二○○九年山东省青岛市初级中学学业水平考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟；满分：120分）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．
2．本试题共有24道题．其中1－8题为选择题．请将所选答案的标号填写在第8题后面给出表格的相应位置上；9－14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15－24题请在试题给出的本题位置上做答．
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1－8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上．
1．下列四个数中，其相反数是正整数的是（ ） A．3
B．
1 3
C．?2
D．?1 22．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A． B． Ｃ． D．
第2题图
3．在等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）
111 C． D． 3465．如图所示，数轴上点P所表示的可能是（ ）
A．
B．
A．6
B．10
C．15
D．31 1 2
P O ?1 0 1 2 3 4
第5题图
第6题图
6．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米
7．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（ ） A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω
C．不小于14Ω D．不大于14Ω y I/A A 6 x R/Ω O O 8
第8题图 第7题图
8．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ） A．(303?50，30) B．(30，303?50) C．(303，30) D．(30，303)
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
请将9－14各小题的答案填写在第14小题后面给出表格的相应位置上
9．我国首个火星探测器“萤火一号”已通过研制阶段的考核和验证，并将于今年下半年发射升空，预计历经约10个月，行程约380 000 000公里抵达火星轨道并定位．将380 000 000公里用科学记数法可表示为 公里．
10．在第29届奥林匹克运动会上，青岛姑娘张娟娟为中国代表团夺得了历史上首枚奥运会射箭金牌，为祖国争得了荣誉．下表记录了她在备战奥运会期间的一次训练成绩（单位：环）： 序号 成绩 1 9 2 9 3 10 4 9 5 8 6 10 7 10 8 9 9 8 10 7 11 10 12 9 根据表中的数据可得：张娟娟这次训练成绩的中位数是 环，众数是 环． 11．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，?ACD?42°，则?BAD? °．
12．某公司2006年的产值为500万元，2008年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为 ．
13．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．
C D D B ?D E
6cm A A B C? B O
1cm C A B? 3cm 第11题图 第13题图 第14题图
14．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm． 三、作图题（本题满分4分）
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（△ABC）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛． 解：
A
B C
结论：
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（本小题满分8分，每题4分）
?3x?2?x?2，x?1x2?1??2 （2）解不等式组：?1（1）化简：3 xxx?1≤7?x.??22
17．（本小题满分6分）
某中学为了解该校学生的课余活动情况，采用抽样调查的方式，从运动、娱乐、阅读和其他四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好情况，并根据调查结果制作了如下两幅统计图．
人数/人
50 其他 40 40 阅读 30 25 运动
20 15 娱乐 10 40% 0 运动 娱乐 阅读 其他 项目
人数统计图 分布统计图
根据图中提供的信息解答下列问题： （1）补全人数统计图；
（2）若该校共有1500名学生，请你估计该校在课余时间喜欢阅读的人数；
（3）结合上述信息，谈谈你对该校学生课余活动的意见和建议（字数不超过30字）． 18．（本小题满分6分）
在“六·一”儿童节来临之际，某妇女儿童用品商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满100元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得80元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可直接获得15元的购物券． 转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．
黄 红
绿 绿 绿 黄 绿 黄 绿 19．（本小题满分6分）
在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角?CFE?21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角?CGE?37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度． （参考数据：sin37°≈3393，tan37°≈，sin21°≈，tan21°≈） 54258C
G E F A B D
第19题图
20．（本小题满分8分）
北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少
利润元？（利润率??100%）
成本 21．（本小题满分8分）
已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE?DG；
（2）若?B?60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
G A D
B C E F
第21题图
22．（本小题满分10分）
某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y??千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定b、c的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；
（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
y2（元）
1 y2?x2?bx?c8
25
24 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x（月）
第22题图 23．（本小题满分10分）
我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．
譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题． 问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？ 为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．
基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．
基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形． 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥
问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形． （1）把一个正方形分割成9个小正方形．
一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4?5?9（个）小正方形．
3x?36，而其每8
另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6?3?9（个）小正方形． （2）把一个正方形分割成10个小正方形．
方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3?2个小正方形，从而分割成4?3?2?10（个）小正方形．
（3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
（4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形． 方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形． （1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a 中画出草图）． （2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b 中画出草图）．
（3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
图a 图b 图c 图d 图e
（4）请你写出把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）． 24．（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?6cm，CD?4cm，BC?BD?10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0?t?5）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PE∥AB？
（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
2S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 25（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ?
E Q P B F
第24题图
C D A
二○○九年山东省青岛市初级中学学业水平考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．
2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分．但不得超过后面部分应给分数的一半，如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．
4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 题号 答案 题号 答案 题号 1 C 2 D 9 3 B 4 C 10 9 13 9 14 5 B 6 D 7 A 11 48 8 A 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 3.8?108 12 答案 20% 2?1 10 29?16n2（或36?64n2）三、作图题（本题满分4分）
15．正确画出两条角平分线，确定圆心； ············································································ 2分
确定半径； ······················································································································ 3分 正确画出图并写出结论．································································································ 4分 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（本小题满分8分）
x?1x2（1）解：原式?
x(x?1)(x?1) ?x． ········································································································ 4分 x?1①?3x?2?x?2?（2）?1 3x?1≤7?x②??22解：解不等式①得 x?2， 解不等式②得 x≤4．
所以原不等式组的解集为2?x≤4． ·········································································· 4分 17．（本小题满分6分） 解：（1）正确补全统计图； ··································································································· 2分 （2）300人． ························································································································· 4分 （3）合理即可． ···················································································································· 6分 18．（本小题满分6分）
135?50??20??16.5（元）， ·································································· 4分 202020∵16.5元?5元
解：80?∴选择转转盘对顾客更合算．································································································ 6分 19．（本小题满分6分）
解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD，
C
∴?CEF?90°，设CE?x， 在Rt△CEF中，
tan?CFE?CECEx8??x； ，则EF?EFtan?CFEtan21°3F A
G E D
在Rt△CEG中，
CEtan?CGE?，
GECEx4??x； ·则GE?····················· 4分
tan?CGEtan37°3∵EF?FG?EG， 84∴x?50?x． 33 x?37.5，
∴CD?CE?ED?37.5?1.5?39（米）．
B 第19题图
答：古塔的高度约是39米． ································································································· 6分
20．（本小题满分8分） 解：（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得：
6800032000??10， ········································································································· 3分 2xx解这个方程，得x?200．
经检验，x?200是所列方程的根． 2x?x?2?200?200?600．
所以商场两次共购进这种运动服600套． ············································································ 5分 （2）设每套运动服的售价为y元，由题意得：
600y?32000?68000≥20%，
32000?68000解这个不等式，得y≥200，
所以每套运动服的售价至少是200元． ················································································ 8分 21．（本小题满分8分） 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB?CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成． ∴CG⊥AD．
∴?AEB??CGD?90°． ∵AE?CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG． ∴BE?DG． ······················································································································· 4分
3AB时，四边形ABFC是菱形． 2∵AB∥GF，AG∥BF， ∴四边形ABFG是平行四边形．
G A ∵Rt△ABE中，?B?60°， D
∴?BAE?30°，
1∴BE?AB．
2B C 3E F
∵BE?CF，BC?AB，
第21题图 21∴EF?AB．
2∴AB?BF．
∴四边形ABFG是菱形．······································································································ 8分
（2）当BC?22．（本小题满分10分） 解：（1）由题意：
12?25??3?3b?c??8 ?1?24??42?4b?c?8?7?b??1??8解得? ························································································································ 4分
?c?291??2（2）y?y1?y2 ??3151?1?x?36??x2?x?29? 882?8?1231x?x?6； ································································································ 6分 8221231（3）y??x?x?6
8221211 ??(x?12x?36)?4?6
82212 ??(x?6)?1 181∵a???0，
8 ??∴抛物线开口向下．
在对称轴x?6左侧y随x的增大而增大．
由题意x?5，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． ···································· 9分 最大利润??(4?6)?11?101821（元）． ········································································ 10分 223．（本小满分10分）
解：把一个正方形分割成11个小正方形：
···················································································· 2分 图⑥
把一个正三角形分割成4个小正三角形：
···················································································· 3分 图a
把一个正三角形分割成6个小正三角形：
················································································ 5分 图b
把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形：
图c
图d
图e
······················································ 8分
把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合，把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正三角形，依次类推，即可把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形． ················································ 10分 24．（本小题满分12分） 解：（1）∵PE∥AB
DEDP?． DADB而DE?t，DP?10?t， t10?t∴?， 61015∴t?．
415(s)，PE∥AB． ∴当t?··························· 2分 4（2）∵EF平行且等于CD， ∴四边形CDEF是平行四边形．
∴
∴?DEQ??C，?DQE??BDC． ∵BC?BD?10，
∴?DEQ??C??DQE??BDC． ∴△DEQ∽△BCD．
A P B E Q N F
D M C DEEQ?． BCCDtEQ?． 1042∴EQ?t．
5过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．
∴
BM?102?22?100?4?96?46．
∵ED?DQ?BP?t， ∴PQ?10?2t． 又△PNQ∽△BMD，
PQPN?， BDBM10?2tPN?， 1046?t?PN?46?1??
?5?S△PEQ?11246246?t?··································· 6分 EQPN??t?46?1????t?t． ·
2255255??11CDBM??4?46?86． 22（3）S△BCD?若S△PEQ?则有?2S△BCD， 25462462t?t??86， 25525解得t1?1·············································································································· 9分 ，t2?4． ·（4）在△PDE和△FBP中，
??PD?BF?10?t，??△PDE≌△FBP ?PDE??FBP，??∴S五边形PFCDE?S△PDE?S四边形PFCD ?S△FBP?S四边形PFCD ?S△BCD?86．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变． ······························································· 12分
DE?BP?t，