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量子论
第一讲 黑体辐射
1.热辐射
在上一章中,我们已经提到,开尔文勋爵所说的两朵乌云的第二朵是黑体辐射的实验结果被拔开时，人们发现了近代物理学的两个基础理论的另一个理论即量子力学论.
量子论
由于温度升高而发射能量的辐射源，通常称为热辐射.热辐射体中原子和分子不发生运动状态变化．热辐射能量来自物体的热运动.物体在任何温度下（只要不是绝对零度）都向四周进行热辐射，也从周围吸收这种辐射.热辐射的光谱是连续光谱．一般情况下，热辐射的光谱不仅与辐射源的温度有关，还与它的表面特征有关.
为了定量的描述热辐射与温度和物体特性的关系，首先引入下列概念： (1)辐射出射度(简称辐出度)
温度为T的热辐射体,在单位间内从单位面积向各个方向辐射出的所有频率的辐射能量.又称为辐射能通量密度.
(2)单色辐射出射度
温度为T的热辐射体, 在单位时间内从单位面积向各个方向所发射的、在某一频率附近的单位间隔内辐射能量（即功率）叫做该物体的单色辐射出射度.单色辐射出射度与温度、频率和物体的表面特性有关.
(3)吸收本领
入射到物体上的辐射通量,一部分被物体散射或反射(对透明物体,还会有一部分透射), 其余的为物体所吸收.
2.黑体
热辐射的规律是很复杂的，我们知道，各种物体由于它有不同的结构，因而它对外来辐射的吸收以及它本身对外的辐射都不相同．但是有一类物体其表面不反射光，它们能够在任何温度下，吸收射来的一切电磁辐射，这类物体就叫做绝对黑体，简称黑体.
绝对黑体是我们研究热辐射时为使问题简化的理想模型.实际
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上黑体只是一种理想情况，但如果做一个闭合的空腔，在空腔表面开一个小孔，小孔表面就可以模拟黑体表面.这是因为从外面射来的辐射，经小孔射入空腔，要在腔壁上经过多次反射，才可能有机会射出小孔.因此，在多次反射过程中，外面射来的辐射几乎全部被腔壁吸收.在实验中，可在绕有电热丝的空腔上开一个小孔来实现，正因为实验所用的绝对黑体都是空腔辐射，因此，黑体辐射又称为空腔辐射．
3.黑体的经典辐射定律
1879年，斯忒藩(J．Stefan，1835~1893年)从实验观察到黑体的辐出度与绝对温度T的四次方成正比，即:
4J??T
1884年玻尔兹曼从理论上给出这个关系式．其中??5.67032?10?8W/(m2?K4). 对一般物体而言,J???T4?Js?1m?2?,?为发射率，J为辐出度, J???T4?Js?1m?2?，式中??5.670?10?8?Js?1m?2K?4?，称为斯特藩-玻尔兹曼常数.通常?<1，但对黑体而言，e = 1 (即为完全辐射).
如果物体周围的环境温度为T0，则须考虑物体表面对入射辐射能的吸收.假定入射的辐射能通量密度为?T04，a为物体表面的吸收率，则该物体表面所吸收的辐射能通量密度为
J??a?T0，通常a < 1，但对黑体而言，a?1(即为完全吸收).因此物体表面对入射能量的反
4射率为r?1?a.
从理论上我们不难证明物体表面的放射率和吸收率相等，即e?a，此称为我们可以说：容易辐射能量的物体，也容易吸收入射的能量.
处于热平衡时，黑体具有最大的吸收比，因而它也就有最大的单色辐出度. 4.紫外灾难
(1)基尔霍夫定律(Kirchhoff's Law):
热平衡状态时，任何物体的单色辐出度与单色吸收比之比，等于同温度条件下绝对黑体的单色辐出度
因此，“绝对黑体的单色辐出度”，是当时研究的尖端课题. 推论：
a.若TA＝TB，则辐射多的吸收也多，不能辐射亦不能吸收；
b.?一定时，绝对黑体辐射和吸收的能量比同温度下的其它物体都多.
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经典理论在短波段的这种失败成为“紫外灾难”. (2)普朗克假设：
a.空腔黑体可用一些线性谐振子来代表.
b.谐振子只能处于某些特殊的不连续的状态中，它们的能量只能是?c.发射和吸收的能量只能是?的整数倍.
【例1】(1)有一金属圆柱体的表面积为S，其内部装有电热丝，通电流后可以生热，供热的功率为P0，起始时圆柱体的表面以砂纸磨亮，其辐射发射率可视为零.经通电加热后，利用热电偶测得圆柱体表面达成热平衡时的温度为T1.现利用蜡烛将该圆柱体表面熏黑，其辐射发射率可视为1，以同样的方式通电加热，则圆柱体表面的热平衡温度为T.设当时金属圆柱体周围的环境温度为T0，在实验期间稳定不变.因热传导和对流而损失的热量功率，可合理假设为正比于圆柱体表面温度和环境温度的差值.试求T和上述已知量，即S、P、T1、和T0，之间的数学关系式为何？
(2)下列为已知量的数值： 电热丝的供热功率P?15.0W 金属圆柱体的表面积S?24.8cm2
金属圆柱体表面磨亮时的热平衡温度T1?212?C44 环境温度T0?25?C.
试求圆柱体表面熏黑时的热平衡温度T为何？
【解析】(1)当金属圆柱体表面磨亮时，没有因辐射而致的热损失，只有因传导和对流而致的热损失.后者根据题中的假设，与圆柱表面温度T1和环境温度T0之间的差值成正比，故
P?k(T1?T0) (1)
?h?的整数倍.
式中k为比例常数.当圆柱体表面熏黑时，除了因传导和对流的热损失外，还须加计辐射的热损失.设圆柱体表面的热平衡温度为T，则
P??S(T?T0)?k(T?T0) (2)
44由上两式消去比例常数k，可得
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P??S(T?T0)?44P(T?T0)T1?T0
T?4P?S?T1?T0?4(T?T1)?T0?0 (3)
(2)将已知数值代入(3)式，可得
T?415.05.670?10?8?24.8?10?4??485?298??T?485??298?0
4利用逼近求根法如下表： T(K) 434.0 435.0 435.5 435.6 435.7 436.0 若取三位有效数字，则T?436K?163?C 【总结】
2.98?108f(T)?T4?P?S?T1?T0?(T?T0)?T04 (K) 4?1.50?109 ?6.02?108 ?1.52?107 ?6.21?107 2.80?107
第二讲 光电效应
普朗克提出了能量子概念以后，许多物理学家都想从经典物理学中求得解释，但始终无法成功．为了尽量缩小与经典物理学之间的差距，普朗克把能量子的概念局限于振子辐射能量的过程，而认为辐射场本身仍然是连续的电磁波．直到1905年爱因斯坦在光电效应的研
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究中，才突破了普朗克的认识，看到了电磁波能量普遍都以能量子的形式存在．从光和微观粒子相互作用的角度来看，各种频率的电磁波都是能量为的光粒子(称作光子)体系，这就是说，光不仅有波的性质而且有粒子的性质．
1.光电效应及其实验规律
在1886年~1887年，赫兹在证实电磁波的存在和光的麦克斯韦电磁理论的实验过程中，已经注意到：当两个电极之一受到紫外光照射时，两电极之间的放电现象就比较容易发生．然而当时赫兹对这个现象并没有继续研究下去．直到电子发现后，人们才知道这是由于紫外光的照射，使大量电子从金属表面逸出的缘故．这种电子在光的作用下从金属表面发射出来的现象，称为光电效应，逸出来的电子称为光电子．
研究光电效应的实验装置如图所示，阴极K和阳极A封闭在真空管内，在两板之间加一可变电压，用以加速或阻挡释放出来的电子．光通过石英小窗W照到电极K上，在光的作用下，电子从电极K逸出，并受电场加速而形成电流，这种电流称为光电流．
实验结果发现光和光电流之间有一定的关系．
首先在入射光的强度与频率不变的情况下，电流—电压的实验曲线如图8—9所示．曲线表明，当加速电压V增加到一定值时，光电流达到饱和值，这是因为单位时间内从阴极K射出的光电子全部到达阳极A．若单位时间内从电极K上击出的光电子数目为n，则饱和电流I＝ne．
另一方面，当电位差V减小到零，并逐渐变负时，光电流并不降为零，就表明从电极K逸出的光电子具有初动能．所以尽管有电场阻碍它运动，仍有部分光电子到达电极K．但是当反向电位差等于—Ve时，就能阻止所有的光电子飞向电极A，光电流降为零，这个电压叫遏止电压．它使具有最大初速度的电子也不能到达电极A．如果不考虑在测量遏止电压时回路中的接触电势差，那么我们就能根据遏止电压 ?Vg来确定电子的最大速度和最大动能，即
在用相同频率不同强度的光去照射电极时，得到的电流—电压曲线如图所示．它表示出对于不同强度的光，Vg是相同的，这说明同一种频率不同强度的光所产生的光电子的最大初动能是相同的．
此外，用不同频率的光去照射电极K时，实验结果是频率愈高，Vg愈大．并且与Vg成直线关系，频率低于的光，不论强度多大，都不能产生光电子，因此不同的材料，阈频率不
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5
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同．
总结所有的实验结果，光电效应的规律可归纳为如下几点：
1．饱和电流I的大小与入射光的强度成正比，也就是单位时间内被击出的光电子数目与入射光的强度成正比．(光电效应第一定律)
2．光电子的最大初动能(或遏止电压)与入射光的强度无关，而只与入射光的频率有关．频率越大，光电子的能量就越大．(光电效应第二定律)
3．入射光的频率低于遏止频率(极限频率,红限频率)的光，不论光的强度如何，照射时间多长，都没光电子发射．(光电效应第三定律)
4．光的照射和光电子的释放几乎是同时的，在测量的精度范围内10-9s观察不出这两者间存在滞后现象．
2.光电效应和波动理论的矛盾
光能使金属中的电子释放，从经典理论来看，是不难理解的．我们知道金属里面有大量的自由电子，这些电子通常受到正电荷的引力作用，而被束缚在金属表面以内，它们没有足够的能量逸出金属表面．但因光是电磁波，在它的照射下，光波中的电场作用于电子，迫使电子振动，给电子以能量，使电子有足够的能力挣脱金属的束缚而释放出去．因此按照光的电磁理论可以预测：
(1)光愈强，电子接受的能量愈多，释放出去的电子的动能也愈大．
(2)释放电子主要决定于光强，应当与频率等没有关系．但是，实验测量的结果却并不如此.
(3)关于光照的时间问题，波动观点更是陷于困境．从波动观点来看，光能量是均匀分布，在它传播的空间内，由于电子截面很小，积累足够能量而释放出来必须要经过较长的时间，合实验事实完全完全不符.
3.爱因斯坦光电效应方程
为了解释光电效应的所有实验结果，1905年爱因斯坦推广了普朗克关于能量子的概
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念．前面已经指出普朗克在处理黑体辐射问题时，只是把器壁的振子能量量子化，腔壁内部的辐射场仍然看作是电磁波．然而爱因斯坦在光电效应的研究中指出：光在传播过程中具有波动的特性，而在光和物质相互作用的过程中，光能量是集中在一些叫做光量子(简称光子)的粒子上．从光子的观点来看，产生光电效应的光是光子流，单个光子的能量与频率成正比即：
??h?
式中h是普朗克常数．
把光子的概念应用于光电效应时，爱因斯坦还认为一个光子的能量是传递给金属中的单个电子的．电子吸收一个光子后，把能量的一部分用来挣脱金属对它的束缚，余下的一部分就变成电子离开金属表面后的动能，按能量守恒和转换定律应有：
h??12mv?W
1
2上式称为爱因斯坦光电效应方程．其中mv2为光电子的动能，W为光电子逸出金属表
2
面所需的最小能量，称为脱出功．
对光电效应四个定律的解释： （1）光电效应第一定律的解释
I?Ne：光子数??光电子数??I?
（2）光电效应第二定律的解释：
1?h??A??h?0?A?k??U0?A?eU02h?ek2UaUamv
：遏止电压，
U0：逸出电位
（3）光电效应第三定律的解释：
?0?Ah?Aek
光电子动能不小于零
（4）光电效应第四定律的解释：
t?10?8s：光子能量?电子，无须能量积累时间
1921年，爱因斯坦因对物理学的贡献，特别是光电效应获诺贝尔物理学奖 爱因斯坦理论的验证
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1916年，密立根进行了精密的测量，证明Ua~?确为直线，且直线的斜率为年获诺贝尔物理学奖
4.光子的质量和动量
???he.1923
??h?P?m?h?h?c2
光子既具有一定的能量，就必须具有质量．但是光子以光的速度运动，牛顿力学便不适用．按照狭义相对论质量和能量的关系式
，就可以决定一个光子的质量
在狭义相对论中，质量和速度的关系为
m0为静止质量，光子永远以不变的速度c运动，因而光子的静止质量必然等于零，否则m将为无穷大．因为相对于光子静止的参照系是不存在的，所以光子的静止质量等于零也是合理的．而原子组成的一般物质的速度总是远小于光速的，故它们的静止质量不等于零．在m0是否等于零这一点上光子和普通的物质有显著的区别．在狭义相对论中，任何物体的能量和动量的关系为
光子的静止质量为0，故光子的动量为
p??c?h?c
pc?h?c2这是和光子的质量为m?，速度为c.
光电效应明确了光的行为像粒子，并且可用动力学的变量（动量和能量）来描述粒子的行为； 在光和物质相互作用过程中，光子是整体在起作用.另一方面，在讨论衍射和干涉现象时，需要把光作为波动来处理，于是用波长来阐明问题.
波动特征和粒子特征是互相对立的，但并不是矛盾的.
光的波长既适宜于显示波动特征，同时又也容易显示粒子特征.对于电磁波谱的长波段，表示其波动特征的物理量T和较大，而表示其粒子特征的物理量ε和p 较小，因而容易显
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示波动特征，反之，对于电磁波谱的短波段，表示其波动特征的物理量T和 较小，而表示其粒子特征的物理量ε和p较大，因而容易显示粒子特征.
【例1】将一块金属板放在离单色点光源5米远的地方，光源的光功率输出为10-3瓦.假设被打出的光电子可以从半径为10米（约相当于原子直径的十倍）的圆面上以从光源取得它所得的能量，已知打出一个电子需要5.0eV.现在将光认为是经典波动，对这种装置的一个“靶”来说，打出一个光电子需要多长时间？
【解析】电子接受能量的靶面积为??(10?9)2，半径为5米的球面面积为
，前者是后者的
10?3-8
，故每秒投射于靶面积上的能量为
?10?20焦耳.
打出一个电子需要能量5eV，即 8?10?19焦耳，故积累这些能量需时
8?1010?19?23秒=22.22小时.
实际上光电效应是几时的，根本不需要这么长的时间.这说明光与光电阴极电子的作用决不是经典波动模型中能量积累的那种形式
【例2】若—个光子的能量等于一个电子的静能量，试问该光子的动量和波长是多少？在电磁波谱中它是属何种射线？
【解析】—个电子的静能量为m0c2，按题意
h??mc
2光子的动量
光子的波长
因电磁波谱中γ射线的波长在300~10A范围内，所以该光子在电磁波谱中属于γ射线． 5.康普顿效应
(1)散射现象：光通过不均匀物质时，向各个方向发射的现象 实验发现：X射线→金属或石墨时，也有散射现象 1922、1923年康普顿及其学生吴有顺进行了系统研究
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(2)实验装置：如图
(3)实验结果:
a.散射光中除有与入射线波长?0相同的，还有比?0大的波长?，??????0随散射角?而异，?增大时，?的强度增加，?0的强度减小.
b.当散射角?确定时，波长的增加量
与散射物质的性质无关.
c.康普顿散射的强度与散射物质有关.原子量小的散射物质，康普顿散射较强，原波长的谱线强度较低.反之相反.
按经典电磁理论，光的散射是带电粒子在入射光电场作用下作受迫振动，散射光与入射光应该有相同波长.
按照光子理论，一个光子与散射物中的一个自由电子发生碰撞，散射光子将沿某一方向进行——康普顿散射，光子与电子之间碰撞遵守能量守恒和动量守恒，电子受到反冲而获得一定的动量和动能，因此散射光子能量要小于入射光子能量.由光子的能量与频率间的关系
可知，散射光的频率要比入射光的频率低，因此散射光的波长
.如果入射光子
与原子中被束缚得很紧的电子碰撞，光子将与整个原子作弹性碰撞（如乒乓球碰铅球），散射光子的能量就不会显著地减小，所以观察到的散射光波长就与入射光波长相同.
下图为光子与自由电子弹性碰撞的示意图.应用相对论质量、能量、动量关系，有
式中m0、m为电子的静质量和质量，m?m01?()cv2.将上式第二式写成分量式
mvcos??h?0c?h?0ccos?
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mvsin??h?csin?
解以上联立方程组，消去?，即得
??????0?2hm0csin2?2?2?csin2?2
式中
叫做电子的康普顿波长.上式表明??与散射物质的性质无关.
康普顿散射进一步证实了光子论，证明了光子能量、动量表示式的正确性，光确实具有波粒两象性.另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律.
在基元相互作用过程中，能量、动量守恒.1927年，康普顿因此获诺贝尔物理学奖 【例1】求?1?500nm的可见光光子和?2?0.1nm的X射线光子的能量、动量和质量？
?1?3.98?10?2?1.99?10?19J,P1?1.33?10?27kg?m/s,m1?4.42?10J,P2?6.63?10?24?36kg kg
?15kg?m/s,m2?2.21?10?32???②【例2】?0?0.01nm的X射线，射向静止的自由电子，观察方向??90o，求：①
反冲电子的动能和动量？
??0.01243nm (①
②Ek?3.8?10?15J?2.4?10eV, Pe?6.63?104?23???23i?5.53?10j(kg?m/s)
或：Pe?8.51?10?23kg?m/s,??38o44')
【例3】已知X光光子的能量为0.6MeV，在康普顿散射之后，波长变化了20％，求反冲电子的能量.(Ee?0.61MeV)
练习
1.下列各物体，哪个是绝对黑体？ A.不辐射可见光的物体 B.不辐射任何光线的物体； C.不能反射可见光的物体
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D.不能反射任何光线的物体.
2.以金属表面用绿光照射开始发射电子，当用下列光照射时，有电子发出的为： A.紫光 B.橙色光 C.蓝光 D.红光
3.钾金属表面被蓝光照射，发出光电子，若照射的蓝光光强增加，则 A.单位时间内发出光电子数增加； B.光电子的最大动能增加； C.发出光电子的红限增加； D.光电效应的发生时间后滞缩短.
4.波长为0.5微米的绿光频率为_________Hz，其电子能量为________焦耳，合______电子伏特；频率为1兆赫的无线电量子能量为___________焦耳.
5.已知从铯表面发射出的光电子最大动能为2eV，铯的脱出功为1.8eV，则入射光光子能量为________eV，即________焦耳，其波长为_________埃.
第三讲 波粒二象性
1.光的波粒二象性
波动性：干涉、衍射、偏振 粒子性：热辐射,光电效应,散射等 同时具有，不同时显现 2.德布罗意假设
(1)假设：质量为m的粒子，以速度v运动时，不但具有粒子的性质，也具有波动的性质；
粒子性：可用E、P描述 E?mc2?h?, P?mv?h?
波动性：可用?,?描述
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??mch2?m0c22,??hmv?h1??m0v2------－德布罗意公式
h1??(2)电子的德布罗意波长 加速电势差为U，则：
12m0v?eU,h2em01U2v?2eUm0
??hm0v?h2eUm0??
??1.225Unm
如：U?150V,??0.1nm（与x射线的波长相当）
??hceU(eU?2m0c)2
E0??Ek???1.225Unm
Ek??E0???hcEk
3.德布罗意假设的实验验证
德布罗意关于物质波的假设在微观粒子的衍射实验中得到了验证。其中最有代表性的是电子散射实验、透射实验和双缝干涉实验。这些实验有力地证明了德布罗意物质波假说的正确性。
实物粒子的衍射效应在近代科技中有广泛的应用，例如中子衍射技术，已成为研究固体微观结构的最有效的手段之一。
光学仪器的分辨率与波长成正比，而电子的德布罗意波长比光波长短很多，例如在10万伏的加速电压下，电子的波长只有0.004? m，比可见光短10万倍左右，因而利用电子波代替光波制成电子显微镜就可以有极高的分辨本领。现代的电子显微镜不仅可以直接看到如蛋白质一类的大分子，而且能分辨单个原子的尺寸，为研究物质结构提供了有力的工具。
(1) 电子散射实验
电子散射实验的典型代表是戴维孙－革末实验。1927年戴维孙和革末用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。电子经晶格散射后在某一特定方向衍射极大，这一结果与X
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射线散射相似，其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。
衍射加强时的电子德布罗意波长应满足布拉格公式
式中是入射电子束对晶面的掠射角，d是晶面间距。晶面间距d与镍原子的间隔l的关系是
,考虑第一级衍射极大，有
由图知电子相对于入射方向的散射角可写成lsin???
当加速电压U=54伏，加速电子的能量：eU?hph2meU12mv
2与掠射角之间有关系，因此上式
电子的德布罗意波长：????16.7nm
16.721.5镍的原子间隔是21.5nm，由此求出衍射第一极大的散射角度：??arcsin?51
?实验测量出的值??50?，是理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引，在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。经修正后，理论值与实验结果完全符合。
(2) 电子透射实验
电子穿过晶体薄片后产生的衍射，与X射线通过晶体的衍射极其类似。汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。下图是电子射线通过多晶时的衍射图样。
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戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金。 (3) 电子双缝干涉实验
1960年，约恩孙直接做了电子双缝干涉实验，从屏上摄得了类似杨氏双缝干涉图样的照片。干涉图样如下图所示。
在电子波动性获得证实以后，在其它一些实验中也观察到中性粒子如分子、原子和中子等微观粒子，也具有波动性，1988年蔡林格等做了中子的双缝实验。德布罗意公式也同样正确，德布罗意公式成了波粒二象性的统一性的基本公式，德布罗意由于发现电子的波动性，荣获1929年诺贝尔物理学奖。
【例1】求波长都等于0.2nm的光子与电子的总能量和动量
【例2】电子通过单缝的实验中，加速电压U?100V，垂直穿过a?2nm的单缝，求： ① 加速后的速率； ② 电子相应的波长； ③ 中央明纹的半角宽度? 解：① v?2eUm?5.9?10m/s② ??o61.225U?0.1225nm
③ ??arcsin(?a)?3.512
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第四讲 测不准关系
1.描述物体的运动状态
（1）宏观：r,v(P)，两者可同时准确测量；
???（2）微观粒子：r,v(P)不能同时准确测量，原因是微观粒子具有波、粒二象性，有测
???不准关系：?x??Px?h
即：粒子有某方向的坐标测不准量与该方向上的动量分量的测不准量的积，必不小于普朗克常数；位置测得越准，动量测得越不准！
现代量子力学证明：?x??Px?h4?
2.测不准关系的推证（1927年，海森堡）
微观粒子的位置和动量具有不确定性，这可用电子单缝衍射实验说明，并验证不确定关系.
如下图所示，设有一束电子，以速度v沿y轴射向AB屏上的单缝，缝宽为d，在屏幕CD上得到衍射图样，衍射的第一极小角为q1 ，则sin?1??d
电子位置在x方向上的不确定量为
，由于衍射的缘故，电子在x方向上动量分
量px具有各种不同的量值.如果只考虑衍射主极大区域，则x方向动量不确定度为
即 ?x??Px?h
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如果考虑高次衍射条纹，?Px还要大些，?px?psin?1，因此一般地有?x??Px?h 这就是海森堡分析得到的不确定关系.
不确定度关系不是仪器的误差，或人为测量误差造成的，而是波粒二象性的必然结果.我们只能说粒子位置不确定性越大（d越宽），粒子的动量就越确定.能级的寿命越长，能级的宽度（不确定度）就越小，辐射产生的谱线宽度就越小，单色性就越好，反之亦然.
3.讨论
（1）不确定关系式表示电子的坐标及相应的动量不能同时准确测量
（2）不确定关系取决于电子本身的固有特性－波粒二象性，即精度、方法等都无济于事
（3）对宏观物体讲不受此限制 4.其它表示：
能量、时间：?E?t?h 角动量、角位移：?L?????h 5.不确定关系的应用
(1)估算氢原子可能具有的最低能量 电子束缚在半径为r的球内，所以
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
用不确定关系代入上式得：
基态能应满足
dEdr?0得
??23mer?e224??0r?0
由此得出基态氢原子半径
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基态氢原子的能量
与波尔理论结果一致。 (2) 解释谱线的自然宽度 原子中某激发态的平均寿命为
由普朗克能量子假说R?h?及?E??t?h
这就是谱线的自然宽度。
【例1】已知一个光子沿x方向传播，其波长??500nm，对波长的测量是相当准确的，
???5?10?4nm，求该光子x坐标的不确定度；(?x?0.5m)
【例2】质量为m的粒子位置的不确定量等于粒子的德布罗意波长?，求?vx的最小值.(?vx?v)
【例3】氢原子中基态电子的速度大约是10m/s，电子位置的不确定度可按原子大小估算?x?10?86cm，求电子速度的不确定度.
6(?vx?7.3?10m/s)?轨道概念在量子力学中无意义！
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