线性组合时，请参考以下线索：
会落在直线上？
① 系数数列② 若点
需满足怎样的条件，点
落在直线上，系数数列会满足怎样的结论？ 满足的条件，确定在直线上的点
的个数或坐
③ 能否根据你给出的系数数列标？
试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】
高三调研数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题（每小题4分，满分56分）：
1. 6.
； 2. 4； 3.
（或
）； 7.
； 4. （文，理）40； 5.
，
；
；
8. 4； 9.理：；文：； 10.表示一次采购共需花费的金额; ；
11. 13. 理：
； 12.
；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③.
；
二、选择题（每题4分，满分16分）： 题号
15
16 C
17 B
18 D
，故
?3
；
?6 ?9
（3）当
或
时，有
.
?10
答案 B 三、解答题：
19.（本题满分10分）
（理科）解：由结论：“当时，”且根据本题条件本题需根据变量和常数1的大小比较进行分类讨论：
（1）当时，；
（2）当时，
故集合含有以上三个元素，用列举法表示集合. （文科）解：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF. 联结AF，PF，EF，
DF. 因为ABCD是正方形，所以AD//BF，且AD=BF，所以AF//BD. 故为异面直线
与
（或其补角）的大小即所成角的大小.
，.
.
?3 ?7
又正方形边长为2，PD=1，故
，
所以，
于是，
，
?9
?10 所以异面直线与所成角的大小为.
20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分） 解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能，故一台节能型冰箱一天（
小时）消耗的
度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个
月中比普通冰箱要少消耗电：（度）；
设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放千克的二氧化碳，则
（千克）.
故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约
千克的二氧化碳.
（2）设个月后()，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有
，因为，故可解得.
所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大
树在年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.
21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分） 解：（1）因为
故当
时，原式取到最大值，即三角形的内角
时，最大值为
. （2）由（1）结论可得，此时
.
又
，因此
，当且仅当
时等号成立.
所以.故面积的最大为
.
?3 ?6
?10
?14
?2 ?5
?7
?9
?12 ?14
22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）
（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有
于是，可知即为AM与侧面BCC1所成角.
因为，点
到平面
的距离为
，不妨设
，
.
在Rt△ADM中，.
由,,故.
而当时，，
即
，
所以，点到平面的距离的取值范围是
.
（2）解法一：当时，由（1）可知,
故可得,.
设向量与
的夹角为
，因为
.
?3
?6
?9
?11
?13
?15
所以，
故向量
与
夹角的大小为
. 解法二：如图，以中点O为原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为轴，
所在直线为
轴（其中点为
中点），建立空间直角坐标系.
由（1）可知，当
时，
.
所以有，
，
，
,
，即
，
.
设向量
与
夹角为
，则
故向量
与
夹角的大小为. 解法三：如图，过点作
//
，交
于.
联结
.因为是正三棱柱，故可得
. 当时，由（1）可知
,
故可得
.
在等腰三角形
中，不难求得
，即异面直线
与所成角为， 而图中不难发现，
与
夹角的大小为异面直线
与
所成角的补
角，即与夹角的大小为.
?16
?10
?13
?16
?11
?14
?16
（文科）解:（1） 即于是得
对
对
为偶函数，
恒成立，又
.
，
对恒成立，
?3
恒成立，
（2） 由（1）得 可知，当
时，单调递增区间为
，单调递减区间为
；
?6
当时，单调递增区间为和，
（3）解法一：由偶函数的性质得：函数在区间上也必定有零点，即方程
?9
在区间上有实数解，则，
设，可知函数在区间上单调递增，
?12
则
，
解法二：若函数
在区间
.
上存在零点，则必有
?14
?16
?13
?16
23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分） 解：（1）证：设等差数列
因为所以（2）证：因为点
于是，
为定值，即数列、
和
也成等差数列.
(
)
的公差为
,
，
?4 ?6 ?9
单调递减区间为和.
即.
都是直线上一点，故有
令
，
，则有
.
（3）（文科）假设存在点
满足要求
,
则有，
又当
时，恒有
，则又有
，
所以
又因为数列成等差数列，
于是，
所以，
故
，同理
，且点
在直线上（是
、的中点），即存在点满足要求.
（3）（理科）
提出命题：（在本题大前提下）若点满足
，则
系数数列的和是点
在直线上的充要条件.
证明：设
，由条件
，
先证充分性：“当
时，点在直线上”.
因为
， 故 而
（
），所以
当
时，即有，即点
在直线上. 再证必要性：“若点
在直线上，则
.”
因为
，
故
而因为
（
），所以
?10 ?12
?15 ?18
?20
又因为点
在直线上，所以满足
，故
上任一点
.
. ，若满足
补充：由以上证明进一步可知，对于直线
，则都有
【评分建议】
1. 若能提出一个由题中三条线索出发的相关猜想或命题，但没有任何研究过程，则无论对错都给2分；
2. 若能提出上述的充要条件命题，且证明过程准确、完备，则最高得10分；（不说明“补充”的内容不扣分）
3. 若能提出一个满足充分性或满足必要性的相关命题（或猜想），且证明过程正确，则最高得7分；
4. 若能根据三条线索，提出其他条件约束更多的相关命题（或猜想），且有正确的研究过程，则最高得5分.
5. 若还有其他答题情况，则根据具体内容酌情给出评分参考.