第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存
在量词课时规范训练 理 北师大版
[A级 基础演练]
1．(2015·高考课标卷Ⅰ)设命题p：?n∈N，n>2，则綈p为( )
2n2nA．?n∈N，n>2 B．?n∈N，n≤2 C．?n∈N，n≤2
2
2
nnD．?n∈N，n＝2
2
2n解析：因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命题“?n∈N，nn2n＞2”的否定是“?n∈N，n≤2”．故选C.
答案：C
2．(2016·山东泰安模拟)如果命题“綈(p∨q)”为真命题，则( ) A．p，q均为真命题 B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题 D．p，q中一个为真命题，一个为假命题
解析：因为綈(p∨q)为真命题，所以p∨q为假命题，所以p，q均为假命题，故选B. 答案：B
3．(2014·高考湖北卷)命题“?x∈R，x≠x”的否定是( ) A．?x?R，x≠x B．?x∈R，x＝x C．?x?R，x≠x
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D．?x∈R，x＝x
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解析：全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论． 答案：D
4．在“綈p”，“p且q”，“p或q”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，那么p，q的真假为p________，q________.
解析：∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．
又“p∧q”为假，∴p，q一个为假，一个为真． 而“綈p”为真，∴p为假，q为真． 答案：假 真
5．(2016·锦州调研)命题“任意x∈R，x－x＋1≤0的否定是________．” 解析：全称命题的否定是特称命题，故“任意x∈R，x－x＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x－x＋1>0”．
答案：存在x∈R，x－x＋1>0
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2
?π?6．(2015·高考山东卷)若“任意x∈?0，?，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小
4??
值为________．
?π??π?解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间?0，?上恒成立，即y＝tan x在?0，?4?4???
1
?π?上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在?0，?上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小
4??
值为1.
答案：1
7．写出下列命题的否定，并判断其真假． 12
(1)p：任意x∈R，x－x＋≥0；
4(2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：存在x∈R，x＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x＋1＝0.
12
解：(1)綈p：存在x∈R，x－x＋<0，假命题．
4
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
2
(3)綈r：任意x∈R，x＋2x＋2>0，真命题．
3
(4)綈s：任意x∈R，x＋1≠0，假命题．
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8．已知命题p：任意x∈[1,2]，x－a≥0，命题q：存在x∈R，x＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．
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2
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1； q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，
只需Δ＝4a－4(2－a)≥0， 即a＋a－2≥0?a≥1或a≤－2， 所以命题q：a≥1或a≤－2. 由?
?a≤1，?
2
2
??a≥1或a≤－2
得a＝1或a≤－2，
∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.
[B级 能力突破]
1．(2016·四川绵阳模拟)下列说法中正确的是( )
A．命题“任意x∈(0，＋∞)，2>1”的否定是“存在x0?(0，＋∞)，2x0≤1” B．命题“任意x∈(0，＋∞)，2>1”的否定是“存在x0∈(0，＋∞)，2x0≤1” C．命题“若a>b，则a>b”的逆否命题是“若a
解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，同时，全称量词要变成特称量词，而逆否命题既要否定条件又要否定结论，且前后交换位置，故选B.
答案：B
2．(2016·济南一中高考仿真)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x－a≥0”，命题q：“存
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2
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2
2
2
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xx 2
在x∈R，x＋2ax＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤2或1≤a≤2
C．a＞1
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D．－2≤a≤1
2
解析：p为真时，a≤x，x∈[1,2]，a≤1，q为真时，Δ＝(2a)－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，当綈p∧q为真时，∴p为假，q为真，a＞1.
答案：C
3．(2016·郑州高考模拟)下列说法中错误的是( )
A．已知两个命题p，q，若p∧q为假命题，则p∨q也为假命题 B．实数a＝0是直线ax－2y＝1与2ax－2y＝3平行的充要条件
C．“存在x0∈R，使得x0＋2x0＋5＝0”的否定是“对任意x∈R，都有x＋2x＋5≠0” D．命题p：?x∈R，x＋1≥1；命题q：?x∈R，x－x＋1≤0，则命题p∧(綈q)是真命题
解析：对于A，若p为真命题，q为假命题，则满足p∧q为假命题，但是p∨q为真命题，A错误；对于B，直线ax－2y＝1与2ax－2y＝3平行的充要条件为－2a－(－2)×2a＝0，解得a＝0，B正确；对于C，由特称命题的否定为全称命题可知C正确；对于D，易知p为真命题，q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，D正确．综上所述，故选A.
答案：A
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4．已知命题p：x＋2x－3>0；命题q：>1，若綈q且p为真，则x的取值范围是
3－x________．
x－2
解析：因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，<0，即2 ??x>1或x<－3， 假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，由? ??x≥3或x≤2 2 2 2 2 2 ， 得x≥3或1 故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 答案：(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 5．(2016·济南模拟)给定命题p：对任意实数x都有ax＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么实数a的取值范围为________． 解析：当p为真命题时， ??a>0， “对任意实数x都有ax＋ax＋1>0成立”?a＝0或? ?Δ<0，? 2 2 2 ∴0≤a<4. 当q为真命题时， “关于x的方程x－x＋a＝0有实数根”?Δ＝1－4a≥0， 2 3 1∴a≤. 4 ∵p∨q为真命题，p∧q为假命题， ∴p，q一真一假． 1 ∴若p真q假，则有0≤a<4，且a>， 41 即 a<0或a≥4，??则有?1 a≤.??4 即a<0. ?1?故实数a的取值范围为(－∞，0)∪?，4?. ?4??1?答案：(－∞，0)∪?，4? ?4? 6．(2016·河北衡水调研)直线x＝1与抛物线C：y＝4x交于M，N两点，点P是抛物→→→ 线C准线上的一点，记OP＝aOM＋bON(a，b∈R)，其中O为抛物线的顶点． →→ (1)当OP与ON平行时，b＝________； (2)给出下列命题： ①?a，b∈R，△PMN不是等边三角形； →→ ②?a<0且b<0，使得OP与ON垂直； ③无论点P在准线上如何运动，a＋b＝－1恒成立． 其中，所有正确命题的序号是________． →→ 解析：(1)∵OM＝(1,2)，ON＝(1，－2)， →→→ ∴OP＝aOM＋bON＝(a＋b,2a－2b)． →→ ∵OP∥ON，∴2a－2b＋2(a＋b)＝0， ∴a＝0.∵抛物线的准线为x＝－1，点P在准线上，∴P点的横坐标为－1，∴a＋b＝－1，∴b＝－1. (2)对于①，假设△PMN是等边三角形，则P(－1,0)，|PM|＝22，|MN|＝4，|MN|≠|PM|，5→→→→ 这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP与ON垂直，OP·ON＝0，得到a＝ 3 2 b，∴②正确；③显然成立． 答案：(1)－1 (2)①②③ 4