第三章作业题解答
1、 计算能量在E?EC到E?EC?100(h2/8mn*L2)之间单位体积的量子态数。 解：导带底EC附近每单位能量间隔内的量子态数为：
1V(2mn*)3/2gC(E)?(E?EC)2 32??则在导带底EC附近dE能量间隔之间的量子态数为gC(E)dE。 在导带底EC附近dE能量间隔之间的单位体积的量子态数为
gC(E)dE。 V故能量在E?EC到E?EC?100(?2?2/2mn*L2)之间单位体积的量子态数为：
gC(E)?dEECV13/2EC?100(?2?2/2mn*L2)V(2m*)n??(E?EC)2dE 3EC2???1000?/3L3Z??EC?100(?2?2/2mn*L2)2、试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为
(2mn*)3/2gC(E)?4?V(E?EC)(没有布置这一题)
h3证明：Si、Ge在导带底附近的等能面为沿主轴方向的旋转椭球面，设其极值为EC,则
E(k)?k关系为：
h2k12?k22k32E(k)?EC?(?)
2mtml与椭球的标准方程：
k12k22k32?2?2?1 2abc比较得：a?b?[2mt(E?EC)1/22ml(E?EC)1/2]c?[] ，22hha,b,c即k空间等能面（旋转椭球）的三个半径，故椭球体积为：
44?V??abc?3(8mlmt)1/2(E?EC)3/2
33h对应能量为E?E?dE范围内两椭球壳之间体积为：
dV?dVdE dE2?(8mlmt2)1/2(E?EC)1/2dE 3h设晶体体积为V，则其量子态密度为2V（考虑自旋），故在能量空间dV体积内的量子态
即 dV?数为：
dZ?2V?2?(8mlmt2)1/2(E?EC)1/2dE 3h因为导带极值在k空间有S个，所以状态密度为：
(8mlmt2)1/2dZgC(E)??S?4?V(E?EC)1/2 3dEh又mn*?mdn?S2/3(mlmt2)1/3
(2mn*)3/21/2(E?E)所以 gC(E)?4?V C3h
3、 当E?EF为1.5k0T,4k0T,10k0T时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电
子占据各该能级的概率。 解：费米分布函数为：f(E)?1 ％P69 (3-10)式
E?EF1?exp()k0T?E?EFk0T玻尔兹曼分布函数为：fB(E)?e ％P71 (3-13)式上面
将E?EF＝1.5k0T,4k0T,10k0T分别代入得：
f(E)＝18％，1.8％，0
fB(E)?22％，1.8％，0
5、利用表3-2中的mn*,mp*数值，计算Si、Ge、GaAs在室温下的NC,NV及本征载流子浓度。（没有布置这一题） 解：从表3-2中查得：
mn*：Si、Ge、GaAs分别为1.08m0，0.56m0，0.068m0
mp*：Si、Ge、GaAs分别为0.59m0，0.37m0，0.47m0 Eg：Si、Ge、GaAs分别为1.12eV，0.67eV，1.428eV
计算NC,NV及本征载流子浓度ni的公式：
(2?mn*k0T)3/2NC?2 ％P72 （3-18）式
h3NV?2(2?mp*k0T)3/2h3 ％P73 (3-23)式
ni?4.82?10(15mp*mn*m02)T3/43/2exp(?Eg2k0T) %P75 (3-33)式
将Si、Ge、GaAs的mn*,mp*值、k0T、Eg值、分别代入得：
NC：对Si、Ge、GaAs分别为2.8?1025,1.06?1025,4.5?1023(m?3) NV：对Si、Ge、GaAs分别为1.1?1025,5.7?1024,8.2?1024(m?3)
ni：对Si、Ge、GaAs分别为7.9?109,2.1?1013,2.2?106(cm?3)
7（1）在室温下，Ge的有效状态密度NC?1.05?1019cm?3,NV?5.7?1018cm?3，试求Ge的载流子有效质量mn*,mp*。计算77K时的NC和NV。已知300K时，Eg?0.67eV。77K时Eg?0.76eV。求这两个温度时Ge的本征载流子浓度。
(2?mn*k0T)3/2解：（1）由公式NC?2 ％P74 (3-18)式 3h NV?2(2?mp*k0T3)/h32 ％P74 （3-23）式
将NC、NV、k0T、h的数值代入可解得：
mn*?5.1?10?31kg，mp*?3.3?10?31kg
（2）将mn*、mp*和T=77K代入NC、NV公式得：
NC?1.37?1024(m?3)?1.37?1018(cm?3) NV?7.34?1023(m?3)?7.34?1017(cm?3)
（3）本征载流子浓度公式：
ni?(NCNV)1/2exp(?Eg2k0T) %P76 (3-31)式
将NC、NV、Eg、k0、T代入得：
ni_300?2.0?1013cm?3，ni_77?4.5?1011cm?3
13、有一掺磷的n型硅，ND?1015cm?3，分别计算温度为（1）300K;(2)500K（3）800K时导带中电子浓度（本征激发载流子浓度数值查图3-7）。 解：n型Si中电子浓度与温度的关系如图所示：
（1）300K
时，n
型
Si
处于过渡区，杂质全部电离。且
1.5?1010cm?3?ni?ND?1015cm?3?1018cm?3，说明该n型Si是非简并半导体，且本征
激发可忽略。
所以导带电子浓度：n0?nD??ND?1?1015cm?3
（2）500K时，n型Si中杂质已全部电离，且本征激发已经开始起作用（不能忽略）。此时，电中性方程为：
n0?nD??p0?ND?p0
又n0p0?ni,查图3-7得ni_500?3.5?10cm,则可解得：
214?3n0?1.1?1015cm?3
（3）800K时，n型Si处于本征激发区，杂质全部电离，本征激发开始起主要作用。此时，电中性方程为：
n0?nD??p0?ND?p0 （I）
又有 n0p0?ni2 (II)
（II）可解得： 查图3-7得ni_800?9?1016cm?3,则联立（I）
n0?9?1016cm?3
17、施主浓度为10cm的n型Si,计算400K时本征载流子浓度、多子浓度、少子浓度和费米能级的位置。
解：由P77图3-7可查得：T=400K时，本征载流子浓度ni?7?1012cm?3
n型Si处于过渡区，杂质全部电离，且7?1012cm?3?ni?ND?1013cm?3?1018cm?3，说明该n型Si是非简并半导体，且本征激发不可忽略。电中性方程为：
13?3n0?nD??p0?ND?p0 (I)
又有 n0p0?ni2 (II)
13?3??n0?1.36?10cm(多子) 代入ni,ND数值可解得：?12?3??p0?3.60?10cm（少子）反双曲正弦函数： 过渡区，费米能级公式：
sh?1(x)?ln(x?x2?1) ％P83 (3-58)式 EF?Ei?k0Tsh?1(ND)2ni?Ei?(0.035eV)?ln(0.7?0.72?1) ?Ei?0.023eV即费米能级在禁带中线上面0.023eV处。
18、掺磷的n型Si，已知磷的电离能为0.044eV，求室温下杂质一半电离时费米能级的位置和磷的浓度。
解：杂质一半电离时，即电子占据施主杂质能级（未电离）的概率：
fD(E)?1?50%?50%
即： fD(E)＝1?50% %P78 (3-35)式
ED?EF11?exp()2k0T?EF?ED?k0Tln2?ED?0.018eV (*)
又?ED?EC?ED?0.044eV ?ED?EC?0.044eV 代入（*）式得：
EF?Ec?0.062eV
即费
0.062eV处。
【求磷的浓度】因为Ec?EF?0.062eV?2k0T?0.052eV,所以该掺P的n型Si是非简并半导体。室温下，当杂质电离一半时，本征激发还未开始（可忽略），电中性方程为
n0?nD??ND (I) 2 又 n0?NCexp(?EC?EF) (II) %P74 (3-19)式 k0T联立（I）(II)得：
E?EFND?NCexp(?C) （III） 2k0T查表3-2得NC?2.8?1019cm?3，EC?EF?0.062eV，k0T?0.026eV代入（III）式得：
ND?5.2?1018cm?3
16、掺有浓度为1.5?10砷原子/m和5?10铟原子/m的Ge材料，分别计算（1）300K (2)600K时费米能级的位置及多子和少子浓度（本征半导体载流子浓度数值查图3-7）。
解：（1）300K时，半导体处于过渡区，杂质全部电离。且
2332232.4?1013cm?3?ni?ND?NA＝1.0?1017cm?3?1018cm?3，说明该Ge材料是非简并半导
体，且本征激发可忽略。电中性方程为：
n0?pA??nD?
即： n0?NA?ND 解得：n0?1.0?1017cm?3(多子)
ni2(2.4?1013cm?3)2少子浓度p0???5.76?109cm?3(少子) 17?3n01.0?10cm过渡区，费米能级公式：
EF?Ei?k0Tsh?1(ND?NA)2ni?1％P83 (3-58)式
1.0?1017cm?3?Ei?(0.026eV)?sh() 13?32?2.4?10cm?Ei?0.22eV即费米能级在禁带中线上面0.22eV处。
（2）600K时，半导体处于本征激发区，杂质全部电离，本征激发开始起主要作用。电中性方程为：
n0?pA??p0?nD?
即 n0?NA?p0?ND 即 n0?5?10cm16?3?p0?1.5?1017cm?3 （I）
又 p0n0?ni2 (II) 查图3-7得，600K时Ge的本征载流子浓度：
ni?9?1016cm?3 （III） 联立（I）、(II)、(III)式解得：
17?3??n0?1.5?10cm ?16?3??p0?5.3?10cm一般情况下（即既含施主杂质，又含受主杂质），本征激发区，费米能级公式：
?(ND?NA)?[(ND?NA)2?4ni2]1/2?％P92 (3-95)式
EF?Ei?k0Tln??2ni???1.0?1017cm?3?[(1.0?1017cm?3)2?4?(9?1016cm?3)2]1/2??Ei?(2?0.026eV)?ln?? 16?32?9?10cm???Ei?0.028eV即费米能级在禁带中线上面0.028eV处。 20、制造晶体管一般是在高杂质浓度的n型衬底上外延一层n型外延层，再在外延层中扩散B、P而成。
（1）设n型Si单晶衬底是掺锑（Sb）的，Sb的电离能为0.039eV,300K时EF位于导带底下面0.026eV处，计算Sb的浓度和导带中电子浓度。
（2）设n型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为4.6?10cm，计算300K时EF的位置及电子和空穴浓度。
（3）在外延层中扩散B后，B的浓度分布随样品深度变化。设扩散层某一深处B浓度为
15?35.2?1015cm?3，计算300K时EF的位置及电子和空穴浓度。
（4）如果温度升高到500K，计算（3）中电子和空穴的浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。
解：（1）由题意可知：EF?EC?0.026eV,则有EC?EF?k0T，不满足EC?EF?k0T的条件（说明衬底不是非简并半导体，以简并半导体的情况考虑）。EC?EF?k0T属于弱简并的范围（0?EC?EF?2k0T 见P95）。 此时，杂质浓度为：
ND?2NC?[1?2exp(EF?ECE?EC?E)exp(D)]F1/2(F) （I） %P95 (3-112)式 k0Tk0Tk0T19?3已知：?ED?0.039eV,EF?EC??0.026eV,k0T?0.026eV，NC?2.8?10cm（查
P77表3-2得）代入(I)式得：
ND?2?2.8?1019cm?3?[1?2exp(?1)exp(1.5)]F1/2(?1) ?1.36?1020cm?3F1/2(?1)查P94费米积分曲线：F1/2(?1)?0.3 代入 ND表达式得 (2?mn*k0T)3/2NC?2,仅与3 h有效质量和温度有关ND?4.08?1019cm?3
对简并半导体：导带电子浓度n0?NC2?F1/2(EF?EC) %P94 (3-110)式 k0T即n0?2.8?10cm?19?32?F1/2(?1)?9.5?1018cm?3
（2）对外延层：在300K时，处于过渡区，杂质全部电离，且
1.?51031cm0??ni?ND?5?4.cm61?1?038说明外延层是非简并半导体，且本cm?1，10征激发可忽略。则：
过渡区，费米能级：
EF?Ei?k0Tsh?1(ND)2ni?14.6?1015cm?3?Ei?0.026eV?sh() 10?32?1.5?10cm?Ei?0.33eV即费米能级在禁带中线上面0.33eV处。
【求电子和空穴浓度】由上面分析可知，电子浓度n0?ND?4.6?1015cm?3
ni2(1.5?1010cm?3)24?3空穴浓度p0? ??4.9?10cm15?3n04.6?10cm（3）此时外延层既有均匀分布的n型杂质，又有随深度变化的p型杂质，题中某深度处
NA?5.2?1015cm?3,ND?4.6?1015cm?3，该处有效杂质浓度
NA??NA?ND?6?1014cm?3，1.5?1010cm?3?ni?NA??1018cm?3，则该处半导体处
于非简并状态，且300K时，杂质全部电离，本征激发可忽略。
此时费米能级：
EF?EV?k0Tln(NA?ND)NV％P92 (3-101)式
6?1014cm?3?EV?0.026eV?ln() 19?31.1?10cm?EV?0.26eV14?3【求电子和空穴浓度】由上面分析可知，空穴浓度p0?NA??6?10cm
ni2(1.5?1010cm?3)25?3电子浓度n0? ??3.8?10cm14?3p06?10cm（4）如果温度为500K，杂质全部电离，而且本征激发开始起主要作用，不能忽略。 电中性方程为：n0?pA??p0?nD? （I） 杂质全电离：pA??NA，nD??ND (II) 又 n0p0?ni2 (III)
联立（I）、(II)、(III)式，将NA?5.2?1015cm?3,ND?4.6?1015cm?3，ni?3.5?1014cm?3代入解得：
14?3??n0?1.6?10cm ?14?3??p0?7.6?10cm