第3讲 集合经典精讲
题一： 已知A?{0，1，2，3}，且A中至少有一个奇数， 则这样的集合A共有（ ） A.11个 B.12个 C.15个 D.16个
题二： 设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B?I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（ ） A.149组 B. 29组 C. 28组 D. 26组
题三： 已知全集为R，集合M={x||x|＜2，x∈R}，P={x|x≥a}，并且M真包含于CRP，则a的取值范围是 ．
题四： 设集合A={x|x＞2}，集合B={x||logax|＞1}，若A∩B=A，则a的取值范围是 ．
题五： 设A，B是全集S的两个非空真子集，且存在a∈A，a ? B， 则下列结论中正确的是（ ）
A.a∈（A∩B） B.a ?（CSA∪CSB） C.a∈（A∩CSB） D.a ? CS（A∩B）
题六： 下列说法中正确的有 ． ① 任何一个集合必有两个子集；
② 若A∩B=?，则集合A与B中至少有一个是?； ③ 任何一个集合必有一个真子集； ④ 若A∩B=S，S为全集，则A=B=S．
题七： 设常数a∈R，集合A={x|（x?1）（x?a）≥0}，B={x|x≥a?1}， 若A∪B=R，则a的取值范围为 ．
题八： 若全集U={x∈R|x2 ≤ 4}，则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集?UA为（ ） A.{x∈R|0＜x＜2} B.{x∈R|0≤ x＜2} C.{x∈R|0＜x≤ 2} D.{x∈R|0≤ x≤ 2}
题九： 已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|2
题十： 已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∪B＝A，求实数m的取值；
(2)若A∩B＝{x|0≤ x≤ 3}，求实数m的值； (3)若A??RB，求实数m的取值范围．
222题十一：已知集合A?xx?2x?8?0，B?xx?(2m?3)x?m?3m?0,m?R
????(1）若AB?[2，4]，求实数m的值；
(2）设全集为R，若A?CRB，求实数m的取值范围。
题十二：已知A?{(x,y)|y??x2?mx?1}，B?{(x,y)|x?y?3,0?x?3},
若AB是单元素集，求实数m的取值范围。
题十三：设集合M={1，2，3，4，5，6，7，8}，S1，S2，…，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k}，k∈N*），都有min???aibi??ajbj??,??min?,?（min{x，y}表示两个数x，y中的较
??biai??bjaj??小者），则k的最大值是
题十四：设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，SK都是M的含两个元素的子集，从中任选两个Si，Sj，Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}，（i≠j），i，j∈{1，2，3，…，
??aibi??ajbj??k}，min?,??min?,?，(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者）的概率
??biai??bjaj??等于 ．
题十五：设集合M={1，2，3，…，2008}，现对M的任一非空子集Z，令ax表示Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的ax的平均数为 ．
题十六：设xn={1，2…，n}（n∈N+），对xn的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最小元素，当A取遍xn的所有非空子集时，对应的f（A）的和为Sn，则：①S3= ，②Sn= ．
第3讲 集合经典精讲
题一： B
详解：根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，若A中含1个奇数，有8个；A中含2个奇数有4个。 共有8+4=12个，故选B．
题二： B．
详解：当集合A={1，2，3}时，集合B若两个元素有6种，如3个元素有4种，若4个元素有1种；
当集合A={1，2，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种； 当集合A={1，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种； 当集合A={2，3，4}时，集合B若两个元素有3种，如3个元素有1种； 当集合A={1，2，5}时，集合B若两个元素有1种； 当集合A={1，3，5}时，集合B若两个元素有1种； 当集合A={1，4，5}时，集合B若两个元素有1种； 当集合A={2，3，5}时，集合B若两个元素有1种；
当集合A={2，4，5}时，集合B若两个元素有1种；
当集合A={3，4，5}时，集合B若两个元素有1种，合计29组． 故选B．
题三： a≥2．
详解：M={x||x|＜2}={x|?2＜x＜2}，∵M真包含于
CRP={x|x＜a}．
CRP，
∴由数轴知a的取值范围是a≥2． 题四： [1,1)(1,2]． 21a；当0＜a＜1时，解得：0＜x＜a或x＞详解：由集合B中的不等式得：logax＞1=logaa或logax＜?1， 当a＞1时，解得：x＞a或x＜1a，
∵A∩B=A，∴A?B，∴1＜a≤2或则a的取值范围为[
题五： C
1?a?1． 21,1)(1,2]． 2详解：A．a∈（A∩B）?a∈A且a∈B，与已知a ?B矛盾，故不正确； B．a ?（CSA∪CSB）?a ?CSA或a ?CSB与已知a ?B矛盾，故不正确； C．a∈（A∩CSB）?a∈A且a∈CSB与已知符合，故正确；
D．a?CS（A∩B）?a ?CSA且a ? CSB与已知a ? B矛盾，故不正确． 故选C．
题六：④
详解：对于①任何一个集合必有两个子集，不正确，因为集合是A∩B=?，则集合A与B中至少有一个是例如A={1}，B={2}它们的交集是
?没有两个子集；对于②若
?，也不正确，
A=B=S，这是正确的，因为A∩B=S，所以S
?；对于③任何一个集合必有一个真子集，不正确，例如
?没有真子集；对于④A∩B=S，S为全集，则
?A，S?B，所以正确．故答案为：④．
题七： a ≤ 2． 详解：B={x|x≥a-1}
① a=1,则A=R ,满足AUB=R ② a>1，则A={x|x≥a或x≤1} ∴ a?1≤1 ∴ a ≤ 2
即1< a ≤ 2
③ a<1,则A={x|x ≤ a或x ≥1} 满足AUB= R
（以上都可以利用数轴帮助理解） ∴ a的范围是a ≤ 2． 题八： C．
详解：∵全集U={x∈R|x2≤4}={x|?2≤x≤2}， ∵|x+1|≤1??1≤x+1≤1??2≤x≤0 ∴集合A={x∈R||x+1|≤1}={x|?2≤x≤0} 所以：?UA={x|0＜x≤2}． 故选：C．
题九： b＝－1，c＝－6. 详解：∵A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}
＝{x|－2≤ x≤1}，B＝{x|1< x≤ 3}， ∴A∪B＝{x|－2≤ x≤ 3}．
∵(A∪B)∩C＝?，(A∪B)∪C＝R， ∴全集U＝R.
∴C＝{x|x<－2或x>3}．
∵C＝{x|x2＋bx＋c>0}，∴x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}， 即方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2和x2＝3， 由一元二次方程根与系数的关系， 得b＝－(－2＋3)＝－1，c＝(－2)×3＝－6.
题十： （1）1；（2）2；（3）m>5或m<－3. 详解：A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|[x－(m－2)][x－(m＋2)]≤ 0，x∈R，m∈R}＝{x|m－2≤ x≤ m＋2}
(1)∵A∪B＝A，∴B?A，如图
?m－2≥－1?m≥1有：?，∴?，∴m＝1.
?m≤1?m＋2≤3?m－2＝0
(2)∵A∩B＝{x|0≤x≤3}∴?，∴m＝2.
?m＋2≥3
(3)?RB＝{x|x
题十一： （1）5；（2）m详解：（1）∵
?7或m??2.
4], A?[?2,4]，B?[m?3,m]，AB?[2，∴??m?3?2 ∴m?5
?m?4（2）CRB?{xx?m?3,或x?m}∵A?CRB∴m??2,或m?3?4，
∴m
?7或m??2
10或m?3 . 3详解：∵AB是单元素集，
题十二：
m??y?3?x,x??0,3?与y??x2?mx?1有一个交点，
即方程x2?(m?1)x?4?0在?0,3?有一个根,
???0?(1)?m?10??3 ??2解得m?3
(2)f(0)?f(3)?0 解得m?(3)若x?0,方程不成立。
10 3(4)若x?3,则m?在
131042 ,此时方程x?x?4?0的根为x?3或x?333，
?0,3?上有两个根 ,不符合题意。
?10或m?3 . 3综上m
题十三： 21．
详解：根据题意，M的所有含有2个元素的子集有28个，
但其中有{1，2}与{2，4}，{3，6}，{4，8}只能取一个，{1，3}与{2，6}只能取一个，{1，4}与{2，8}只能取一个，{2，3}与{4，6}只能取一个， {3，4}与{6，8}只能取一个．共7组不符合则k的最大值是28?7=21；故答案为21．
题十四： ??ab??ajbj??min?i,i??min?,?，
??biai??bjaj??20． 21详解：根据题意，对于M，含2个元素的子集有15个， 所以从中任选两个Si，Sj，的所有选法有105个， 由题意可得不符合题意的共有三组，
分别为：{1，2}、{2，4}、{3，6}；{1，3}、{2，6}；{2，3}、{4，6}， 所以不符合题意的选法共有5个， 所以符合题意的选法共有100个，
所以其发生的概率为
题十五： 2009．
2010020?．故答案为：． 2110521详解：对于M的任一非空子集Z={n1，n2，n3，…}， 可找出它的对称集Z′={2009?n1，2009?n2，2009?n3，…}． 例如：当Z={1，2，4，6}，则Z′={2003，2005，2007，2008} 对于M的所有非空子集Z和它的对称集Z′，分成两种情况： A）Z=Z′ B）Z≠Z′
设Z的最大数与最小数分别为max，min
如果Z=Z′，则max+min=max+（2009?max）=2009
如果Z≠Z′，则Z′的最大数与最小数分别为2009?min，2009?max， Z与Z′中最大数与最小数之和的算术平均数为 [（max+min）+（2009?min+2009?max）]÷2=2009
以上说明对M的所有非空子集分类后，每个类中Z的最大数与最小数之和的算术平均数都等于2009，故所求的算术平均数也是2009，故答案为2009．
题十六： ①S3=11，②Sn=2n+1?n?2．
详解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n?1次．
故有2n?1个子集含1，有2n?2个子集不含1含2，有2n?3子集不含1，2，含3 有2k?1个子集不含1，2，3…k?1，而含k． 所以Sn=2n?1×1+2n?2×2+…+21×（n?1）+n Sn=n?1+（n?1）?2+…+2?2n-2+1?2n?1…① 所以2Sn=n?2+（n?1）?4+…+2?2n?1+1?2n…② 所以①?②可得?Sn=n?（2+4+…+2n?1+2n） 所以Sn=2n+1?n?2，所以S3=11． 故答案为①S3=11，②Sn=2n+1?n?2．
所以其发生的概率为
题十五： 2009．
2010020?．故答案为：． 2110521详解：对于M的任一非空子集Z={n1，n2，n3，…}， 可找出它的对称集Z′={2009?n1，2009?n2，2009?n3，…}． 例如：当Z={1，2，4，6}，则Z′={2003，2005，2007，2008} 对于M的所有非空子集Z和它的对称集Z′，分成两种情况： A）Z=Z′ B）Z≠Z′
设Z的最大数与最小数分别为max，min
如果Z=Z′，则max+min=max+（2009?max）=2009
如果Z≠Z′，则Z′的最大数与最小数分别为2009?min，2009?max， Z与Z′中最大数与最小数之和的算术平均数为 [（max+min）+（2009?min+2009?max）]÷2=2009
以上说明对M的所有非空子集分类后，每个类中Z的最大数与最小数之和的算术平均数都等于2009，故所求的算术平均数也是2009，故答案为2009．
题十六： ①S3=11，②Sn=2n+1?n?2．
详解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n?1次．
故有2n?1个子集含1，有2n?2个子集不含1含2，有2n?3子集不含1，2，含3 有2k?1个子集不含1，2，3…k?1，而含k． 所以Sn=2n?1×1+2n?2×2+…+21×（n?1）+n Sn=n?1+（n?1）?2+…+2?2n-2+1?2n?1…① 所以2Sn=n?2+（n?1）?4+…+2?2n?1+1?2n…② 所以①?②可得?Sn=n?（2+4+…+2n?1+2n） 所以Sn=2n+1?n?2，所以S3=11． 故答案为①S3=11，②Sn=2n+1?n?2．