二、例题精析
例1、已知f(x)?2cos2x?3sin2x?a，若x?[0,],且|f(x)|?2，求a的取值
?2范围.
练习1、函数y?(acosx?bsinx)cosx有最大值2，最小值-1，则实数a= ，
b= .
???练习2、已知函数f(x)?2sin?x???2cosx,6??（1）若sinx????x??,??. ?2?4，求函数f(x)的值； （2）求函数f(x)的值域. 5sinx(0?x??)的最大值.
2?cosxsinx(0?x??)的值域. 练习3、求函数y?2?sinx例2、求函数y?例3、求函数f(x)?cosx?2asinx?a（a为常数）的最大值g(a)；并求出当g(a)?时，f(x)的最小值.
练习4、求函数y??tanx?2tanx?1,x?[?2234??,)的最大值与最小值. 43例4、求函数f(x)?sinx?cosx?sinx?cosx的最大值
练习5、函数y?(1?sinx)(1?cosx)的最大值为_________最小值为__________ 例5、若?,??(0,?2),?????2，且?和?满足条件sin??sin??cos(???).
（1） 用tan?表示tan?；（2）求tan?的最大值.
练习6、已知tan?,tan?是关于x的方程mx?27m?3?x?2m?0的两个实根，
求tan(???)的最小值.
2222例6、实数x,y满足4x?5xy?4y?5，设s?x?y，则
21smaxs?1的值
min为 .
22例7、设实数x,y满足x?y?5，求f(x,y)?|3x?y|?|4y?9|?|7y?3x?18|的最值.
22练习7、实数x,y满足方程x?y?6x?4y?9，则2x?2y的最大值与最小值的和等于 .
练习8、求函数f(x)?2x?31?x(0?x?1)的最大、最小值. 例8、设????2 ，使不等式sin??3mcos??6m?4?0成立，求m的取值范围.
22练习9、定义在(??,3]上的减函数f(x)使得f(a2?sinx)?f(a?1?cosx)对一切
x?R成立，求实数a的范围.
三、巩固练习：
1?cos2x?8sin2x1、当0?x?时，函数f(x)?的最小值为 （ ）
2sin2x?（A）2
（B）23
（C）4
（D）43
2、已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 ( )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1 3、设a?0，对于函数f?x??sinx?a(0?x??)，下列结论正确的是 （ ）
sinx A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 4、已知函数f(x)?11(sinx?cosx)?sinx?cosx,则f(x)的值域是 （ ） 22?2?,1? (C) (A)??1,1? (B) ??2??5、函数y=
?2???1,? (D)
2???2???1,??
2??12sin2+4sinx,x?R的值域是 （ ） 2(A)［-
133121212121,］ (B)［-,］ (C)［? (D)［? ?,?］?,?］2222222222226、设函数y?acosx?b(a,b为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么y?acosx?bsinx的最大值是 .
7、设实数x,y,m,n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是常数，且a?b)，那么mx+ny的最大值是 .
8、已知函数f(x)?sinx?2sinxcosx?3cosx，x?R.求: (I) 函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合； (II) 函数f(x)的单调增区间.
22
9、求函数y＝2cos(x?
?4)cos(x??4)＋3sin2x的值域和最小正周期．
第五讲 三角函数的最值参考答案
二．例题精析
例1、解：f(x)?cos2x?3sin2x?a?1?2sin(2x?)?a?1
?6因为0?x??2，所以
?6?2x??7??. 66所以a?f(x)?a?3.
又因为|f(x)|?2，所以[a,a?3]?(?2,2),
于是
a??2,a?3?2,解得?2?a??1.
练习1、解：
y?acos2x?bsinxcosx?22ab(1?cos2x)?sin2x22?a?basin(2x??)?.22b） a
（其中tan??当sin(2x??)?1时，有ymaxa2?b2a?2，即??2，
22a2?b2a??1，即????1，
22当sin(2x??)??1时，有ymin解得a?1,b??22。 练习2、解：（1）?sinx?4,53???x??,??,?cosx??，
5?2??3?143???2cos?3sinx?cosx? f(x)?2. sinx?cosxx3??2?255????1????5???? （2）f(x)?2sin?x???， ?sin?x???1， ?x????x??6263662???? ? 函数f(x)的值域为[1,2].
例2、解法一：将原函数变形得y(2?cosx)?sinx,
得y2?1sin(x??)?2y（其中?由tan???y决定），
sin(x??)?2yy2?1，应用|sin(x??)|?1，解得?33。 ?x?33又0?x??，则0?y? 解法二：设tan33，故欲求函数的最大值为。 33x2t?t,则原函数变成y?，得yt2?2t?3y?0(y?0). 223?t 利用判别式??4?12y2?0,即3y2?1,又y?0,
解得0?y?33，故y的最大值为。 33 此时，t?x2?1. ?3,即tan?3,x?23y 解法三：由解法二，设tan 即y?x2t?t,则y?(t?0), 223?t23?tt(t?0),
易知函数f(t)?3?t在区间(0,3)为减函数，在[3,??)上为增函数，故tf(t)的最小值为f(3)?23。
y的最大值为223?x2?3，此时t?3，即tan?3,x?。
233 解法四：y的值可看作是过点A(cosx,sinx)和B(?2,0)两点的直线的斜率，点A在半
圆x?y?1(y?0)上运动，作图可知y的范围是(0,223].所以y的最大值3为3。 313练习3、解答：(0,]
例3、解：f(x)?1?sin2x?2asinx?a??(sinx?a)2?a2?a?1，
故当|sinx?a|最小时，f(x)最大。
（1）若a?1，则当sinx??1时，|sinx?a|最小，所以g(a)?a；
（2）若?1?a?1，则当sinx??a时，|sinx?a|最小，此时g(a)?1?a?a2； （3）若a??1，则当sinx?1时，|sinx?a|最小，此时g(a)??3a。 练习4、解：y??tan2x?2tanx?1??(tanx?1)2?2,
?x?[???,)?,43taxn??[1, 3). 当tanx?1，即x??4时，ymax?2，
当tanx??1，即x??例4、解：令t?sinx?cosx??4时，ymin??2。
2sin(x??4)，则t?[?2,2]
t2?1sinx?cosx?
21211t?t?，f(x)的最大值为?2 2223练习5、解：最大值为?2，最小值为0。
2f(x)?g(t)?例5、解：（1）
sin??sin??cos??cos??sin2??sin?,sin?(1?sin2?)?sin??cos??cos?.?cos??0,tan?(1?sin2?)?sin??cos?,sin??cos?sin??cos?tan??tan????.1?sin2?2sin2??cos2?2tan2??1x2（2）令x?tan?(x?0)，则tan??y?，即2yx?y?x?0. 22x?1
??1?8y2?0且y?0，解得0?y?2。 42。 4故tan?的最大值是
练习6、解法一：由tan??tan??27m?3,tan??tan??2, m
及tan(???)?tan??tan?27m?3,可得tan(???)?. ①
1?tan??tan??m ??(?27m?3)2?4m?2m?0, 另外，由题意还可知 7m?3?0 , m?0. 解得
1?m?3. ② 2再由①可得tan(???)??2?结合②，可知，当m?例6、解：填
3717249???2?3(?)?. 2mm612m673. 时，tan(???)有最小值?7382222。理由：易知s?x?y?0,设 x?scos代入4x?5xy?4y?5， ?，5 y?得sin2??ssin?
8s?108s?101010,于是||?1,得?s?，从而 5s5s133smax?1010118,smin?.故??。 313smaxsmin52例7、解：设x?rcos?,y?rsin?(r?0,0???2?)，得r?5，即0?r?则?5?x?5,?5?y?5， 于是4y?9?4(?5)?9?0,
5，
7y?3x?18?7rsin??3rcos??18?r?72?32sin(???)?18?5?58?18?290?18?0从而
f(x,y)?|3x?y|?4y?9?7y?3x?18?|3x?y|?3(x?y)?27?3|rcos??rsin?|?3(rcos??rsin?)?27 ?32r|sin(??（1）当sin(???4)|?32rsin(?4??)?27?4)?0时，即0???3?7????2?, 或
44f(x,y)?32r[sin(???4)?sin(???4)]?27?6rcos??27，
因此，当cos??1时，f(x,y)max?6?5?27?27?65； 当cos???22时，f(x,y)min?6?5(?)?27?27?310.
22（2）当sin(???4)?0时，即
3?7????时， 44f(x,y)?32r[sin(因此，当sin???4??)?sin(?4??)]?27??6rsin??27，
22时，f(x,y)min??6?5?27?27?310；
22当sin???1时，f(x,y)max??6?5?(?1)?27?27?65。 综上可知，f(x,y)max?27?65，f(x,y)min?27?310.
练习7、解：填24。理由：题设方程配方为(x?3)2?(y?2)2?4，于是可设
x?3?2cos?,y?2?2sin?，即x?3?2cos?,y??2?2sin?，
则2x?3y?4cos??6sin??12?213sin(???)?12， 故(2x?3y)min?12?213,(2x?3y)max?12?213.
2练习8、解：因0?x?1，可令x?sin?,??[0,?2]，则原函数式变为
3确定，从而2f(x)?g(?)?2sin??3cos??13sin(???)，其中?由tan??f(x)max?13,f(x)min?2
3?cos2??(0???)恒成立， 例8、解：由题意得3m?cos??223?cos2?3}??. 所以3m?max{?2??[0,]cos??22所以m的取值范围为{m|m??}
练习9、解：只要a?1?cosx?a?sinx?3恒成立，由a?1?cosx?a?sinx得
222212a2?a?9192??(sinx?)2，由a?sinx?3,a2?3?sinx，只要a2?a?不小于4249?212?a?a??02?(sinx?)的最大值0和a?3不大于sinx的最小值?1，解?，得 422??a?3??1?2?a?1?10. 2三、巩固练习：1、D 2、A 3、B 4、解析：f(x)??cosx(sinx?cosx)11 (sinx?cosx)?sinx?cosx??22?sinx(sinx?cosx)即等价于{sinx,cosx}min，故选择答案C。 5、解：y?11112???1故选择C。 sin2x?sin2x?sin2x?cos2x??sin?2x???，
2222242??6、5 7、ab 8、 (I) 解法一:
f(x)?1?cos2x3(1?cos2x)??sin2x??1?sin2x?cos2x?2?2sin(2x?) 224?当2x??4?2k???2,即x?k???8(k?Z)时, f(x)取得最大值2?2. 函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x?R,x?k??解法二:
?8(k?Z)}.
f(x)?(sin2x?cos2x)?2sinxcosx?2cos2x?2sinxcosx?1?2cos2x?sin2x?cos2x?2?2?2sin(2x??4)
?当2x??4?2k???2,即x?k???8(k?Z)时, f(x)取得最大值2?2. 函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x?R,x?k??9、解 y?2cos(x??)cos(x??)?3sin2x
?8(k?Z)}.
44?2(1cos2x?1sin2x)?3sin2x22 ?cos2x?3sin2x
?2sin(2x??)6 ∴ 函数y?2cos(x??)cos(x??)?3sin2x的值域是[?2,2],最小正周期是?；
44