学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网eduu.gaokao.com
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （理科） 2010.5
审核：陈亮 校对：张浩
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项.
1．已知集合A??xx?0?，B?{0,1,2}，则
A．A??B
B．B??A
C．A?B?B D．A?B??
2．函数f(x)?sin(2x?)图象的对称轴方程可以为
3A．x???12 B．x?5? 12C．x??3 D．x??6
3．如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，
连接DB，若?D?20?，则?DBE的大小为
A. 20? B. 40? C. 60? D. 70? 4．函数f(x)?x?2?lnx在定义域内零点的个数为
A．0 C．2
B．1 D．3
CODABE?0?x?2,?5．已知不等式组?x?y?2?0,所表示的平面区域的面积为4，则k的值为
?kx?y?2?0?A．1 B．?3 C．1或?3 D．0
6．已知m，n是不同的直线，?，?是不同的平面，则下列条件能 使n??成立的是
A．???，m?? B．?//?，m?? C．???，n//? D．m//?，n?m
开始 k=1 S=0 是 M
7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为 否 A．k?16 B．k?8 [来源:学科网] 输出S S=S+k C．k?16 D．k?8 k?2?k 结束
8．已知动圆C经过点F(0，1),并且与直线y??1相切，若直线3x?4y?20?0与圆C有公共点，则圆C的面积 A．有最大值为? B．有最小值为? C．有最大值为4? D．有最小值为4?
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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9．在极坐标系中，若点A(?0,)(?0?0)是曲线??2cos?上的一点，则?0? . 310．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙
两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如
右图）.s1，s2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，则s1 s2.（填“?”、“?”或“＝”）[来源:学|
科|网]
?b?2，则x? ；a?b? . 11．已知向量a=(1,0)，b=(x,1)，若a?12. 已知数列?an?满足a1?1，anan?1?2n（n?N*），则a9?a10的值为 . 13．在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若a?csinA，则为 .
14．给定集合An?{1,2,3,...,n}，映射f:An?An满足： ①当i,j?An,i?j时，f(i)?f(j)；
②任取m?An,若m?2，则有m?{f(1),f(2),..,f(m)}.
.则称映射f：An?An是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射f：A3?A3是一个“优映射”.
表1 表2[来源:学科网]
a?b的最大值ci f(i) 1 2 2 3 3 1 i f(i) 1 2[来源:Z.xx.k.Com] 3 3 4 （1）已知表2表示的映射f： A4?A4是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；[来源:Z&xx&k.Com]
（2）若映射f：A10?A10是“优映射”，且方程f(i)?i的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）
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记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2?a4?6,S4?10. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn?an?2n(n?N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．（本小题满分14分）
D其中已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA?底面ABC，
BC?2AB?2P?A6，M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示. （Ⅰ）求证：AN//平面MBD；
（Ⅱ）求异面直线AN与PD所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M?BD?C的余弦值.
PN
M
A
CB 17．（本小题满分13分）
为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率； （Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?(2ax?x2)eax，其中a为常数，且a?0. （Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值点；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间(2,2)上单调递减，求实数a的取值范围. 19．（本小题满分13分）
已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0), C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A,B两点.
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（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
?????1????（Ⅱ）若AM?MB，求直线l的方程；
2（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，
求椭圆C1的长轴长的最小值.
20．（本小题满分14分）
已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断，定义：
f1(x)?min{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])， f2(x)?max{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])．
其中，min{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2(x)?f1(x)?k(x?a)对任意的x?[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”．
（Ⅰ）若f(x)?cosx，x?[0,?]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；
（Ⅱ）已知函数f(x)?x2，x?[?1,4]，试判断f(x)是否为[?1,4]上的“k阶收缩函数”，
如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知b?0，函数f(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围.
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数 学 （理）
参考答案及评分标准
2010．5
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 D 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共
30分）
9．1 10．? 11．2 ；10 12．48 13．2 14．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
；84.
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，由a2?a4?6,S4?10，
?2a1?4d?6? 可得? ， 4?34a1?d?10??2
………………………2分
即??a1?2d?3，
?2a1?3d?5?a1?1， d?1?
解得?
………………………4分
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∴an?a1??n?1?d?1?(n?1)?n， 故所求等差数列?an?的通项公式为an?n.
………………………5分
（Ⅱ）依题意，bn?an?2n?n?2n， ∴Tn?b1?b2???bn
?1?2?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n，
………………………7分
又
2Tn?1?22?2?23?3?24???(n?1)?2n?n?2n?1，
…………………9分
两式相减得?Tn?(2?22?23???2n?1?2n)?n?2n?1
………………………11分
?
2?1?2n?1?2?n?2n?1?(1?n)?2n?1?2，
………………………12分
∴Tn?(n?1)?2n?1?2.
………………………13分 16．（本小题满分14分）
P（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，连结OM ，
?底面ABCD为矩形， ?O为AC中点， ………… 1分 ?M、N为侧棱PC的三等分点， ?CM?MN， A?OM//AN ， ………… 3分 ?OM?平面MBD,AN?平面MBD，
B?AN//平面MBD. ………… 4分[来源:Zxxk.Com] （Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A?xyz， 则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，
zP(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2), P???????? ?AN?(1,2,2),PD?(0,6,?3),
………………………5分
????????????????AN?PD0?12?625 , ?cos?AN,PD????????????153?35ANPD
NMOCD
NAxBMDyC学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网eduu.gaokao.com
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………………………7分
25 . 15?异面直线AN与PD所成角的余弦值为
………………………8分 （Ⅲ）?侧棱PA?底面ABCD,
?????平面BCD的一个法向量为AP?(0,0,3),
………………………9分
设平面MBD的法向量为m?(x,y,z),
???????????????????BD?(?3,6,0),BM?(?1,4,1)，并且m?BD,m?BM, ??3x?6y?0??，令y?1得x?2，z??2, ?x?4y?z?0?. ?平面MBD的一个法向量为m?(2,1,?2)
………………………11分
????????AP?m2cos?AP,m???????, ?3APm
………………………13分
由图可知二面角M?BD?C的大小是锐角,
?二面角M?BD?C大小的余弦值为
.………………………14分
2 . 3
17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………………1分
每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况
. …………………2分
事件A所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，P?A??31. ?3427即：4人恰好选择了同一家公园的概率为
………………5分
1. 27
1（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则P?C??.
3 .………………………6分
4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随
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机变量X服从二项分布.
X可取的值为0，1，2，3，4. .………………………8分
i1i24?iP?X?i??C4()()， i?0,1,2,3,4.
33.………………………10分 X的分布列为:
X P 0 1 2 3 4 16 8132 8124 818 811 81.………………
………12分
14X的期望为E?X??4??．
33 .………………………13分
18.（本小题满分13分）
解法一：（Ⅰ）依题意得f(x)?(2x?x2)ex，所以f?(x)?(2?x2)ex，
.………………………1分
令f?(x)?0，得x??2，
.………………………2分
f?(x)，f(x)随x的变化情况入下表：
x (??,?2) － ?2 0 极小值 (?2,2) + 2 0 极大值 (2,??) － f?(x) f(x) ? ? ?
…………………
……4分
由上表可知，x??2是函数f(x)的极小值点，x?2是函数f(x)的极大值点.
………………………5分
（Ⅱ） f?(x)?[?ax2?(2a2?2)x?2a]eax,
.………………………6分
由函数f(x)在区间(2,2)上单调递减可知：f?(x)?0对任意x?(2,2)恒成立，
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
.…………………
……7分
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当a?0时，f?(x)??2x，显然f?(x)?0对任意x?(
.…………………8分
当a?0时，f?(x)?0等价于ax2?(2a2?2)x?2a?0，
2,2恒)成立；
22a2?2因为x?(2,2)，不等式ax?(2a?2)x?2a?0等价于x??,
xa.………………………9分
222 令g(x)?x?,x?[2,2]，
x 则g?(x)?1?调递增，
所以g(x)在[2,2]上的最小值为g(2)?0， .………………………11分
2，在[2,2]上显然有g?(x)?0恒成立，所以函数g(x)在[2,2]单x222a2?2由于f?(x)?0对任意x?(2,2)恒成立等价于x??对任意x?(2,2)恒
xa成立，
需且只需g(x)min0?a?1.
2a2?22a2?2，即0?，解得?1?a?1，因为a?0，所以?aa综合上述，若函数f(x)在区间(2,2)上单调递减，则实数a的取值范围为
0?a?1.
.…………………
……13分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）f?(x)?[?ax2?(2a2?2)x?2a]eax,
.………………………6分
由函数f(x)在区间(2,2)上单调递减可知：f?(x)?0对任意x?(2,2)恒成立， 即ax2?(2a2?2)x?2a?0对任意x?(2,2)恒成立，
…………………7分
当a?0时，f?(x)??2x，显然f?(x)?0对任意x?(
…………………8分
22
2,2恒)成立；
a2?1 当a?0时，令h(x)?ax?(2a?2)x?2a，则函数h(x)图象的对称轴为x?，
a.………………………9分
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a2?1 若?0，即0?a?1时，函数h(x)在(0,??)单调递增，要使h(x)?0对任意
ax?(2,2)恒成立，需且只需h(2)?0，解得?1?a?1，所以0?a?1;
..………………………11分
a2?1 若?0，即a?1时，由于函数h(x)的图象是连续不间断的，假如h(x)?0对
a任意x?(2,2)恒成立，则有h(2)?0，解得?1?a?1，与a?1矛盾，所以h(x)?0不能对任意x?(2,2)恒成立.
综合上述，若函数f(x)在区间(2,2)上单调递减，则实数a的取值范围为
0?a?1.[来源:学科网]
.………………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意，抛物线C2的方程为：y2?4x，
…………2分
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y?k(x?4),(k存在且k?0). ?y?k(x?4)联立?2，消去x，得 ky2?4y?16k?0，
?y?4xyB
2 ………………3分
显然??16?64k?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
则 y1?y2?OFAMPx4 ① k
y1?y2??16 ②
…………………4分
?????1????1又AM?MB，所以 y1??y2 ③
22 …………………5分 由①② ③消去y1,y2，得 k2?2，
故直线l的方程为y?2x?42,或y??2x?42 .
…………………6分
mn（Ⅲ）设P(m,n)，则OP中点为(,)， 因为O、P两点关于直线y?k(x?4)对称，
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m?8k2?n?k(?4)m????km?n?8k??221?k2， 所以?，即?，解之得??m?nk?0?n?k??1?n??8k???m1?k2?
…………………8分 将其代入抛物线方程，得：
8k28k2，所以，k2?1. (?)?4?221?k1?k ………………………9分
?y?k(x?4)?联立 ?x2y2，消去y，得：
??1?2b2?a
(b2?a2k2)x2?8k2a2x?16a2k2?a2b2?0.
………………………10分
由??(?8k2a2)2?4(b2?a2k2)(16a2k2?a2b2)?0，得 16a2k4?(b2?a2k2)(16k2?b2)?0，即a2k2?b2?16k2，
…………………12分
34，即2a?34， 2将k2?1，b2?a2?1代入上式并化简，得 2a2?17，所以a?因此，椭圆C1长轴长的最小值为34. ………………………13分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得:
f1(x)?cosx,x?[0,?] ,
………………………1分
f2(x)?1,x?[0,?] .
………………………2分
?x2,x?[?1,0)（Ⅱ）f1(x)??,
0,x?[0,4]? ………………………3分 ?1,x?[?1,1) , f2(x)??2?x,x?[1,4]
………………………4分
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?1?x2,x?[?1,0)?, f2(x)?f1(x)??1,x?[0,1)?2?x,x?[1,4]
………………………5分
当x?[?1,0]时，1?x2?k(x?1)?k?1?x,k?2; 当x?(0,1)时，1?k(x?1)?k?21?k?1; x?1
16x2当x?[1,4]时，x?k(x?1)?k??k?.[来源:Zxxk.Com]
5x?116综上所述，?k?
5………………………6分
即存在k?4，使得f(x)是[?1,4]上的4阶收缩函数. ………………………7分
（Ⅲ）f?(x)??3x2?6x??3x?x?2?,令f'(x)?0得x?0或x?2.
函数f?x?的变化情况如下：
令f(x)?0，解得x?0或3.
………………………8分
ⅰ）b?2时，f(x)在[0,b]上单调递增，因此，f2(x)?f?x???x3?3x2，f1(x)?f?0??0.
因为f(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数， 所以，①f2(x)?f1?x??2?x?0?对x?[0,b]恒成立；
②存在x??0,b?，使得f2(x)?f1?x???x?0?成立.
………………………9分
①即：?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立， 由?x3?3x2?2x，解得：0?x?1或x?2，
要使?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，需且只需0?b?1.
.………………………10分
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②即：存在x?[0,b]，使得xx2?3x?1?0成立. 由xx2?3x?1?0得：x?0或所以，需且只需b?综合①②可得：
3?5. 2????3?53?5?x?， 223?5?b?1. 2 .………………………11分
3ⅱ）当b?2时，显然有?[0,b]，由于f(x)在[0,2]上单调递增，根据定义可得：
23273，f1()?0， f2()?28233?3?27?2??3， 可得 f2()?f1???22?2?8此时，f2(x)?f1?x??2?x?0?不成立.
.………………………13分
3?5?b?1. 2
综合ⅰ）ⅱ）可得：
注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用
3只是因为简单而已. 2学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网eduu.gaokao.com