一、选择题
1. （2012山东枣庄，6，3分）抛物线y?ax2?bx?3经过点（2，4），则代数式8a?4b?1的值为 A．3 B．9 C．15 D．?15 答案:C
2. （2012四川广元，5，3分）若二次函数y值为（ ） A．1
B．
?ax?bx?a?2（a、b为常数）的图像如图，则a的
222
C．—
2
D．—2
【答案】C
3. （2012黑龙江鸡西，8，3分）已知二次函数y?ax2?bx?c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论；①abc
＞0②b2?4ac＜0 ③4a—2b+c＜0 ④b=－2a 则其中结论正确的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C.②③ D.①④
y 0 1 3 x
12第8题图
【答案】B
4. (2012贵州黔西南州，10，4分)如图4，抛物线y=
x2＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且
A(－1，0)，点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，m的值是( )
A．
2540 B．
2441 C．
2340 D．
2541
【答案】B
5. （2012贵州黔南州，8，4分）已知抛物线y?x?x?1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m?m?2011的值为（ ）
A．2009 B．2012 C．2011
22 D．2010
【答案】B
6.（2012广西南宁，9，3分）如图3在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是
y??12y ?x?m?2?nx y??14?x?h?图3
2?k
C．k＜n
D．h＜0，k＜0
A． k＝n 【答案】B
B．h＝m
7. （2012广西南宁，12，3分）已知二次函数y＝ax＋bx＋1，一次函数y?k(x?1)?任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为
A．a＝1，b＝2 C．a＝－1，b＝2 【答案】B
8. （2012广西北海，7，3分）已知二次函数y＝x－4x＋5的顶点坐标为（ ）
A．（－2，－1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，1） 【答案】B
9. （2012福建龙岩，9，4分）下列函数中，① y = x ② y=—2x + 1 ③ y??时，函数值y随x的增大而增大的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B
1x2
2
k24，若它们的图象对于
B．a＝1，b＝－2 D．a＝－1，b＝－2
④ y = 3x，当x<0
2
10. （2012甘肃白银，9,3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0 时x的取值范围是（ ）
y-10第9题图3x
A. x＜?1 B. x＞3 C. ?1＜x＜3 D. x＜?1或x＞3 【答案】C
11. （2012辽宁鞍山7，3分）如图，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（-1，0），下面的四个结论∶
①OA=3 ②a?b?c?0 ③ac?0 ④b2?4ac?0； 其中正确的结论是（ ）
A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ①②
【答案】A
12. （2012齐齐哈尔，8，3分）已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，现有下列结论： ①abc?0 ②b2?4ac?0 ③c?4b ④a?b?0,则其中正确的结论的个数是 （ ）
A． 1个
B．2个
C． 3个
D．4个
【答案】B
13. （2012湖南郴州7,3分）抛物线y=(x－1)2+2的顶点坐标是 A.( －1,2) B. (－1, －2) C. (1,－2) D. (1,2) 【答案】：D
14. （2012湖北鄂州，7，3分）把抛物线y?x?bx?4的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所
得到的图象的解析式为y?x?2x?3，则b的值为（ ） A. 2 【答案】B 15. 16. 17. 18.
二、填空题
1. （2012山东枣庄，16，4分）二次函数y?x2?2x?3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
22 B. 4 C. 6 D. 8
y 1 -1 O -1 1 2 3 x （第16题图）
答案:x1＜x＜x2
2. （2012贵州黔南州，18，5分）如图10，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在
抛物线y??x2?6x上，设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l则l与m的函数解析式为___________．
【答案】l??2m2?8m?12
?x2(x?2)?3. （2012广西贵港，18，2分）若直线y?m（m为常数）与函数y??4的图像恒有三个不同的交
(x?2)??x点，则常数m的取值范围是_____________。 【答案】0 4. （2012新疆，11,5分）当x= 时,二次函数y=x+2x-2有最小值. 答案：-1 5. （2012新疆乌鲁木齐，14，4分）函数y=x2+mx－4，当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 . 【答案】m≤－4 6.（2012吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y = a(x-3)2 + k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 . 2 【答案】18 7. （2012湖北咸宁，16，3分）对于二次函数y=x2－2mx－3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=－1； ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为－3. 其中正确的说法是__．（把你认为正确说法的序号都填上） 【答案】①④（多填、少填或错填均不给分） 8. 9. 10. 三、解答题 1. （2012四川泸州，26，11分）如图，二次函数y??12x?mx?m?212的图象与x轴相交于点A、B（点A 在点B的左侧），与y轴相交于C点，顶点D在第一象限。过点D作x轴的垂线，垂足为H。 （1）当m?32（2）当60° ≤ ∠ADB ≤ 90°时，求m的取值范围； 时，求tan∠ADH的值； （3）设△BCD和△ABC的面积分别为s1、s2，且满足s1?s2，求点D到直线BC的距离。 1?3?25 【答案】解：（1）当m?时，y??x2?x?2???x???,………1分 2222?2?8325,），与x轴的交点A（-1 ，0），B（4，0）， 283525 ∴DH = ，AH = ???1??.……………………………………2分 2283132 顶点D（ 5 ∴tan∠ADH = 4?2?.………………………………………3分 25DH5812??12AH (2)y??12x?mx?m?2?x?m?2??m?1?22,…………………4分 ∴顶点D(m,?m?1?22)，与x轴的交点A（-1，0），B（2m+1，0），…5分 ∴DH??m?1?22,AH?m???1??m?1,∴tan∠ADH?m?1?m?1?22?2m?1. 当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°， 当∠ADH = 30°时， 2m?1?33,∴m?23?1. 当∠ADH =45°时， 2m?11≤m≤23?1. …………7分 ?1,∴m?1.∴ 12 （3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，设过点B（2m+1，0），C（0，m+1?k??,??2m?1?k?b?0,??2 的直线的解析式为：y?kx?b,则?所以? 11b?m?.?b?m?.?2?2?） 即y??12x?m?12.……………………8分 12x?m?12?m?12, 当x?m时，y?? ∴M（m,m?12）。 ……………………9分 m?12m(m?1)2 ∴DM??m?1?22??. AB = （2m+1）-（-1）= 2m+2， 又∵S?DBC?12DM?OB,S?ABC?12AB?OC, ∵S?DBC?S?ABC, ∴m?m?1?21????2m?1???2m?2???m??. 2?? 又∵抛物线的顶点D在第一象限，∴m＞0，解得m =2.…………………10分 5 当m = 2时，A（-1，0），B（5，0），C（0，）， 2 ∴BC = 5?5?25????2?2?25,∴S?ABC?1212?6?52?152. 设点D到BC的距离为d，∵S?DBC? ∴?21525?d?152.∴d?655. 65BC?d, 答：点D到直线BC的距离是5.………………………………………11分 2. （2012云南省，23 ，9分）（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y??交y轴于点A。抛物线y??12213x?2 交x轴于点P， x?bx?c的图像过点E ( -1 , 0 )，并与直线相较于A、B两点。 (1)求抛物线的解析式（关系式）； (2)过点A作AC?AB交x轴于点C ，求点C的坐标； (3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得?MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由。 【答案】 解：(1) 因为直线y??(6 , 0)； 13x?2与y轴交于A点，与x轴交于P点，所以可求得：A、P两点的坐标分别为：(0 , 2)、 抛物线y??12x?bx?c的图像过点E ( -1 , 0 )，A(0 , 2)两点得： 2?2?c ?1?? ?12?0???(?1)?b(?1)?c ?2??2?c?2 123?y??x?x?2 解之得：? 所以：322?b??21231(2) 抛物线y??x?x?2的图像与直线y??x?2相较于A、B两点。则有： 223 ?13x?2??12x?232x?2 解之得：x1?0 x2?113, 79)， 113 代入：y??13x?2得： y1?2 y2?79即A、B两 点的坐标分别为：(0 , 2) (因为AC?AB，所以有?AOP∽?COA则：AO2?CO?PO即：22?6CO CO?所以C点坐标为(?23 , 0) 23 (3) 除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得?MAB是直角三角形。 ①、（以M点来做直角顶点） 设M点的坐标为(x , 0)过B点作BL?OP垂足为L. 43yA21BP12M（x,0）3E–2–1OC–1–2x7L456所以就有：?AOM∽?MLB OAML?OMBL?OAOL?OM?OMBL ?2113?x?x79?x=33?18585?x= x1=11?6665 11+65611-65和x2= 所以M点的坐标为 ,0) 6②、（以B点来做直角顶点）过点B作M3B?AB交x轴于点M3点， M1 (611-65,0)或M2 (11+65 43yA21BP123E–2–1OC–1–2x7M4356 这个M点的第三个点同样使得?MAB是直角三角形, ?MBA?900 ；那么有： PB?=7910，PA?23=203(73)+(279) 22+622=210 PC?6+ 因为：?PBM3∽?PAC 10PM9则有： =?=? 20PAPC2103707092PM=? OM=OP-PM=6- 27272792,0) 所以点M3的坐标是：(27综上所述得：除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得?MAB是直角三角形。 PBPM7坐标分别是： (11-656,0)、 (11+656,0)、(9227,0)。 3. （2012黑龙江绥化，23，6分）如图，二次函数y=ax2－4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（－4,0）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点P，满足S?AOP=8.请直接写出点P的坐标。 y A O x ?c=0 【答案】解：（1）由已知条件得? 2a?(-4)-4?(-4)+c=0? 解得：a=－1,c=0 ∴此二次函数的解析式为y=－x－4x (2)点P的坐标是：（－2,4）、（－2+22，－4）、（－2－22，－4） 4. （2012黑龙江龙东，23,6分）（本题满分6分） 2 如图，抛物线y=x＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标． 2 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得 ?c?0?b??2，解得?，∴解析式为y=x2－2x； ??4?2b?0?c?0（2）顶点为（1，-1），对称轴为:直线x=1； (3)设点B的坐标为(a，b)，则 12×2|b|=3， ∴b=3或b=-3． ∵顶点纵坐标为-1，-3＜-1 （或x2-2x=-3中，x无解） ∴b=3，∴x2-2x=3，解得x1=3，x2=-1 ∴点B的坐标为（3，3）或(-1，3)． 14.5. （2012黑龙江鸡西，23，6分）如图，抛物线y??12x?bx?c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， 2且OA=2，OC=3， ⑴求抛物线的解析式. ⑵若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若 存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由. b2 注：二次函数y?ax?bx?c（a≠0）的对称轴是直线x??. 2ay C A O ·D B x 【答案】⑴由已知条件得A（—2，0），C（0，3） 则??c?3??2?2b?c?0 ?c?3??1解得b? ?2? ∴此二次函数的解析式为 y??12x2?12x?3 ⑵连接AD交对称轴于P，则P为所求的点. 设直线AD解析式为y=kx+b 已知得???2k?b?0?2k?b?2 1??k?2? 解得 ?b?1?∴直线AD解析式为y? ∵对称轴为直线：x?? ∵当x? ∴P（ 121212b2ax?1 ?12 时y?5454 ，） 6.（2012海南，24，13分）如图12，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON （1）求该二次函数的关系式. （2）若点A的坐标是（6，-3），求△ANO的面积. （3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①证明：∠ANM=∠ONM ②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由. 【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，-4），∴设二次函数的关系式为y=a?x-4?-4。 2 又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴0=a?0-4?-4，解得a= ∴二次函数的关系式为y=?x-4?-4，即y=412214。 142x-2x。 （2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，-3）代入得-3=6k，解得k= - ∴直线OA的解析式为y= -∴M（4，－2）。 又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。 ∴S?ANO?12?6?4?12。 12x。 把x=4代入y= -12x得y=-2。 y 12。 l （3）①作AH⊥x轴于H， 设A点坐标为（m， 14m142，（m＞4） ?2m） D H B A x 2 则OH= m，AH=2m? 由△OMD≌△OAH 得 ODDM?OHAHm O M P 得DM=8—m. ∴M（4， m—8）. ∵点M、N关于点P对称. ∴N（4，—m） 则直线MN的解析式为y= m4x?2m N 直线MN与x轴交于点B（8，0） ∴OD=BD=4.∵DN⊥OB. ∴ON=BN. ∴∠ANM=∠ONM ②由题意可知∠ANO不可能为直角. ⑴当∠AON=90°时. 此时M（4， m—8） ∵点M、N关于点P对称 ∴N（4，—m）. ∴DN= m 易证△OMD≌△NOD ∴ ODDM?DNODy l M A B O D ∴16=m（m-8） 解得m1=4?42，m2?4?42（不合题意舍） x P ∴A（4?42，4） ⑵当∠OAN=90°时.作AH⊥x轴于H，NE⊥AH于E. 则OH= m，AH=2m?N（4，—m）.∴AE= 1414mm. 22?m， N NE= m—4.易证△OAH≌△ANE OHy AH?AENE.解得m1=m2?4（不合题意舍）. l D M H A B x O P E ∴A（4?42，4）. 7. （2012贵州黔南州，25，12分）（12分）如图，对称轴为x=3的抛物线y?ax2?2x与x轴相较于点B、O． （1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标； （2）连接A、B，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、 O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（平面几何有个结论：如果两直线垂直，那么它们的斜率的乘积为－1，坐标轴所在直线除外） N 【答案】（1）∵点B与O（0，0）关于x＝3对称， ∴点B坐标为（6，0）． 2将点B坐标代入y?ax?2x得：36a?12?0，∴a??13． ∴抛物线的解析式为y??当x＝3时，y??13213x?2x． 2?3?2?3?3，∴顶点A的坐标为（3，3）． （2）设直线AB的解析式为y?kx?b． ∵A（3，3），B（6，0）， ∴??6k?b?0，?3k?b?3. 解得??k??1，?b?6. ∴y??x?6． ∵直线l∥AB且过点O， ∴直线l解析式为y＝－x． ∵点P是l上一动点且横坐标为t， ∴点P坐标为（t，－t）． 当P在第四象限时（t＞0）， S＝S?AOB＋S?OBP ＝ 1?6?3?1?6??t 22＝9?3t． ∵0＜S≤18， ∴0＜9＋3t≤18． ∴－3＜t≤3． 又∵t＞0， ∴0＜t≤3． 当P在第二象限时（t＜0）， S＝S梯形ANMP＋S?ANB－S?PMO ＝＝ 1212[3?(?t)](3?t)?(t?3)?212?3?3?12(?t)(?t) 92?12t 2＝?3t?9． ∵0＜S≤18， ∴0＜－3t＋9≤18． ∴－3≤t＜3． 又∵t＜0， ∴－3≤t＜0． ∴t的取值范围是－3≤t＜0或0＜t≤3． （3）存在，点Q的坐标为（3，3）或（6，0）或（－3，－9）． （说明：点Q坐标答对一个给1分） 8. （2012广西柳州，24，10分） 已知：抛物线y?34(x?1)?3． 2（1） 写出抛物线的开口方向、对称轴． （2） 函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小值）． （3） 设抛物线与y轴的交点为P，与x的交点为Q，求直线PQ的函数解析式． 【答案】 （1）开口向上 对称轴：x?1 （2）函数y有最小值：当x?1时，y??3 （3）抛物线y?34(x?1)?3与y轴的交点为P，则点P的坐标为(0,?294)；与x轴的交点分别为 Q1(3,0)、Q2(?1,0) 则lPQ的解析式为：y?134x?9494 则lPQ的解析式为：y??294x? 9.（2012广西柳州，26，12分） 如图，?ABC中，AB=2，AC?BC?5 （1） 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图．请你分别写出A、B、C三点的坐标； （2） 求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式； （3） 若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S?ABD?12S?ABC； （4） 如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A?、B?，与y轴交于点C?，当平移多少个单位时， 点C?同时在以A?B?为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料） ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 【答案】 （1）A(?1,0)、B(1,0)、C(0,2) （2）y??2x?2 （3） 2 ∵S?ABD?12AB?OC?1212S?ABC?14AB?yD ∴yD?OC?1 即：yD??1 ∵点D在抛物线y??2x2?2上 ∴?2x2?2?1 解得：x1?2?2x?2??1 解得：x3?2262 x2?? x4??2262 即：D1( 即：D3(2262,1) D2(?22,1) 6,?1 ),?1) D4(?2（4） 如图所示： 可求得：C?(0,2?2h2)，A?(h?1,0)，B?(h?1,0) 即：OC??2?2h2?2(1?h2)，OA??1?h，OB??1?h ∵A?B?为圆的直径 ∴?A?C?B??90? 且OC?⊥A?B? 222OC??OA??OB??(2?2h)?(1?h)(1?h)∴ 222?4(1?h)?(1?h)解得：h1?1，h2??1（舍去）h3?综上所述，当向右平移1或 3232 设抛物线向右平移了h个单位，则平移后的解析式为：y??2(x?h)2?2，依题意可知：0?h?1 ，h4??32（舍去） 个单位时，点C?同时在以A?B?为直径的圆上 附：阅读材料 一元二次方程常用解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程 42求解，如解方程：y?4y?3?0． 22解：令y?x(x?0)，则原方程变为：x?4x?3?0，解得x1?1，x2?3． 2当x1?1时，即y?1，∴y1?1，y2??1． 2当x2?3时，即y?3，∴y3?3，y4??3． 3，y4??3． 所以原方程的解是：y1?1，y2??1，y3?再如方程x?2?4x?2，可设y?10. （2012广西贵港，26，12分） 222x?2，用同样的方法也可求解 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?3的顶点为M（2，?1），交x轴于A、B两点，交y 2 轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2?PB2?PC2?35，求点P的坐标，并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。 【答案】解：（1）把M（2，?1）和（3，0）代入y?ax2?bx?3得 ì4a+2b+3=-1ìa=1???? 解得所以y?x2?4x?3 íí?????9a+3b+3=0?b=-4（2）由当y=0时x2?4x?3?0解得x1=1,x2=3 ∴A（1，0），AB＝2 又∵C（0，3）B（3，0）∴△COB是等腰直角三角形 ∴点A（1，0）关于直线CB的对称点是A/（3，2） 把C（0，3），A/（3，2）代入直线CD的解析式y=kx+b得 ì1?ì?b=3k=-?1?CDy=-x+3 得?，所以直线的解析式是í3í??3k+b=23???b=3??（3）由y?x?4x?3得y=(x-2)-1，所以M（2，-1） ∵C（0，3）B（3，0）,设点P（2，m），如图连结PB、PC，作PN垂直OC于N ∴PM=(-1-m),PB=1+m,PC=2+(3-m) ∵PM?PB?PC?35 22222∴(-1-m)+1+m+2+(3-m)=35解得m1=-2??,m2=2222222222222103 ∴P(2,-2)或P(2, 103) 当P(2,-2)时，直线OP与该抛物线交点的个数是0个 当P(2, 103)时，直线OP与该抛物线交点的个数是2个 11. （2012广东肇庆，25，10分）已知二次函数y?mx2?nx?p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)， x1?0?x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO－ tan∠CBO＝1， (1)求证:n+4m＝0; (2)求m、n的值; (3)当p＞0且二次函数图象与直线y?x?3仅有一个交点时，求二次函数的最大值. 【答案】解: (1) 把2代入顶点横坐标得?n2m?2，∴n +4m＝0. (2) ∵已知二次函数图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，且由(1)知n ＝－4m， ∴x1?x2＝?nm＝??4mm＝4， x1x2＝pm. OCOA∵x1?0?x2，∴在Rt△CAO中，tan∠CAO＝＝OC?x1， 在Rt△CBO中，tan∠CBO＝OCOB＝OCx2 ∵tan∠CAO－ tan∠CBO＝1，∴ OC?x11－ OCx2＝1. ∵x1?0?x2，∴OC＝|p|≠0. ∴?x1－1x2＝?1OC＝?1p.即x1?x2x1x2??1p. ∴4pm??1p.∴p＝－4m|p|. ①当p＞0时 m＝－14，n＝1. ②当p＜0时 m＝14，n＝－1. 14x?x?p 2(3) 当p＞0时，二次函数表达式为y??12??y??x?x?p∵二次函数图象与直线y?x?3仅有一个交点，∴方程组?仅有一个解. 4?y?x?3?∴一元二次方程x?3????14x?x?p，即?214x?3?p?0有两个相等根. 2∴△＝02?4x???1????p?3?＝0，解得p＝3. 4?14x?x?3＝?2此时，二次函数表达式为y??∵a＝－1414?x?2?2?4 ＜0，∴y有最大值4 12. （2012广东河源，21,9分） (1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2－4q≥0)的两根为x1,x2.求证:x1+x2=－p,x1·x2=q. 22 (2)已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A 、B两点,且过点(－1,－1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d取得最小 值并求出该最小值. 2 【答案】解：(1) x+px+q=0 x2+px+((x+ P22 P2) 2=－q+( p2P2) 2 ) = ?4q4 ∵p2－4q≥0 ∴x+ p2?4q4≥0 p2P2=?P2??4q22, x2=－ p2x1=－ p?4q2P2?p2?4q22 所以x1+x2=－=－p, x1·x2=(－= p2P2??4q2－ P2?p?4q2P2?p2?4q2)(－ P2?p2?4q2) 4?p2?4q4 =q (2) 因为抛物线y=x2+px+q过点(－1,－1) 2 所以－1=(－1)－p+q. p－q=2.∴q=p－2 令y=0,得x2+px+q=0,∵抛物线y=x2+px+q与x轴交于A 、B两点, ∴p2－4q>0 AB=d=|x1－x2|. d=|x1－x2|=( x1－x2)=( x1+x2)－4x1x2=p－4q= p－4(p－2)= p－4p+8= p－4p+4+4=(p－2) +4. ∵(p－2)2≥0,∴(p－2)2+4≥4.∴当p=2时,d2取得最小值为4. 13. 、（2012广东佛山，22，8分）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y?ax2?bx?c的解析式； 222222222 ①y随x的变化的部分数值规律如下表： X -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 ②有序数对（-1,0）、（1，4）、（3,0）满足y?ax2?bx?c ③一直函数y?ax2?bx?c的图象的一部分（如图）。 （2）直接写出二次函数y?ax2?bx?c的三个性质。 【答案】（1）①依题意可知：二次函数过（-1,0）（0,3）（3,0） 代入y?ax2?bx?c中得： 0?a(?1)2?b(?1)?c 3?c 0?32?a?3b?c 解之得： a=-1,b=2,c=3 ∴y??x2?2x?3 ②依题意可知：将（-1,0）（1,4）（3,0）代入y?ax2?bx?c中得： 4?a?b?c 0?32?a?3b?c 解之得： a=-1,b=2,c=3 ∴y??x2?2x?3 ③通过观察图像过（-1,0）（0,3）（1,4）代入y?ax2?bx?c中得： 0?a(?1)2?b(?1)?c 1?a??256a?32?c?10?∴? 解得 ?8 ?16a?8?c?4?c?10?∴a的值为 18，c的值为10. （1） 在y = x 中，当y=5时，x=5. ∴点Q的横坐标为5. 由（2）知，抛物线的解析式为y?当y=5时， 18218x?2x?10. 2x?2x?10=5，解得x=8?26. ∴点P的横坐标为8?26. ① 当点P在点Q左侧时，线段PQ的长为5?(8?26)?26?3 ② 当点P在点Q右侧时，线段PQ的长为(8?26)?5?26?3. ∴线段PQ的长为26?3或26?3. （4）当0≤m＜4或12≤m＜16 时，d随m的增大而减小. 18. （2012湖南邵阳23,10分）如图（十一）所示，已知抛物线C0的解析式为y=x2-2x ⑴求抛物线C0的顶点坐标； ?、Cn（n为正整数） ⑵将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、① 求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标； ② 试确定抛物线Cn的解析式。（直接写出答案，不需要解题过程） y提示：抛物线y=ax2+bx-1(a?0)的顶 2b4ac-b?，点坐标?对称轴，?-?4a??2aC0C1. . .Cnx=-b2a. O图（十一） 【答案】 解：⑴∵y=x-2x=?x-1?-1 22A1A2x ∴抛物线C0的顶点坐标为（1，-1）； ⑵当y=0时，则有x2-2x=0，解得：x1=0, x2=2 ∴O?0,0?，A1?2,0? ① 将抛物线C0每次向右平移2个单位，得到抛物线C1， 此时抛物线C0与x轴的交点O?0,0?、A1?2,0?也随之向右平移2个单位， ∴抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：A1?2,0?、A2?4,0?； ②抛物线Cn的解析式为：y=x-?4n+2?x+4n-4n 2219.（2012齐齐哈尔，23，6分） 如图，抛物线y??12x?bx?c与x轴交点A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3． 2（1） 求抛物线的解析式 （2） 若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上， 是否存在一点P，使得?BDP的周长最小， 若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 注：二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴是直线x??b2a 【答案】 （1）由已知条件得A(?2,0)，C(0,3) ?c?3 ??2?2b?3?0?解得：b?12，c?3 12x?2∴此二次函数的解析式为y??12x?3 （2）连接AD交对称轴于点P，则P为所求的点 设直线AD的解析式为：y?kx?b ??2k?b?0?2k?b?2由已知得：?12 解得：k?，b?1 121x?1 ∴直线AD的解析式为：y?对称轴为直线：x??b? 当x?12时，y?54∴P(152,4) 20. 21. 2a2