第五章 平面向量
第五章 平面向量
知识结构
零向量 单位向量 向量的概念 平行向量 相等向量 三角形法则 向量的加法与减法 向量的运算 平行四边形法则 实数与向量的积 平面向量的数量积 坐标平面上的两点间的距离公式 解斜三角形 正弦定理 余弦定理 解斜三角形的应用举例 平 移 向 量 平面向量平面向量的坐标表示 线段的定比分点 1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．
4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．
7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
高考热点分析
向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．
高考能力要求
主要考查：
1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．
2．向量的坐标运算及应用．
3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．
4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．
高考复习建议
根据本章近年高考试题的分析及最新命题立意的发展变化，宜用以下应试对策：
1．在复习中要把知识点和训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等，正确掌握这些基本知识是学好本章的关键．
2．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换．
3．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算又要把向量知识和其它知识，如曲线、数列、函数、三角等知识进行横向联系，以体现向量的工具性．
5．1 向量的概念与几何运算
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高考复习指导丛书 2 数学
知识要点 1．向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．
⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．
3．实数与向量的积 ⑴ 实数?与向量a的积是一个向量，记作?a．它的长度与方向规定如下：
① | ?a |＝ ．
② 当?＞0时，?a的方向与a的方向 ； 当?＜0时，?a的方向与a的方向 ； 当?＝0时，?a ． ⑵ ?(μa)＝ ． (?＋μ)a＝ ． ?(a＋b)＝ ．
⑶ 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使得 ．
⑵ 设e1、e2是一组基底，a＝x1e1?y1e2，b＝
x2e1?y2e2，则a与b共线的充要条件是 ． 例题讲练
【例1】 已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设AB?a，AC?b，求BE．
【例2】 已知向量a?2e1?3e2，b?2e1?3e2，
c?2e1?9e2，其中e1、e2不共线，求实数?、?，使c??a??b．
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【例3】 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若AB?a，AD?b，试用a、b表示BC和MN．
【例4】 设a，b是两个不共线向量，若a与b起
点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的
终点在一条直线上？ 小结归纳 1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．
2．注意O与O的区别．零向量与任一向量平行． 3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB∥CD，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证AB∥AC即可．
4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．
第五章 平面向量
基础训练题 一、选择题
1． 若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定
成立的是 （ ）
为平面上任意一点，求证：PA?PB?PC?PD?4PO
A．(a?b)?c?a?(b?c) B．(a?b)?c?a?c?b?c C．m(a?b)?ma?mb D．(a?b)c?a(b?c) 2． 化简AB?AC?BC等于
（ ）
A．2BC B．o C．－2BC
D．2AC
3． 如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量CD等于 （ ）
A．－BC＋12BA
A B．－BC－12BA D C．BC－12BA
D．BC＋1B C 2BA
4． 在△ABC中，有命题：①若AB?AC?BC；②
AB?BC?CA?O；③若(AB?AC)?(AB?AC)＝
0，则△ABC为等腰三角形；④若AC?AB?0，则△ABC为锐角三角形 上述命题正确的是 （ ） A．①② B．①④
C．②③ D．②③④ 5． 已知正方形ABCD边长为1，AB＝a，
BC＝b，AC ＝c，则a＋b＋c的模等于
（ ）
A．0 B．3
C．22
D．2
6．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b， CD＝7a－2b，则一定共线的三点是 （ ）
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
二、填空题
7． a＝“向东走4km”，b＝“向南走3km”，则 |a＋b|
＝ ． 8． 若a＋b＝c，且 |a|＝|c|＝2， a与c垂直，则
|b|＝ ．
9． 在平行四边形ABCD中，AB?a，AD?b，
AN?3NC，M为BC的中点，则MN＝ .(用
a，b表示)
10．已知 |AB|＝8，|AC|＝5，则 |BC| 的取值范围是 ．
三、解答题
11．已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P
12．某人在静水中游泳，速度为43公里/小时，当水的
流速为23公里/小时时，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
13．如图所示，OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻
边的平行四边形，又BM＝13BC，CN＝13CD，
试用a、b表示OM，ON，MN．
B D
M O C N A 提高训练题
14．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝
2，求OA?(OB?OC)的最小值．
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高考复习指导丛书 2 数学
15．如图所示，PQ过△OAB的重心G，OA＝a，OB＝
11b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：??3
mn O Q
G P
B A M 知识要点
1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj．我们把(x、y)叫做向量a的直角坐标，记作 ．并且|a|＝ ．
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．
3．平面向量的坐标运算：
若a＝(x1、y1)，b＝(x2、y2)，λ∈R，则： a＋b＝ a－b＝
5．2 平面向量的坐标运算
【例3】 已知向量a＝(1, 2)，b＝(x, 1)，e1＝a＋2b，e2＝2a－b，且e1∥e2，求x．
【例4】 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，AB＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．
(1) 若AD＝(3，5)，求点C的坐标； (2) 当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹． D
P
A M B
λa＝
已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则AB＝ ． 4．两个向量a＝(x1、y1)和b＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．
例题讲练
【例1】 已知点A（2，3），B（－1，5），且AC＝
1AB，求点C的坐标． 3
【例2】 已知向量a＝(cossin
C ???b＝(cos，，sin)，
222?25)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值． 25
小结归纳
1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可
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第五章 平面向量
以代数化，代数问题可以几何化．
2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算． 基础训练题 一、选择题
1． 若a＝（3，2），b＝（0，－1），则2b－a＝（ ）
12．已知a－2b＝(－3，1)，2a＋b＝(－1，2)，求a＋
b．
A．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4） 2． 已知两点A（4，1），B（7，－3），则与向量AB同向的单位向量是 （ ）
A．(34345，－5) B．(－5，5)
C．(－43435，5) D．(5，－5)
3． 设向量a＝(－1，2)， b＝(2，－1)，则(a2b)(a＋
b)等于
（ ） A．(1，1) B．(－4，－4) C．－4
D．(－2，－2)
4． 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4, －3) (即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)，设开始时点P的坐标为(－10, 10)，则5秒后点P的坐标为 （ ） A．(－2, 4) B．(－30, 25)
C．(10, －5) D．(5, －10) 5． 已知向量集合M＝{a|a＝(1, 2)＋?(3, 4) ?∈R}，
N＝{a|a＝(－2, －2)＋?(4, 5) ?∈R }，则M∩N等于 （ ） A．{(1, 1)} B．{(1, 1) (－2, －2)} C．{(－2, －2)} D．φ 6． 设向量a＝(1，2)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，
若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 （ ） A．（2，6） B．（－2，6）
C．（2，－6） D．（－2，－6）
二、填空题
7． 已知AB＝（1，2），BC＝（－1，0），则AC＝ ． 8． 已知点A（1，2），若向量AB与a＝（2，3）同向，
|AB|＝213，则点B的坐标为 ． 9． 已知向量a＝(cosθ, sinθ)，向量b＝(3，－1)，则 |2a－b| 的最大值是 ．
10．直角坐标系中，若定点A(1, 2)与动点P(x, y)满足
OP?OA＝4，则点P的轨迹方程是 .
三、解答题
11．设a＝(ksinθ, 1)，b＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，a∥
b，求证：k≥3．
13．在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，
4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝2，求OC的坐标． 提高训练题
14．已知向量a?(cos34x,sin34x),b?(cos(x?4?3),
?sin(x4??3))，且x∈[??56,6?]
(1) 若f (x)＝(a?b)2，求f (x)的解析式； (2) 求函数f (x)的最大值和最小值.
15．已知向量u＝（x, y）与向量v＝（y, 2y－x）的对应
关系用v＝f (u)表示． (1) 设a＝(1, 0)，求f (a)
(2) 设 f (b)＝(1, 1)，求b．
(3) 证明：对任意向量a，b及常数m，n恒有f (ma89
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＋nb)＝mf (a)＋nf (b)
5．3 平面向量的数量积
知识要点
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a与b的 ．当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b ；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数
量积（或内积），记作a2b，即a2b＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a＝(x1, y1)，
b＝(x2, y2)，则a2b＝ ．
3．向量的数量积的几何意义：
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 (θ是向量a与b的夹角)．
a2b的几何意义是，数量a2b等于 ．
4．向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角．
⑴ e2a＝a2e＝ ⑵ a⊥b?
⑶ 当a与b同向时，a2b＝ ；当a与b反向时，a2b＝ ． ⑷ cosθ＝ ．
⑸ |a2b|≤ 5．向量数量积的运算律： ⑴ a2b＝ ；
⑵ (λa)2b＝ ＝a2(λb) ⑶ (a＋b)2c＝ 例题讲练
【例1】 已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求：(2a＋3b)2(3a－2b)．
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【例2】 已知向量a＝(sin?，1)，b＝(1，cos?)，－
?2????2． (1) 若a⊥b，求?；
(2) 求|a＋b|的最大值．
【例3】 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足
(OB－OC)2(OB＋OC－2OA)＝0，判断△ABC是哪类三角形．
【例4】 已知向量m＝(cosθ, sinθ)和n＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|m?n|＝825，求cos(?2??8)的值.
第五章 平面向量
小结归纳
1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．
2．注意a2b与ab的区别．a2b＝0≠＞a＝0，
12．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|=4，
或b＝0．
3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合． 基础训练题 一、选择题
1． 已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，
则|a＋b|等于
（ ） A．1
B．2
C．5
D．6
2． 设a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋
3b|＝
（ ）
A．7
B．10
C．13 D．4
3． 已知a，b，c为非零向量，甲：a2b＝a2c，乙：b＝c，则甲是乙的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件 4． 点O是△ABC所在平面上一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是△ABC的
（ ）
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
5． 若|a|＝1, |b|＝2, c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为 （ ） A．30° B．60°
C．120° D．150°
6． 若O为坐标原点，抛物线y2
＝2x与过其焦点的直线交 于A、B两点，则OA2OB等于
（ ）
A．334 B．－4 C．3
D．－4
二、填空题
7． 已知a＝(－1, 3)，b＝(2, －1)，若(ka＋b)⊥(a－
2b)，则k＝ ．
8． 已知|a|＝3，|b|＝5，且a2b＝12，则向量a在向
量b的方向上的投影为 ． 9． 已知△ABC中，AB2AC＜0，S15△ABC＝
4，|AB|＝3，|AC|＝5，则∠BAC＝ ．
10．设G是△ABC所在平面一点，且GA?GB?GC?0，
则G是△ABC的 ．
三、解答题
11．已知|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝5，求|2a－3b|的值．
|CA|=5，求：
AB2BC+BC2CA+CA2AB的值．
13．已知非零向量AB与AC满足(ABAC|AB|?|AC|)2BC＝
0，且AB2AC＝
1|AB||AC|2，判断△ABC的形状． 提高训练题
14．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
15．如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线
段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时，BP2CQ的值最大？并求出这个最大值． C Q B A
P
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5．4 线段的定比分点和平移
知识要点
1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使P1P＝λPP2，λ叫做 ．
2． 设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分P1P2的比是λ时，定比分点坐标公式：
中点坐标公式： 3． 平移公式：将点P（x、y）按向量a＝（h、k）平移得到点P'（x'，y'），则 ． 例题讲练
【例1】 已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分P1P2所成的比.
【例2】 将函数y＝2sin（2x＋
5?6）＋3的图象C进行平移后得到图象C'，使C上面的一点P（?6、2）移至
点P'（?4、1），求图像C'对应的函数解析式．
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【例3】 设a＝(sinx－1, cosx－1)，b?(22,22)，f (x)＝a?b，且函数y＝f (x)的图象是由y＝sinx的图象按向量c平移而得，求c.
【例4】 已知△ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，点M内分AB所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC的面积的一半，求N点的坐标． 小结归纳
1．在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比?．
2．平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量a＝(h，k)三者之间的关系．它的本质是PP'＝a．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆． 基础训练题 一、选择题
1． 已知A(4, －3)，B(－2，6)，点P在直线AB上，且|AB|
第五章 平面向量
＝3|AP|，则P点坐标是 A．（2，0） B．（0，3） C．（2，0）或（6，－6）
1818D．（6，0）或（，－）
55
（ ）
2． 函数y＝log2(x?2)＋3的图象按向量a平移可得y
＝log2x，则向量a为
（ ）
A．（2，3）
B．（2，－3） C．（－2，3）
D．（－2，－3） 3． 若直线2x－y＋c＝0按向量a＝(1, －1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为 （ ） A．8或－2
B．6或－4 C．4或－6
D．2或－8
4． 已知点A(3, 1)， B(0, 0)， C(3, 0)，设∠BAC
的平分线AE与BC相交于E，那么有BC??CE，则?＝
（ ） A．2
B．12
C．－3
D．－13
5．已知p是△ABC所在平面内的一点，若CB＝?PA?PB
(?∈R)，则点p一定在 （ ） A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 6． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋???AB??AC??、?|AB||AC|???∈[0, ＋??，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、填空题
7． 已知点P在线段P1P2的延长线上，如图所示，那么关
于定比?有以下三个结论： P1 P ① 若|P2，|PP2
1P2|＝1P|＝3，则P1分P2P所成的比λ
＝－
23；② P分P1P2所成的比?的取值范围是(－∞,－1)；③ 若P1分PP2的比为?，则P分P2P1所成的
比是??1?.
其中正确的结论是 .
8． 将y＝sin2x的图象向右按a作最小的平移，使得平移
后的图象在[kπ＋?2, kπ＋π] (k∈Z)上递减，则a＝ ． 9． 已知抛物线按向量a＝(－2，2)平移后，图象的解析
式为y＝2(x＋2)2＋2，则原解析式为 ． 10．设|AB|＝5，点p在直线AB上，且|PA|＝1，则p分AB所成的比为 ．
三、解答题
11．已知在 ABCD中，点A(1，1)，B(2，3)，CD的中
点为E(4，1)，将 ABCD按向量a平移，使C点移至原点O．
(1)求向量a；
(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标．
12．已知△ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C
（3，4）．
(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标； (2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把△ABC的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标．
13．将函数y＝log2(x＋3)＋2的图象按向量a＝（3，－3）
平移后，得到y＝f (x)的反函数图象，求y＝f (x)的解析式． 提高训练题 14．已知M（2，3），N（8，4），点P在线段MN上且
MP??PN??2MN，求?的值及P点坐标．
15．过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P（0，m）（m>0），
作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原
点的对称点．设点P分有向线段AB所成的比为λ，证明：QP⊥(QA??QB)．
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5．5 三角形中的有关问题
知识要点
1．正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；
⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．
2．余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
⑴ 已知三边，求三角；
⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 例题讲练
【例1】 在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C及边c．
【例2】 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【例3】 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．
【例4】 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC
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的中心G．设∠MGA＝?(
????2?33)．
(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为?的函数；
(2)求y＝11S2?S2的最大值与最小值．
12 A ?（ N
M G B D C 小结归纳 1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．
2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．
3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题。 基础训练题 一、选择题
1． 钝角三角形的三边为a、a＋1、a＋2，其最大角不超
过120°，则a的取值范围是 （ ）
A．0＜a＜3 B．32≤a＜3
C．2＜a≤3 D．1≤a＜52
2． 在△ABC中，若sinA＋cosA＝712，则三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．无相等边的直角三角形 3． 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2
的三个内角的正弦值，则 （ ） A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 4． 设△ABC的三边a、b、c成等差数列，则B的取值范
围是 （ ）
A．(0,?6) B．(0,?6]
C．(0,?3] D．(0,?3)
5． 用长度分别为2、3、4、5、6的5根细木棒围成一个
三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 （ ） A．85
B．610 C．355
D．20
第五章 平面向量
6． 在△ABC中，如果4sinA＋2cosB＝1，2sinB＋4cosA＝33，则∠C的大小是 （ ） A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
二、填空题
7．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝2:3:4，则∠ABC＝ ． 8． 在△ABC中，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则∠A
＝ ．
9． 已知△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，且
AB＝1，BC＝4，则过BC边上的中线AD为 ． 10． 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则
△ABC的面积S＝ ；外接圆半径＝ ；内切圆半径＝ ．
三、解答题
11．△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，求AC边
上的高．
?12．△ABC中a＋c＝2b，A－C＝，求sinB的值．
3
13．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部
测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角（炮台底部与船只在同一个水平面上），求两条船相距多少米？
一、选择题
1． △ABC中，已知A＝60°，a＝43，解三角形．当此
题有唯一解时，b满足的条件为 （ ） A．0＜b＜43
B．b＝8
D．0＜b≤43或b＝8
C．0＜b＜43或b＝8
提高训练题
14．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝
(1) 求AB的值；
(2) 求sin(2A＋C)的值．
15．在△ABC中，∠C＝2∠A，cosA＝
3，BA2BC＝4A B
C 3． 427，(1) 求cosB；(2) 求边AC的长． 2
单 元 测 试
C．
4 3 D．－
4 3
（ ） FC D．
3． 在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则FA＋AB＋2BO＋ED等于 A．FE
B．AC C．DC
2． 已知向量a＝(3，4)，b＝(sin?，cos?)，且a||b，
则tan?等于 （ ）
33A． B．－
444． 已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向
量，且a2b＝3，则b＝ A．(
13，) 22（ ）
B．(
13，) 22
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高考复习指导丛书 2 数学
C．(
133，) 44 D．(1，0)
＝|a||b|sinθ．如果|a|＝3，|b|＝2，a2b＝－2，则|a3b|＝ ．
三、解答题
16．△ABC中，|BC|＝3，|CA|＝5，BC2CA＝－9，
求|AB|． 5． 设平面向量a1，a2，a3的和a1＋a2＋a3＝0，
如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后bi同向，其中i＝1、2、3，则 （ ） A．－b1＋b2＋b3＝0
C．b1＋b2－b3＝0
B．b1－b2＋b3＝0 D．b1＋b2＋b3＝0
6． 下列各组向量中：① e1＝(－1，2)，e2＝(5, 7)；②
e1＝(3，5)，e；③ e3)，e12＝(6, 10)1＝(2，－2＝(2,－
34)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的有 （ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
7． 某曲线按向量a＝(h, k)平移后的解析式为y＝f(x)，则平移之前的解析式为 （ ） A．y＝f(x－h)＋k B．y＝f(x－h)－k
C．y＝f(x＋h)－k D．y＝f(x＋h)＋k
8． △ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、
c，设向量p＝(a＋c、b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角c的大小为
（ ）
A．??6 B．3
C．?2?2 D．3
9． 已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不
包括端点A、C)，则AP＝ （ ）
A．?(AB＋BC)，?∈(0，1) B．?(AB＋AD)，?∈(0，22) C．?(AB－AD)，?∈(0，1) D．?(AB－BC)，?∈(0，
22) 10．已知向量a与b的夹角是60°，|b|＝4，(a＋2b)2(a －3b)＝－72，则|a|等于 （ ） A．2 B．4 C．6 D．12
二、填空题
11．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y＝mx－7与
线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3:2，则m等于 ．
12．已知向量a＝(cos?，sin?)，b＝(cos?，sin?)，
且a≠±b，那么a＋b与a－b的夹角的大小
是 .
13．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使?b－a与a垂直，则λ＝ ．
14．△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则∠B＝ ． 15． 设向量a与b的夹角为θ，我们称a3b为向量a与
b的“向量积”，a3b是一个向量，它的长度|a3b|
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17．在直角△ABC中，AB＝(－2, 3)，AC＝(1, k)，求实
数k的值．
18．在△ABC中，已知b＝(3?1)a，∠C＝30°，求∠A
和∠B．
19．已知A、B、C是△ABC三内角，向量m＝(－1，3)，
n＝(cosA，sinA)，且m2n＝1．
(1) 求角A；
(2) 若1?sin2Bcos2B?sin2B＝－3，求tanC．
第五章 平面向量
20．已知点O（0，0）、A（a，0）、B（0，a），a是正常
数，点P在直线AB上，且AP?t?AB（0≤t≤1），求OA?OP的最大值．
21．已知函数f (x)＝a＋b sin2x＋c cos2x (a<1)的图象经过
点A(0, 1)和点B(??4，1)，且当x∈[0，4]时，f(x)取
最大值22－1．
(1) 求f (x)的解析式；
(2) 写出一个向量m，使得将f (x)的图象按向量m平
移后可以得到一个奇函数的图象并给予证明．
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