5.2.2 平行线的判定（二）
2018年上期
〔教学目标〕1、掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题；2、初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程。
〔重点难点〕直线平行的条件及运用是重点；会正确的书写简单的推理过程是难点。 〔教学过程〕 一、复习导入
我们学习过哪些判断两直线平行的方法？
〔投影1〕（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行。
（2）平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。
（3）两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 二、例题
〔投影2〕 例 在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?
b1c2a
答：这两条直线平行。 ∵b⊥a c⊥a（已知） ∴∠1=∠2=90°（垂直的定义）
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）
你还能用其它方法说明b∥c吗？
方法一： 如图（1），利用“内错角相等,两直线平行”说明；方法二：如图（2），利用“同旁内角相等,两直线平行”说明.
b12ca
b12ca
（1） （2）
注意：本例也是一个有用的结论。
例2 〔投影3〕 如图，点B在DC上，BE平分∠ABD,∠DBE=∠A,则BE∥AC,请说明理由。
E A
D B
C
分析：由BE平分∠ABD我们可以知道什么？联系∠DBE=∠A，我们又可以知道什么？由此能得出BE∥AC吗？为什么？
解：∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE（角平分线的定义）
又∠DBE=∠A
∴∠ABE=∠A（等量代换）
∴BE∥AC(内错角相等，两直线平行)
注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。 四、课堂练习
〔投影2〕1、如图，∠1=∠2=55°，试说明直线AB，CD平行？．
A E 1 3 2 C
1dea23b4B
F
cD
1题 2题
2、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗??为什么?
作业：
课本17面7，18面12题（提示：画图说明）。
补充题：如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.
D2C1A
B
第五章复习二（5.2）
一、双基回顾
1、平行线：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线。 2、两条直线的位置关系： .
〔注〕这里指不重合的两条直线，两条直线重合视为一条直线。 [1]判断正误并改错：
①两条直线不相交就平行，不平行就相交； ②在同一平面内，两条线段不相交就平行； ③两条直线的位置关系有：相交、垂直、平行.
3、平行公理：经过直线 有且只有 与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和 平行，那么这两条直线 。
4、同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在截线的 ，被截直线的 的两个角叫做同位角；在截线的 ，被截直线 的两个角叫做内错角；在截线的 ，被截直线 的两个角叫做同旁内角。
[2]指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。
A E
B D C
5、平行线的判定
（1） ，两直线平行； （2） ，两直线平行； （3） ，两直线平行.
[3]如图，判断DE∥AC的条件有哪些？依据是什么？
A E B
D
F C
二、例题导引
例1 如图，下列推理中正确的有〔 〕 ① 因为∠1＝∠2，所以BC∥AD； ② 因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；
0
③ 因为∠BCD+∠ADC=180,所以BC∥AD； ④ 因为∠BCD+∠ADC=180,所以BC∥AD.
B 2 1 0
A
4 3 D
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
C
例2 如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2，你能推断哪两条线段平行？说明理由。
A D 1 B 3 2 E C
例3 如图，已知AC⊥AE,BD⊥BF, ∠1＝∠2,AE与BF平行吗？为什么？
E A F C 1 D 2 B
三、练习提高
夯实基础
1、下列说法正确的有〔 〕
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,不相交的两条线段平行;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是〔 〕
A.平行或相交 B.垂直或相交 C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交 3、如图,点E在CD上,点F在BA上,G是AD延长线上一点. (1)若∠A=∠1,则可判断_______∥_______,因为________. (2)若∠1=∠_________,则可判断AG∥BC,因为_________. (3)若∠2+∠________=180°,则可判断CD∥AB,因为____________.
GD1E2C
AFB
3题
4、如图，光线AB、CD被一个平面镜反射，此时∠1=∠3，∠2=∠4，那么AB和CD的位置关系是 ，BE和DF的位置关系是 .
A 1 E 2 C 3 4 F D BA
4题 5题
B CD
5、如图,一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行,若一个拐角∠ABC=72°,则另一个拐角∠BCD=_______时,这个管道符合要求.
6、不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互〔 〕 A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交
7、如图,AB∥EF,∠ECD=∠E,则CD∥AB.说理如下:
∵∠ECD=∠E（ ）
∴CD∥EF( ) 又AB∥EF（ ）
∴CD∥AB( ). 8、根据下列要求画图.
BDECFA
(1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC;
(2)如图(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;
(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB?的延长线交于
点F.
APADCBC
OB
AB
（1） （2） （3） 9、如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
D2C1AB
10、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗??为什么?
de1234abc3A12D4c
4132a
6578
10题 11题 13题
能力提高
11、如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是〔 〕
A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2; C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD
12、在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______. 13、如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:?①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④
14、在同一平面内的三条直线，若其中有且只有两条直线互相平行，则它们交点的个数是〔 〕
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 17、已知,如图,点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗?试用两种方法说明理由.
FDE21BCb
ABC
18、如图所示，已知AB、CD被EF所截,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD，且∠1+∠2=900,试说明AB∥CD.
A C
F E 1 2 G
B D
探索创新
19、如图，当∠BEF=∠B,∠BED＝∠B＋∠D时，AB与CD有什么位置关系,试说明理由。
A E C
D B F
5.3.1 平行线的性质
[教学目标] 经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的性质,并能用它们进行简单的推理和计算.
[重点难点] 直线平行的性质是重点；区别平行线的性质和判定，综合运用平行线的性质和判定是难点。
[教学过程] 一、复习导入
怎样判定两条直线平行？
这就是说，利用同位角、内错角和同旁内角可以判定两条直线平行，反过来，两条直线平行，同位角、内错角和同旁内角各有什么关系呢？
二、平行线的性质
利有练习本上的横线画两条平行线a∥b，然后画一条直线c与这两条直线相交，标出所形成的八个角,如图。
15 34ab26 7 8
角 度数 ∠1 ∠2 ∠3 c ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度量这些角的度数,把结果填入表内： 哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系? 哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?
再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,这种数量关系还成立吗? 那么由此你得到怎样的事实：
1、平行线被第三条直线所截,同位角相等,简单说成：两直线平行, 同位角相等. 2、平行线被第三条直线所截,内错角相等,简单说成：两直线平行, 内错相等. 3、平行线被第三条线所截,同旁内角互补,简单说成：两直线平行, 同旁内角互补.
思考：平行线的性质与平行线的判定有什么关系？ 由角的数量关系得出两条直线平行是“判定”,由两条直线平行得出角的数量关系是“性质”，因此，两者的条件和结论正好互换。
你能根据性质1,推出性质2吗?
如上图，∵a∥b ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等) 又∠3=∠1(对顶角相等) ∴ ∠2=∠3.
对于性质3，你能写出类似的推理过程吗？ 三、例题
如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠D=100°,∠C=115°, 梯形另外两个角分别是多少度? 分析：梯形有什么特征？∠A与∠D、∠B 与∠C有什么关系?
解：∵AB∥CD ∴∠A+∠D=1800，∠B +∠C=1800
∴∠A=1800－∠D=1800－1000=800
DC
AB
∠B=1800－∠C=1800－1150=650
答：梯形的另外两个角分别是800，650。
四、课堂练习
课本21面练习1、2。 五、课堂小结
这节课我们学习了平行线的性质，要注意平行线的性质与平行线的判定的区别与联系，以便我们能准确地运用。 作业：
课本22面1题，23面2、3、4、5题。
5.3.2命题、定理
[教学目标] 1、了解命题、定理、证明的含义,会区分命题的题设和结论。 [重点难点]命题及组成是重点；区分命题的题设和结论是难点。 [教学过程] 一、情景导入
我们平常说的话细究起来是有区别的，例如，“你吃饭了吗？”与“今天天气不好”就有区别，前一句表示疑问，没有作出判断，后一句作出了判断。数学中象这类对某件事情作出判断的语句还很多，值得我们研究。
二、命题
再来看几个句子：[投影1]
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③相等的角是对顶角;
④如果两条直线不平行,那么内错角不相等； ⑤同位角相等。
这些语句都对某一件事情作出了“是”或“不是”的判断，象这样判断一件事情的语句，叫做命题。
思考：[投影2] 下列语句是命题吗？为什么？
① 蓝蓝的天空白云飘；②这不是坑人吗？③画AB∥CD。 不是命题。因为它们只是对某件事情进行了陈述，表达了疑问，并没有作出判断。 二、命题的构成
命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。例如，上面命题①中，“两条直线都与第三条直线平行”是已知事项，是题设，“这两条直线也互相平行”是由已知事项推出的事项，是结论。
有些命题的题设和结论不明显，怎样才能找出题设和结论呢？我们可以将它们改写成“如果……那么……”的形式。例如，上面命题⑤可改写成：如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
请你把上面的命题②、③改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论。
三、命题的真假
上面的命题中有正确的，也有错误的，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如果是真命题，题设成立，那么结论一定成立，如果是假命题，题设成立，不一定能保证结论成立。
要确定一个命题是真命题，必须通过推理证实，推理的过程叫做证明，通过证明是真的命题叫做定理，定理是推理的依据；要确定一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
探究：[投影3] 下面的命题是真命题，还是假命题？ 1、锐角小于它的余角；
22
2、若a＞b则,a＞b.
3、如图，如果∠1=∠2，CE∥BF，那么AB∥CD；
A C
1 E 2 B D
F
1、是假命题，如650角的余角是350，而650大于350。
22
2、是假命题，如当a=－3,b=－2时a＞b，而a＜b。 3、是真命题。
证明：∵CE∥BF ∴∠C=∠2（两直线平行，同位角相等） 又∠1=∠2（已知）
∴∠C=∠1（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 四、课堂练习
[投影4]1、判断下列句子是不是命题：
（1）平行用符号“∥”表示；（2）你喜欢数学吗？（3）熊猫没有翅膀。
2、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设与结论。 （1）等角的补角相等；（2）负数之和仍为负数；（3）两点确定一条直线。
3、如图，如果AC∥DE，∠1=∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题，还是假例题？
A 2 B
C
D 1 E
五、课堂小结 1、命题及构成；
2、公理、定理、证明的概念. 作业：
课本23面6题；24面7、8、11、12题。课外完成24面9、10题。
5．4 平 移
〔教学目标〕①经历欣赏、观察、分析图形的过程，理解平移的概念，探索平移的性质；②通过动手操作，学会平移后图形的画法；③学会用运动的观点分析问题，在欣赏和操作中获得数学美的熏陶.
〔重点难点〕平移的性质和作平移后的图形是重点；作平移后的图形是难点。 〔教学过程〕 一、情景导入
仔细观察下面的图案，它们有什么共同特点？ 它们都是由一些相同的部分组成的。
能否根据其中相同的部分绘制出整个图案？若能，请你想象可以怎么绘制？ [投影2]
这种绘制方法实际上就是平移。那么究竟什么是平移？平移有哪些性质？下面我们就来探讨一下。 二、平移的性质
探究：如何在一张半透明的纸上,画出一排形状大小如图5.4-2的雪人? [投影3]
可以把半透明的纸盖在图5.4-2上，先描出一个雪人，然后按同一方向陆续移动这张纸，再描出第二个、第三个……
观察：在所画的相邻两个雪人中，找出鼻尖A ，帽顶B,纽扣C的对应点A′、B′、C′,连接这些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长度有什么关系？
[投影4－5]
可以发现：AA′∥BB′∥CC′,且AA′=BB′=CC′
请你用平推三角尺的方法验证三条线段是否平行, 用刻度尺度量三条线段是否相等. 再作出一些其他对应点的线段,它们是否仍有前面的关系? 归纳：[投影6]
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
②新图形中的每一个点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等.
三、平移的概念
一个图形沿着某个方向移动一定的距离,图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移. ．．．．
注意：图形平移的方向,不一定是水平的，也不一定是竖直的，如图 [投影7－8]。
滑雪运动员的的滑行是平移吗？
平移在我们日常生活中是很常见的.利用平移可以制作出很多美丽的图案，请欣赏：[投影9]
滑雪运动员的的滑行是平移吗？是
你能举出生活中一些利用平移的例子吗？ 如在笔直公路上跑着的汽车，工厂里传送带上的产品，大厦中电梯的升降……[投影10－12]
四、平移作图
例[投影13 ] 如图,平移三角形ABC,使点A移动到点A′.画出平移后的三角形A′B′C′.
A'B'A'C'AABCB 分析：“点A移动到点A′ ”这句话告诉我们什么？ 平移的方向和距离。
解：连接AA′,过点B作AA′的平行线l,在l上截取BB ′=AA′,点B ′就是点B的对应点. 类似地，你能作出点C的对应点C′ 吗？
连接A′B′,B′C′，A′C′,则△A′B′C ′ 就是平移后的三角形.
反思：1、作平移后的图形必须知道平移的方向和距离；2、作平移后的图形只须作出几个关键点。
五、课堂练习
1、[投影14]下图中，图形(2)可以通过图形(1)平移得到吗？
C （1） （2） （1） （2）
（1） （2） （1） （2）
2、[投影15] 在下面的六幅图案中，（2）（3）（4）（5）（6）中的哪个图案可以通过平移图案（1）得到？
3、[投影16]将图中的小船向左平移四格.
六、课堂17]
1、什么是平移？平移的条件是什么？ 2、平移有哪些性质？
3、平移作图形的依据是什么？怎样作平移后的图形？ 作业：
课本30面1、2、3、4、5题。
第五章复习三（5.3－5.4）
一、双基回顾
1、平行线的性质：
（1）两直线平行， ； （2）两直线平行， ； （3）两直线平行， 。
0
[1]如图，∵AB∥EF（ 已知 ）∴∠A+ =180（ ） ∵DE∥BC（ 已知 ）∴∠DEF= （ ）
∠ADE= （ ）
A E C D B
小结[投影
2、命题： 叫命题； 命题是由 组成的；命题有 和 两种。
[2]把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行。”改写成“如果……，那么……”的形
式，并指出它的条件和结论。
3、平移：图形的平移必须具备两个基本条件，一是 ；二是 。 4、平移的性质：（1）把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新的图
形与原图形的 完全相同；（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移得到的，这两个点是 ，连接各组对应点的线段 。 [3]下面 2，3，4，5 幅图中图[ ]是由图1平移得到的. F
1 2 3 4 5 二、例题导引
例1 如图,已知∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数.
E
A1G
2BM P
CN 3F
Q 4DH
例2 如图,已知B、E分别是AC、DF上的点,∠1=∠2,∠C=∠D.
(1)∠ABD与∠C相等吗?为什么. (2)∠ A与∠ F相等吗?请说明理由.
D(1E2FA
例3 将图中的三角形向左平移四格，再向下平移二格。
三、练习升华
夯实基础
1、下列运动不是平移的是〔 〕
A、屋檐下滴落的雨点 B、飞机在跑道上滑行
C、篮球在中飞行 D、电梯中的人
2、如图所示,△DEF经过平移可以得到△ABC,那么∠C的对应角和ED的对应边分别是〔 〕
A.∠F,AC B.∠BOD,BA C.∠F,BA D.∠BOD,AC
BC(
5
ADBE
AE1BDOFCC2F
2题 3题
3、如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,若∠1=∠2,?则∠AEF+∠CFE=________.
4、如3题图,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有[ ]
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
5、如图,在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通, 则乙地所修公路的走向是_________,因为 .
北北甲56?O a P 5题 8题
6、设a、b、c为同一平面内的三条直线,下列判断不正确的是[ ] A.设a⊥c,b⊥c,则a⊥b B.若a∥c,b∥c,则a∥b C.若a∥ b,b⊥ c,则a⊥ c D.若a⊥ b,b⊥ c,则a⊥ c
7、把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”形式是___________.
8、建筑工人要测验墙壁是否竖直，如图所示，可先在一条狭长的木板上面画一直线a，使其平行于木板的一边，再在线的上端O处钉一只钉子，挂下一条铅垂线OP，然后把板的这一边紧贴墙壁，这时如果OP能跟a线重合，则墙壁便是竖直的，是因为 .
9、如图9所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC的度数.
乙A2D1B
C
10、如图,已知E、A、B在一条直线上,AD∥BC,AD平分∠EAC,则∠B＝∠C，试说明理由.
EABCD
能力提高
11、如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是[ ] A、△OAB B、△OCD C、△OAF D、△OEF
5
EA B O F E
DACD BC
11题 13题
12、一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进, 这两次拐弯的角度是
[ ]
A.向右拐85°,再向右拐95°; B.向右拐85°,再向左拐85° C.向右拐85°,再向右拐85°; D.向右拐85°,再向左拐95°
13、如图2所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,?那么∠BDC等于
A.78° B.90° C.88° D.92°
14、平面内三条直线的交点个数可能有〔 〕 A、1个或3个 B、2个或3个
C、1个或2个或3个 D、0个或1个或2个或3
15、如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,若∠EFG=50°,求∠AEG的度数.
AGM
EDBFCN
16、如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G, ∠1＝∠2,试问ED∥BC吗？说说你的理由。
A E D 1 G F
2
C
B
探索创新
17、如图，直线AB、CD被EF所截，EH是∠GEF的平分线，GF是∠EFC平分线，EH和GF有什么位置关系，试说明理由。由此猜想，∠MEB平分线与∠MFD的平分线有什么位置关系？
M A
G C
N
F
E H D
B
本章小结
一、知识结构
相两条直交线三条直线所截两条直线被第邻补角、对顶角 垂线及其性质 对顶角相等 点到直线的距 相交线 同位角、内错角、同旁内角 平行线 平行公平 移 判 定 性 质 二、回顾与思考
1、在平面内，不重合的两条直线的位置关系有哪几种？
2、下面是本章学到的一些数学名词，你能用自己的语言给它们一个简短的描述吗？你能画出一个图形来表示它们吗？
对顶角 邻补角 垂直 平行 同位角 内错角 同旁内角 平移
3、什么叫垂线？什么叫垂线段？垂线有哪些性质？ 4、什么是两点间的距离？什么是点到直线的距离？
4、怎样判断两条直线平行？平行线有什么性质？平行线的性质和直线平行的判定方法有什么关系？
5、图形平移时，图形的大小和形状有什么关系？连接各对应点的线段有什么关系？ 6、什么叫命题？命题的结构是什么？怎样确定一个命题是真命题还是假命题？ 三、例题导引
例1 如图，已知AB∥CD，∠A=∠C，用三种方法说明BC∥AD。
A D C B
例2 B∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG?平分∠BEF,若∠1=72°,求∠2的度数。
AC1EB2FGD
例3 如图所示,已知AB∥CD,探索下列二个图形中∠P与∠A,∠C的关系。
APCDBAP
BCD
四、布置作业
课本35面复习题5。 13题课外完成。