数于子式。
根据克莱姆法则：
D11?(?D11dP1??D21dP2?D31(?dm?dP1X1?dP2X2))DD
D21dX2??(?D21dP1??D22dP2?D32(?dm?dP1X1?dP2X2))DDdX1?（1）由于m是给定的，故dm=0。假定P1变化而P2不变，有dP2=0。对dx1?两边除以dp1，得：
?x1?D11D31??x1 ?p1DDD1D（2）假定价格p1,p2不变化，而m变化，对dx1??x1D31? ?mDD1两边除以dm得： D其表示的是x1相对于收入m的变化率，或者说每增加或减少一元钱所带来的需求x1的变化。带入上式得：
?x1?D11?x1??x1 ?p1D?m（3）在希克斯替代效应条件下，效用水平不变，故du?u1dx1?u2dx2?0，即
PdXu1dxup??2。根据消费者均衡条件1?1，所以有：1??2，即u2dx1u2p2P2dX1P1dX1?P2dX2?0。又根据二阶导数的最后一个方程，当P1dX1?P2dX2?0时，?dm?dP1X1?dP2X2?0。因此，假定p2不变，u为常数时：
?x1?D11dp1??D21dp2?D31(?dm?dp1x1?dp2x2)? ?p1D由于?D21dP2?0,?dm?dP1X1?dP2X2?0，故维持原效用水平不变的替代效应。由此可得：
?D?X1?D11?。所以，11就是
D?P1D 36
?x1?x?x?(1)u?常数?(1)p?常数x1 ?p1?p1?m马歇尔需求=希克斯需求+收入效应
Chapter Eight: Reveled Preference
本章主要研究如何从需求信息得到偏好信息。偏好是不能直接观察到的，只能通过观察人们的消费行为来发现他们的偏好。这就是显示偏好的含义。显示偏好是从需求信息中的表现出来的偏好。
一、显示偏好的概念
为了简化分析，我们假定：（1）所有消费者的偏好都是严格凸性的，因此对于一个预算线来说都有并且只有一个最优消费束。（2）所有消费者的偏好都是稳定的，因此给定预算约束只有一个最优选择。偏好的稳定性假设在短期内是合理。
（一）直接显示偏好
假定存在两个商品消费束(x1,x2)和(y1,y2)，其中(x1,x2)处于预算线上，从图8-1中可以看出，根据单(y1,y2)处于预算线的下方并为预算集合中的一点。
调性假设，在给定价格和收入的条件下，消费束(y1,y2)显示出比消费束(x1,x2)要差一些，虽然它也可能被选择。 商品2
· (y1,y2)
37
· (x1,x2)
商品1
用代数形式表示，当(p1,p2,m)时，两个消费束的预算线约束条件为：
p1x1?p2x2?mp1y1?p2y2?m
所以有p1x1?p2x2?p1y1?p2y
其经济学含义是说，如果在(y1,y2)支付得起的条件下，消费者没有选择(y1,y2)而选择了(x1,x2)，那么一定意味着(x1,x2)比(y1,y2)更受偏好。如果这一条件满足，我们就说商品束(x1,x2)是商品束(y1,y2)的直接显示偏好，即(x1,x2)?(y1,y2)。
实际消费数据是可以观察的，而偏好是不可观察的。显示偏好就是要用可观察数据揭示其背后隐含的偏好，用实际消费行为模式推导出导致这一消费的偏好模式。
（二）间接显示偏好
在给定商品价格和收入的条件下可以揭示任意两个消费束的直接显示偏好。但是由于在不同的价格条件下消费者的实际消费选择是不一样的，这样就产生间接显示偏好问题。
假定存在三个实际消费束(x1,x2)、(y1,y2)和(z1,z2)，如果给定价格(p1,p2)在(y1,y2)支付得起的条件下消费者选择了(x1,x2)，即p1x1?p2x2?p1y1?p2y；给定价格(q1,q2)在(z1,z2)支付得起的条件下消费者选择了(y1,y2)，即
q1y1?q2y2?q1z1?q2z2，那我们就说(x1,x2)是(z1,z2)的间接显示偏好。
用代数形式表示，
如果p1x1?p2x2?p1y1?p2y，则(x1,x2)?(y1,y2), 如果q1y1?q2y2?q1z1?q2z2，则(y1,y2)?(z1,z2)，
那么根据传递性原理，一定有(x1,x2)?(z1,z2)。在这种情况下我们就说(x1,x2)是
(z1,z2) 的间接显示偏好。
38
商品2
· (x1,x2)
· (y1,y2)
从图中可以看出，由于在给定(p1,p2)时，选择了(x1,x2)而没选择(y1,y2)；在(q1,q2)下，选择了(y1,y2)而没有选择(z1,z2)。因此，在(p,x)和(q,z)之间，最优选择将是(x1,x2)而不是(z1,z2)。
（三）显示偏好
如果一个商品束是另一些商品束的直接或者间接显示偏好，那么我们就说这个商品数是另一个商品束的显示偏好。如(x1,x2)是上图阴影中所有商品束的直接或间接显示偏好。也就是说，过(x1,x2)点的反映消费者偏好的无差异曲线，不论是什么形状，必定位于阴影区之上。
（四）显示偏好原理
通过以上分析可以看出，如果(x1,x2)先于(y1,y2)被选择(需求行为)，那么对(x1,x2)的偏好就一定超过对(y1,y2)的偏好，即(x1,x2)?(y1,y2)。这一原理描述了由显示偏好到偏好的推理。显示偏好是说在(x1,x2), (y1,y2)都能被购买的情况下，选择的是(x1,x2)而不是(y1,y2),这是从对消费行为的观察中得来的。偏好则是说消费者把(x1,x2)在次序上排在(y1,y2)的前面。这样我们就从需求信息
39
· (z1,z2) 商品1
得到的偏好信息。
二、恢复偏好
即利用观察数据和显示偏好原理推导出反映消费者偏好的无差异曲线。假定消费者的偏好具有单调性和凸性，消费束Y，Z是在不同的价格条件下X的显示偏好商品束。这样我们就可以找出X的显示偏好集合（如下图所示）。如果观察数据足够的多，我们就可以找出所有较差的消费束和较好的消费束的集合。无差异曲线将处于两个集合的中间。 较好的商品束 集合 Y X X Y 较差的商品束 Z 集合 单调性
三、显示偏好公理
理性偏好都符合效用最大化原则，即总是选择最好的商品束。但消费者的行为可能是非理性的。这时就无法用显示偏好原理得出反映良好偏好的无差异曲线，即使得到也没有任何意义。这样我们就需要将不符合效用最大化原则的那些观察数据找出来并剔除掉，以保证显示的偏好是理性的。这就是公理要解决的问题。
加上凸性
40
Chapter one: Introduction
一、资源的稀缺性与合理配置
对于消费者和厂商等微观个体来说，其所拥有的经济资源的稀缺性要求对资源进行合理的配置，从而产生微观经济学的基本问题。
资源配置有两种方式，微观经济学研究市场是如何配置资源，并且认为在一般情况下市场的竞争程度决定资源的配置效率。
二、经济理论或模型的实质
微观经济学是实证经济学，它的绝大多数理论和模型都是对微观活动的客观描述，或者是对现实经济观察所做的解释。由现实抽离出理论，然后再用理论对现实做出解释与分析，这就是经济理论的实质。不同的理论实际上就是对经济现象所做的不同的抽离和解释。
理论模型（model） 经济现实（reality）
基本假设经济变量 函数关系 均衡分析 经济环境影响因素
抽离过程
相互关系经济现象
验证解释
理论从实际中产生 实际对理论的验证
三、经济理论模型的三个标准
任何一个经济学理论模型都必须满足以下三个标准：
（一）要足够简化（no redundant assumption）
指假设的必要性。假设越少模型的适用面越宽。足够简化还意味着应当使用尽可能简单的方法来解释和说明实际问题，应当将复杂的问题简单化而不是将简单的问题复杂化。应当正确看待数学方法在经济学中的应用，奠定必要的数学基
1
础。熟练的运用三种经济学语言。
（二）内部一致性（internal consistency）
这是对理论模型的基本要求，即在一种假设下只能有一种结论。比如根据特定假设建立的模型只能有唯一的均衡（比如供求模型）；在比较静态分析中，一个变量的变化也只能产生一种结果。内在一致性保证经济学的科学性，而假设的存在决定了理论模型的局限性。经济学家有几只手？
（三）是否能解决实际问题（relevance）
经济学不是理论游戏，任何经济学模型都应当能够解决实际问题。在这方面曾经有关于经济学本土化问题的讨论。争论的核心在于经济学是建立在完善的市场经济的基础上的，而中国的市场经济是不完善的，因此能不能运用经济学的理论体系和方法来研究和解决中的问题。两种观点：一种观点认为经济理论是一个参照系，可以用来对比和发现问题，因此具有普遍的适用性；另一种观点认为中国有自己的国情，需要对经济学进行改造或者使之本土化，甚至有人提出要建立有中国特色的经济学体系。
四、经济分析的两大原则 （一）最大化原则（Optimality）
又称理性选择原则（principle of rational selection ），这一原则假定每个经济主体都是“经济人”，并寻求个人利益最大化。最大化原则决定着经济学的预测能力（Power of prediction）。一般说来，经济学不能解释非最大化行为。比如：利他主义、非利润最大化的投资和生产行为，在经济学看来都不符合理性选择原则。
2．均衡原则（equilibrium）
经济活动中的各种因素相互作用会达到某种状态，在这种状态下没有任何压力和动机促使经济主体做出进一步调整或改变，这时各种经济变量达到一种稳定状态，经济学称这种状态为均衡。均衡是经济分析和预测的基础，如果一个经济
2
系统不存在均衡，我们就无法对它进行分析，更无法做出准确的预测。以均衡分析为基础，我们可以进行比较静态分析、对偶分析、包络分析和动态分析等。
根据各经济变量之间互动的方式不同，可以将均衡分为两类：
（1）一般均衡（GE）：以完全竞争为基础，考察所有市场同时达到均衡的条件。它是以局部均衡为基础的消费者、厂商、某一个市场的单独决策为基础。
（2）博弈论（Game）：以寡头竞争为基础，是一种相互决策。具有众多均衡概念。比如优势策略均衡、纳什均衡、精炼纳什均衡、贝叶斯均衡等。
Chapter Two: Budget constraint
一、预算约束
预算约束描述的是在给定商品价格和收入的情况下消费者可以消费的两种商品的数量。用(x1,x2)表示消费者消费的商品束，(p1,p2)表示商品的价格，m表示消费者的收入，预算约束可表示为实际消费支出小于货币收入，即：
p1x1?p2x2?m
设，x2为复合商品，即除x1以外的所有其他商品，令其价格p2?1，则 p2x2?x2。其表示消费者可用于购买其他商品的货币数量。这时预算约束变为：
p1x1?x2?m
如果假设商品消费者的偏好具有局部非饱和的性质，他会将全部收入都用于消费，这时预算约束可以表示为：
p1x1?p2x2?m
二、预算线及其性质
根据预算约束可以画出预算线，它表示在(p1,p2,m)条件下，消费者可以消费的(x1,x2)的组合轨迹。预算线的斜率为负，等于两种商品的价格比率。(图略)
在收入给定的条件下，要增加x1的消费就必须减少x2的消费，因此，它还表
3
示两种商品之间的市场替代比率或者说是相互之间的机会成本。根据预算约束
有：x2?dxpmp1?x1；由此可得：2??1， p2p2dx1p2这说明两种商品的市场替代比率就等于其价格比率。
三、预算线的变动
收入变动：使预算线平行移动。
价格变动：使预算线转动。P1下降P2不动，预算线变得平缓；相反，预算线变得陡峭。P1，P2，M同比例变动预算线不变。
四、计价物（numerare）
所谓计价物就是用来衡量其他变量值大小的某一变量的计价单位。作为计价物的变量有的时候取值为1，这样做的目的是为了减少变量的个数。
在预算约束中可以分别将
p1，p2，m作为计价物，并且令p?p2，可分p1别得到三个不同形式的预算约束，即
x1?px2?m； 当p1=1时，预算约束为：x1?p2x2?m p11m； 当p1=1时，预算约束为：p1x1?x2?m x1?x2?pp2p1px1?2x2?1； 当m =1时，预算约束为：p1x1?p2x2?1 mm最后一个表示一元钱的预算线。它们都表示同一个预算约束。
五、税收、补贴和配给
首先，从量或者从价税和补贴会改变价格，从而改变预算线的斜率。 ? 对商品征税提高价格：从价税（1+ t）p1；从量税 p1+T。 ? 对商品补贴降低价格：从价补贴（1-?）p1；从量补贴 p1-S。
4
其次，总额税（lump-sum tax）和总额补贴会改变收入，从而移动预算线 ? 总额税减少收入，使预算线向原点移动； ? 总额补贴增加收入，使预算线向外移动。
其次，配给限制商品的消费数量，改变预算集。 ? 配给供应会将原来的预算集砍掉一块。 ? 配给和税收混合使用，使预算线出现拐点。
六、食品券计划
1979年以前的食品券计划是对食品的一种从价补贴，使食品的价格下降，预算线向外移动。由于每个家庭最多可以得到153美元的食品券配给，所以超过153美元以后，只能按照非补贴的价格进行消费。故预算线在153美元处有拐点。
1979年以后的计划是一种总额补贴。预算线的斜率不变，只是向右移动。移动的距离取决于每个家庭得到食品券的数量。由于食品券只能够购买食品不能购买其他物品，因此有一个水平线段。
Chapter three: Preference
一、基数效用与序数效用
消费者的目标函数是寻求个人效用的最大化。而效用是人们的主观感受，因此如何衡量效用的大小就成为一个关键问题。在经济学上有两种方法，一种是以基数为基础度量效用，称为基数效用理论；一种是以序数为基础度量效用，称为序数效用理论。
一方面消费者难以用基数衡量所消费商品的效用，另一方面经济分析只需要消费者能够对任意不同的商品数量进行排序，因此序数效用理论取代了基数效用理论。
二、偏好及其表述
5
由于货币侧度效用函数就是最小支出函数，因此需要求解下述最小化问题：
minp1x1?p2x2?ms.t.u?Axxa1?a12
首先，根据一阶导数条件可求出最小支出函数：
?ae(p1,p2,u)?kp1ap12u
其次，用m代替e(p1,p2,u)，v(p1,p2,u)代替u，可得
?av(p1,p2,u)?m/kp1ap12
最后，移项之后可推导出货币度量的效用：
?a直接函数：m(p,x) = kp1ap12u(x1,x2) ?a?a = kp1ap1x1ax122 ?a间接函数：u(p;q,m) = kp1ap12v(q1,q2,u) ?a?aa?1 =p1ap12q1q2m
三、希克斯替代效应和斯勒斯基替代效应 （一）希克斯替代效应
维持原有效用水平不变时的替代效应。由于希克斯替代效应取决于一定的效用水平，因此其包括不可度量因素。 商品2
· x
· z u 商品1
31
（二）勒茨基替代效应
维持原有的消费束支付的起时的替代效应。在斯勒斯基替代效应条件下，消费者的效用水平是可以变化的。斯勒斯基替代效应是可以度量的。
x z u' u
2．二者之间的相互关系
首先，当价格发生微小变化时，二者是相等的；其次，在保持原有消费束支付得起的条件下，原有效用水平一定能够实现。
四、斯勒茨基方程
（一）斯勒茨基方程要解决的问题
研究斯勒茨基方程主要目的是要解决两个问题：一是将价格变化的总效应分解为两部分，即替代效应和收入效应（见原讲稿）。二是要解决希克斯替代效应（或希克斯需求）的不可度量问题。解决不可不可度量问题也有两种方法：第一种方法是用斯勒斯基替代效应替代希克斯效应；第二种方法是通过马歇尔需求来求希克斯需求，这就是方程要解决的问题。其表明希克斯替代效应（或者希克斯需求）等于马歇尔需求减去收入效应。
· 32
（二）斯勒茨基方程的推导——方法一
即根据斯勒斯基需求和希克斯需求的定义，可以直接利用微分方法得出方程的解：
1．根据斯勒斯基需求的定义推导方程
假设原价格为(p1,p2)时的需求为(x1,x2)，故m?p1x1?p2x2。当新价格为
(p1,p2)时，使得原消费束(x1,x2)仍然支付得起的需求即为斯勒斯基需求，表示为x1s(p1,p2,x1,x2)，这时使得原消费束支付得起的收入为：m?p1x1?p2x2。
根据斯勒斯基需求的定义有如下恒等式：
x1s(p1,p2,x1,x2)?x1(x1,x2,p1x1?p2x2)
由于二者的购买力相同，即p1x1?p2x2的购买力与p1X1?p2X2的购买力相同，所以从购买角度看可以将上式写成：x1s(p1,p2,x1,x2)?x1(p1,p2,m)。对其求关于p1的微分可以得到：
?x1s(p1,p2,x1,x2)?x1(p1,p2,m)?x1(p1,p2,m)?m????p1?p1?m?p1??x1(p1,p2,m)?x1(p1,p2,m)??x1?p1?m
?x1(p1,p2,m)?x1s(p1,p2,x1,x2)?x1(p1,p2,m)移项后得到：???x1
?p1?p1?m 总效应 替代效应 收入效应
（马歇尔需求） （斯勒茨基需求）
2．根据希克斯需求定义推导方程：
希克斯需求是指在新价格条件下，维持原有效用水平不变时的需求。由于效用最大化和支出最小化之间的对偶性，它一定等于在新价格下维持原效用水平不变的最小支出时需求，因此有恒等式：
X1h(P1,P2,u)?X1(P1,P2,m)
其中，m是维持原效用水平的最小支出，它可以通过求支出最小化来得到，即
m?e(P1,P2,u)。求上式的关于p1的一阶导数得：
33
?x1h(p1,p2,u)?x1(p1,p2,m)?x1(p1,p2,m)?m????p1?p1?m?p1??x1(p1,p2,m)?x1(p1,p2,m)??x1?p1?m
移项后可以得到：
?x1(p1,p2,m)?x1h(p1,p2,u)?x1(p1,p2,m)???x1
?p1?p1?m马歇尔需求 希克斯需求 收入效应
（三）斯勒茨基方程的推导——方法二
即利用效用最大化的一阶导数条件来求解斯勒斯基方程。
首先，跟据效用最大化问题
u(x1,x2)??maxx1,x2 ???s.t. p1x1?p2x2?m设拉格朗日函数L?u(x1,x2)??(m?p1x1?p2x2)，并求其一阶导数条件，得：
?L?u(X1,X2)???P1?0 ?X1?X1?L?u(x1,x2)???p2?0 ?x2?x2?L?m?p1x1?p2x2?0 ??
其次，对一阶导数求全微分，即考察在满足一阶导数的前提下，所有变量得变化可能对均衡的影响。
?2u(x1,x2)?2u(x1,x2)dx1??P1d???dP1?02?x1?x1?x2?2u(x1,x2)?2u(x1,x2)dx1??P2d???dP2?0
?x2?x1?2x2dm?dp1x1?p1dx1?dp2x2?p2dx2?0 34
?2u(x1,x2)?2u(x1,x2)?2u(x1,x2)?2u(x1,x2)令：u11?，整理后可,u22?,u12?,u21?22?x1?x2?x2?x1?x1?x2以得到：
u11dx1?u12dx2?p1d???dp1u21dx1?u22dx2?p2d???dp2?p1dx1?p2dx2 ??dm?dp1x1?dp2x2方程组中有三个未知数：dx1,dx2,d?，将等式右边看作常数，这样可以考察价格变化时，x1,x2的变化。
再次，利用克莱姆法则求解dx1和dx2：设
u11 u12 ?p1D?u21 u22 ?p2
?p1 ?p2 0
即加边海赛矩阵（或系数矩阵和替代矩阵）。分别将前面等式右边的常数项替代各列系数矩阵中的向量，并用第一列展开，得
?dp1 p1u12 ?p1D1? ?dp2 p2u21 ?p2
?dm?dp1x1?dp2x2 ?p2 0 ??D11dp1??D21dp2?D31(?dm?dp1x1?dp2x2)
其中，D11?u21 ?p2?p2 0 ，D21?u12 ?p1?p2 0 , D31?u12?p1u21?p2， D31?u12?P1u21?P2分
别为第i行第一列代数余子式。
u11 ?dp1 ?p1D2?u21 ?dp2 ?p2?p1 ?dm?dp1x1?dp2x2 0 ??D12dp1??D22dp2?D32(?dm?dp1x1?dp2x2)
其中，D12?u21 ?p2?p1 0 , D22?u11 ?p1?p1 0 , D32?u11 ?p1u21 ?p2分别为i行第二列代
35
明对于互补品来说，消费者的最优选择在不同的价格和收入条件下可能是相同的。
（二）边界最优（线性偏好和凸性偏好）
相交于横轴或者纵轴但并不穿过。这表明在给定商品相对价格的条件下，消费者只选择一种商品进行消费。当边际替代率大于预算线的斜率时，最优选择位于横轴；反之，最优选择处于纵轴。如果边际替代率的斜率等于预算线的斜率，将不存在唯一的最优选择。
（三）多个最优解
当消费者的偏毫不确定时，无差异曲线为一条曲线并可能与预算线有多个切点。在这种情况下，上切点是最优选择，而下切点是非最优选择。
由此可以看出，无差异曲线与预算线相切只是消费者均衡的必要条件，而不是充分条件。充分条件是偏好符合凸性假设。
三、需求函数
需求函数就是在一定价格和收入条件下，消费者愿意并且能够购买的商品数量，可以表示为x1(p1,p2,m)和 x2(p1,p2,m)。求解消费者均衡实际上就是求解需求函数。上面我们已经介绍C-D偏好条件下需求函数的求解方法。下面讨论其它几种偏好条件下需求函数的求解方法。
（一）完全替代品的需求函数
如果两种商品是完全替代的，那么消费者将会购买较便宜的一种；如果两种商品有相同的价格，消费者不会在意购买哪一种。因此完全替代品的需求函数为：
m/ p1 当p1< p2 时 x1 = 介于0和 m/ p1 之间 当p1 = p2 时
0 当p1> p2 时
当x1?m/p1时，随着价格的提高，在收入一定的条件下需求就会减少。因此完全替代品的需求曲线是向右下方倾斜的，满足需求规律。
21
（二）完全互补品的需求函数
在互补的比率为1时，两种商品的消费数量相同，故两种商品的需求相同，即 x1?x2?m。显然，当一种商品的价格给定时，另一种商品的需求随着p1?p2其价格的提高而下降。因此完全互补品的需求也符合需求定理。
（三）中性品和劣等品的需求函数
消费者将把钱花费在他所喜欢的商品上，而不消费任何中性品和劣等品。因此，如果x1是喜爱的商品，x2是中性和劣等品，则x1= m/ p1，而x2 = 0。
（四）离散商品的需求函数
设x1是离散商品，消费者的需求表现为：当p1非常高时，需求x1?0，消费者严格偏好零消费；当p1足够低时，需求x1?1，消费者严格偏好消费一件商品。其需求函数可以表示为：
（1，
m?p1） p2即x1?1,x2?m?p1m 或者 x1?0,x2?。 p2p2离散商品的需求函数还可以用保留价格来描述。对于离散商品x1来说，假如当p1?r1时，消费者认为消费和不消费无差异，这时的价格r1就叫做保留价格，即消费者愿意为获得一件商品而支付的最高价格。
（1）离散商品的需求行为可以用一系列保留价格来描述。比如：当价格为r1时，x1?1；当价格为r2时，x1?2；?。
（2）这些保留价格可用效用函数来描述，比如：当r1时，消费与不消费无差异，故u(0,m)?u(1,m?r1), 据此可求出r1；当r2时，消费1单位商品与消费2单位商品无差异，故有u(1,m?r2)?u(2,m?2r2)，据此可求出r2。在r1时可能消
22
费1个单位，在r2时可能消费2个单位。
（3）如果是拟线性效用函数，描述保留价格的公式就会变得更加简单一些。如果u(x1,x2)?v(x1)?x2，且v(0)?0，那么当r1时，消费与不消费无差异，故有
v(0)?m?m?v(1)?m?r1r1?v(1)
当r2时，消费1单位商品与消费2单位商品无差异，故有
v(1)?m?r2?v(2)?m?2r2r2?v(2)?v(1)依次类推，有 r3?v(3)?v(2) rn?v(n)?v(n?1)
因此，保留价格衡量的是增加一单位商品消费的效用增量（边际效用）。 在这里r是价格，而且r1?r2?r3。随着保留价格的下将消费者愿意消费的商品数量不断增加，故上述公式就是反需求公式。
（五）凹性偏好的需求函数 最优选择永远是边界解，即x1?mm 或者x2?。由于消费者偏好极端消p1p2费，因此在给定价格的条件下其会选择价格相对低的那种商品消费。
四、C-D效用函数的一个性质
Cd在U(x1,x2)?x1消费者在每种商品上花费的货币的数量总是占他x2条件下，
收入的一个固定份额，这个份额的大小由C-D效用函数中的指数来决定。
证明：消费者在x1上的花费为p1x1，占收入比重为：
p1x1p1cmc?()? mmc?dp1c?d同理得证，花费在x2上的比重为Chapter Six: Demand
d。 c?d23
本章主要是利用消费者的最优选择进行比较静态分析，并推导出恩格尔曲线和需求曲线。消费者的需求刻画的是在消费者面临一定的价格和收入条件下的的最优消费数量，因此需求函数的一般形式被表述为商品价格和收入的函数，即：
x1?x1(p1,p2,m)x2?x2(p1,p2,m)
以此为基础，可以分别考察收入和价格变化对消费者均衡的影响。
一、收入变化与提供曲线和恩格尔曲线 （一）正常品和劣等品
当价格不变时，如果消费者对一种商品的需求随着收入的增减同方向变化，这种商品就是正常品，反之就是劣等品。或者说：
?x?x?0时，正常品；当?0时，劣等品。 ?m?m当
（二）收入提供曲线和恩格尔曲线
收入提供曲线是随着收入m变化均衡点的变动轨迹。提供曲线上的任一点表示在不同的收入水平上所需求的商品束。收入提供曲线也叫做收入扩展线。如果两种商品都是正常品，其斜率一定为正。
恩格尔曲线表示的是在所有商品的价格不变时，一种商品的需求如何随着收入水平的变动而变动。用横轴表示x1，纵轴表示m，恩格尔曲线就是x1的最优选择轨迹。
不同的商品具有不同的恩格尔曲线，比如食品和住房。当两条曲线相交时，可以分析在不同的收入水平上消费者对不同商品的需求差异。统计分析表明在比较低的收入水平上，消费者比较多的消费食品，而在比较高的收入水平上，消费者对住房的消费显著增加。
（三）不同偏好条件下的收入提供曲线和恩格尔曲线 1．完全替代
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当预算线的斜率小于无差异曲线时，收入提供曲线与横轴重合；如果预算线斜率大于无差异曲线的斜率，收入提供曲线与纵轴重合。
在第一种情况下，恩格尔曲线的函数关系是：x1?m/p1；恩格尔曲线的斜率是：m/x1?p1。
2．完全互补
当互补比率为1：1时，收入提供曲线为经过原点的对角线。
由于在完全互补的情况下两种商品必须同时消费，因此对一种商品的需求取决于两种商品的价格。所以，恩格尔函数可以表示为x1?m/(p1?p2)；恩格尔曲线的斜率是：m/x1?p1?p2。
3．柯布-道格拉斯偏好
收入提供曲线为经过原点的一条射线。由于消费者将固定比率的收入用于两种商品的消费，且两种商品的恩格尔函数为：x1?am/p1,x2?(1?a)m/p2，因此，恩格尔曲线的斜率是：m/x1?p1/a。
4．相似偏好
对于任意两个消费束(x1,x2),(y1,y2)，如果当(x1,x2)?(y1,y2)时一定有
(tx1,tx2)?(ty1,ty2)，那么这种性质的偏好就称作相似偏好。以上三种偏好都是相似偏好。
对于相似偏好来说，恩格尔曲线的斜率越小，表示需求增长比收入快，那么这种商品就是奢侈品；反之就是必需品。奢侈品和必须品都属于正常品。（从收入了弹性来看，当?m>1时是奢侈品，?m< 1必需品。）
5．拟线性偏好
对于效用函数u(x1,x2)?v(x1)?x2来说，当m增加时，对x1的消费数量不变，
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增加的收入全部用于x2。因此对于x1来说，收入提供曲线为一条垂线，商品x1有“零收入效应”。显然，其恩格尔曲线也是一条垂线。
对于x2来说，其收入提供曲线是一条水平线，而恩格尔曲线是一条截距和斜率都为正的射线。其截距为：m?p1x1，斜率为：(m?p1x1)/x2。
二、价格变化与需求曲线 （一）普通商品与吉芬商品
对于一种商品来说，如果当价格下降时需求增加，那么这种商品就是普通商品；如果当价格下降时需求减少，这种商品就是吉芬商品。
（二）价格提供曲线与需求曲线
价格提供曲线是当价格变动时消费者最优消费点的均衡轨迹。价格提供曲线的斜率可以为正，也可以为负，取决于需求的价格弹性。
由价格提供曲线可以推导出需求曲线，其一定满足以下性质： ①对价格p来说是非正的；②对收入m来说是非负的；③对p和m来说是单调和零次齐次的。
（二）收入效应和替代效应
对绝大多数商品来说，需求与价格反方向变化。价格变化对需求的影响通过两种效应，即收入效应和替代效应。价格变化会改变人们的实际收入水平，从而会增加对商品的消费，这种效应就是收入效应；如果不考虑实际收入的变化，价格变化会促使消费者调整消费结构，用比较便宜的商品来提到较为昂贵的商品，这就是替代效应。这两种效应的总和决定需求的变化。替代效应总是为负的，也就是说价格下降总会促使消费者多消费商品。然而收入效应则可以为正或者为负。因此当收入效应为负（即收入增加而需求反而减少）并且绝对值大于替代效应时，即会出现吉芬现象。
在下一章，我们将专门讨论这个问题。 Chapter Seven: 斯卢茨基方程
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这一章主要用数学方法对收入效应和替代效应进行讨论。由于在经济学中对替代效应有两种描述方法，因此我们也将对有关的概念作简要的介绍。
一、直接效用函数、间接效用函数和支出函数
（一）直接效用函数
就是由商品的消费量所决定的效用函数。其一般描述为：u?u(x)，其中x是向量。在序数效用论中，直接效用函数本身没有经济意义，但是在一定效用值下的消费束x*是有意义的。因此，我们只关心直接效用函数值达到最大时的需求。
（二）间接效用函数
根据约束条件下的极值问题，求出最优选择之后，可以将x*带回间接效用函数中去，从而得到一个新的效用函数，这个效用函数是价格和收入的函数，我们将这个效用函数称作间接效用函数。一般描述为：v(p1,p2,m)。间接效用函数是通过求解下述效用最大化问题得到的，即
maxu?u(x1,x2)s.t.p1x1?p2x2?m
由此：（1）求出马歇尔需求函数：xi(p1,p2,m)，所有变量都可度量。
（2）将其带回目标函数，可以求出间接效用函数 v(p1,p2,m)
（三）支出函数
消费者均衡一般是指在一定的预算约束条件下可以给消费者带来最大效用的商品消费数量。实际上，问题也可以反过来提出，即在一定的效用水平上的最小货币支出数量是多少。支出函数衡量的是与一定的效用水平相对应的在消费者均衡条件下的最小货币支出数量。它是与马歇尔需求函数相对应的最小支出函数，是通过求解下述支出最小化问题得到的，即
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minp1x1?p2x2s.t.u?u(x1,x2)
由此：（1）求出希克斯需求函数：xi(p1,p2,u)，其中包含不可度量因素。
（2）将其带回目标函数，可以求出支出函数 e(p1,p2,u(x))
二、用货币度量的直接和间接效用函数
（一）用货币侧度的直接效用函数
假定在价格向量q条件下与消费束向量x相对应存在一个效用水平u?u(x)。现要考察当价格向量为p时，要达到x所在效用水平需要多少货币数量。这就是货币测度效用函数要研究的问题。这实际上是求达到效用水平u(x)并在价格p条件下的最小支出。用数学形式描述这一问题就是：
minpz
s.t.u(z)?u(x)其中消费束向量z是u(x)上与p相对应的点，如下图所示：
商品2
商品1
z x u?u(x) 28
求解上述问题可得z，代入目标函数可得到最小支出 pz =e(p, u(x))。它表示的就是在价格为p时，为达到u(x)而需要的最小货币数量。
由此，可以定义货币测度直接效用函数m(p,x)，其与上述支出函数具有相同的含义，即 m(p,x) =e(p, u(x))。货币侧度的效用函数与普通支出函数不同的地方是反映价格变化条件下的最小货币支出。上述公式为衡等式表明定义对任意价格都成立。m(p,x) 又称为“最低收入函数”或“直接补偿函数”。
货币侧度的效用函数具有以下三个特点：
（1） 当x不变时，m(p,x)就是支出函数，其对于p具有单调、齐次性。 （2） 当p不变时，其实际上是一个效用函数。因为当价格p不变时，较多的m就意味着较多的x，就会产生较多的效用水平。这时就会有一个处于较高位置的无差异曲线与最小支出曲线相切。
（3）货币侧度得效用函数m(p,x)是直接效用函数u(x)的单调变换。因为u(x)是用消费x时的效用值来反映效用水平；而m(p,x)是用货币数量反映效用水平，使用的度量单位不一样。
（二）货币测度的间接效用函数
货币测度的效用函数，也可以用间接效用函数来定义，即
minpz
s.t.v(p,m')?v(q,m)其中m/q=x, m’/p=z, 所以间接效用函数与直接效用函数相比反映相同的效用水平，但包含的价格和收入都是可度量因素。
求解上述极值问题，可得支出函数e(p,v(q,m))，由此可定义货币测度间接效用函数，即
u(p;q,m)= e(p,v(q,m))
u(p;q,m)的含义是：在价格ｐ的条件下，消费者需要多少货币才能够和他在价格q和收入m所能达到的效用水平相同。货币侧度的间接效用函数与前面的直接效用函数一样具有三个基本特性。
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（三）用货币测度的效用函数来度量效用的变化
由于货币侧度的效用函数恒等于支出函数，因此可以用支出函数的差异来描述效用的变化。比如补偿变化cv=e(p’;p,m)-e(p’;p’,m)，如图所示。在原价格p条件下，预算先与v(p,m)相切于x点；在价格变化为p’之后，预算先与v(p,m)相切于z点；在价格和收入都作调整之后两条曲线相交于z’点。
商品1
z’ x v(p,m) z Z’：e(p',p',m) Z：e(p',p,m) v(p',m)
（四）计算货币度量效用函数的步骤 1、据支出最小化求出支出函数；
2、通过替代或初等变换求出直接或间接效用函数；
3、再将直接或间接效用函数代入支出函数，从而求出货币测度的效用的效用函数。
b举例：求解当效用函数为柯布-道格拉斯效用函数u?Ax1ax2，预算约束为
商品2
cv（用商品1来衡量）
p1x?p2x2?m时的货币侧度的效用函数。
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（一）显示偏好弱公理
对于一个理性消费者来说，如果(x1,x2)是(y1,y2)的直接显示偏好，且(x1,x2)和(y1,y2)不同，那么(y1,y2)就不可能是(x1,x2)的直接显示偏好。即
只要 p1x1?p2x2?p1y1?p2y 就不可能有 q1x1?q2x2?q1y1?q2y2。
这就是说在价格p时选择x,就不可能在q时选择y，即在任何价格水平下，偏好不可逆转。换句话说，在购买(x1,x2)时有能力购买(y1,y2)；那么在购买
(y1,y2)时(x1,x2)就一定是无力购买的商品束。显示偏好弱公理是最优行为的必要条件。
对显示偏好弱定理的解释：
假定存在两个消费束(x1,x2)和(y1,y2)，消费者在实际选择时面临两种情况：一种情况是两个商品束都支付得起，这时如何选择；另一种情况是有一个商品束支付不起。弱偏好定理考虑了这两种情况，如果你是寻求效用最大化的消费者，在都支付得起时，一定选择最好或者愿意支付更多货币的消费束；如果你偏好的消费束支付不起，就只有购买另一个商品束。因此，如果消费者选择的不是偏好的那个商品束，就一定意味着所偏好的商品束在当前价格条件下是支付不起的。
举例1：不符合显示偏好弱公理的情况
如果p1x1?p2x2?p1y1?p2y2 同时又有q1x1?q2x2?q1y1?q2y2
这时过两个消费束的两条差异曲线相交而不是平行，从而无法找到一条代表消费者偏好的无差异曲线。如下图所示。 商品2
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· (x1,x2)
· (y1,y2) 品1
举例2：符合显示偏好弱公理的情况
选择(x1,x2)时，(y1,y2)支付不起，即p1x1?p2x2?p1y1?p2y； 选择(y1,y2)时，(x1,x2)支付不起，即q1x1?q2x2?q1y1?q2y2。
从下图可以看出：
（1）如果消费者选择了(x1,x2)，与之相适应的无差异曲线位于与(y1,y2)相适应的无差异曲线的上方。因此对消费者来说，他偏好(x1,x2)而不偏好(y1,y2)。
（2）在支付不起的条件下，消费者只能选择(y1,y2),从而必然处在一条代表较低偏好的无差异曲线上。这时两条无差异曲线所表示偏好仍然是相同的，即如有可能的话消费者仍然选择(x1,x2)。 商品2
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?q1/q2 ?p1/p2 商
第一种情况：(x1,x2)支付不起
?q1/q2 · (x1,x2)
· (y1,y2) 品1 商品2
· (x1,x2)
(y1,y2)· 品1
（二）显示偏好的弱公理合理的检验：
利用行列式和公理的定义可以找出不符合最大化行为的消费束。据显示偏好
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?p1/p2 商
第二种情况：(y1,y2)支付不起 ?p1/p2 ?q1/q2 商
弱公理（WARP），在任何价格水平下，偏好是不可逆转的。
1．给定不同的价格和消费束，据行列式可计算出支出的行列式，即
1221?111222125?4*
4*5
66 4
3*3*
2．对角线（5，5，4）表示实际支出，其它项表示可能支出，即如果按照不同的价格购买同一组商品，或按同一价格购买不同组的商品可能需要的支出。
3．标出在同一价格水平上，消费者可以支付得起但没有选择的商品束和支出。表中代星号的就是这样的消费束。（因此*号表示不被偏好的消费束）
4．从计算结果可以看出，当价格为（1，2）时，消费者选择了第一组商品束（1，2），即第一组消费束是第二组消费束的显示偏好；但当价格为（2，1）时，消费者选择了第二组消费束（2，1），即第二组消费束又是第一组消费束的显示偏好。这显然违背了显示偏好弱公理。由于在第二组价格下消费者可以减少它的消费支出，仅而选择第二组消费数，虽然他不是一个理性消费者。
举一个符合弱偏好定理的例子： 设
p1q1p2x121?，p212x2p112?，则y221q1y1p2q2?x1x246? y254y1乘积矩阵中对角线上的各项反映实际消费，即p1x1?p2x2和q1y1?q2y2。在价格(p1,p)2下，消费者选择(x1,x2)是因为p1x1?p2x2?p1y1?p2y,即(y1,y2)是支付不起的；在价格(q1,q2)下，消费者选择(y1,y2)是因为q1x1?q2x2?q1y1?q2y2,即(x1,x2)是支付不起的。以上两种情况都满足弱偏好定理。
四、显示偏好强公理
（一）显示偏好强公理的定义
如果(x1,x2)是(y1,y2)的直接或间接显示偏好，且(y1,y2)与(x1,x2)不同，则
(y1,y2)就不可能是(x1,x2)的直接或间接显示偏好。
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弱公理是用直接显示偏好定义的，而强公理则把该定义扩展到间接显示偏好的情况。即如果一个消费束是另一个消费束的间接显示偏好，那么就不可能对另一消费束来说同时是这一消费束的间接显示偏好。强公理包含了弱公理的内容。
对于一个最大化消费者来说，如果其偏好是可以传递的，那么由其消费行为表现出来的显示偏好也是可传递的。因此强公理是最优化行为的充分条件。这也就是说如果观察到的消费行为是最优化行为，那么其显示偏好就一定满足强公理；反过来说，如果被观察到的选择满足显示偏好强公理，我们总是能够找到可能造成被观察到的选择的性状良好的偏好。
（二）显示偏好强公理的检验
方法一：找出所有的间接显示偏好，看是原有违反的情况。
首先，表中星号表示直接偏好；如当价格为1时，20>10*，表示商品束1是2的直接显示偏好；当价格为2时，20>15*，表示商品束1是2的直接显示偏好。
其次，根据上述直接显示偏好找出间接显示偏好。因为20>10*，20>15*，所以20>15*。表示在价格为1时，商品束1是商品束3的间接显示偏好。
方法二：考查第t行S列和第S行t列上是否都有星号。如果有一个没有星号就是符合强公理；如果都有星号就违背了强公理，因为它们表示二者互为直接或间接显示偏好。
Chapter Nine：购买和销售
在此之前，我们没有考虑消费者的禀赋和收入的来源。本章就要研究在消费者出售初始禀赋获得收入而后进行消费的情况的最优选择问题。 一、
总需求和净需求
初始禀赋：(?1,?2)，即自己拥有的资源 总需求：(x1,x2)，即实际的消费数量
净需求：(x1??1,x2??2)，实际消费与初始禀赋的差额。
当净需求为正时，为净购买者或消费者；当净需求为负时，为净销售者或供
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给者。 二、
预算约束
在给定价格条件下，消费值一定等于禀赋值，即
p1x1?p2x2?m?p1?1?p2?2
用净需求表示
p1(x1??1)?p2(x2??2)?0
其几何形状是经过(?p11,?2)点，斜率为?p的一条直线。 2 商品2 如果实际消费点的位于禀赋点以左，他将是第二种商品的净购买者 和第一种商品的净销售者。
如果实际消费点的位于禀赋点以 (?1,?2) 右，他将是第一种商品的净购买者 x和第二种商品的净销售者。 2
0 x1 商品1 （一）预算线的移动：
1．当价格给定，禀赋发生变化时，预算线平行移动。
如果p1?1?p2?2?p1?1'?p2?2' ，预算线向内移动； 如果p1?1?p2?2?p1?1'?p2?2' ，预算线向外移动；
2．当赋数量不变，价格发生变化时，预算线围绕禀赋点转动。
如果p1相对下降，预算线会变得较平缓； 如果p1相对上升，预算线会变得较陡峭。
（二）价格变动的福利影响
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在收入取决于要素拥有量的条件下，价格变动会对收入产生双重新影响。从要素禀赋方面来看，p1下降会减少收入，从而减少消费；从消费的方面来看，p1下降又会使实际收入增加，从而增加对x1的消费。其净福利影响取决于价格变动方向以及消费者是否改变其净需求。
第一种情况：p1下降，x1??1?0，即消费者是x1的净销售者
p1 下降，使得预算线变得较为平缓。
如果他继续充当x1的净销售者，其消费束将位于禀赋点以左的新预算线上，所有这些选择都要比原消费束差，也就是说他必然要遭受福利损失。
如果转变为x1的净购买者，新的消费点将位于禀赋点以右的新预算线上，无法判断其福利是好还是坏。
O x1 新消费束 转为x11净购买者禀赋 x2 原消费束 第二种情况： p1下降，x1??1?0，即消费者是x1的净购买者 p1下降，使得预算线变得较为平缓。
原消费点处于禀赋点右边，继续充当x1的净购买者可以提高福利水平。如果转变为x1的净销售者，其福利一定会遭受损失。因为这种情况下，他将在禀赋点以左的预算线上进行消费，与原来的预算线相比，这些都不是他的显示偏好。
这可以用间接显示偏好证明，即A是B的直接显示偏好，B是C的直接显示偏好，因此，A是C的间接显示偏好，所以A点比C点好。所以，当x1的价格下降时，消费者由原来在B点消费转向A点消费，可以获得福利水平的提高，消费者决不会转变为x1的净销售者。
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第三种情况：p1上升，x1??1?0，即消费者是x1的净消费者
X1 X2 C B A p1上升，使得预算线变得较为陡峭。
原消费点位于禀赋点以右，继续充当购买者会遭受福利损失；转而变为净销售者其福利水平变化不确定。
X2
转为净销售者时可能的消费点 禀赋点 原消费点 新消费X1 48
第四种情况：p1上升，X1??1?0，即消费者是x1的净销售者
p1上升，使得预算线变得较为陡峭。
继续充当净销售者会增加福利，转为净购买者会遭受福利损失。 X2
汇总以上分析可以得出：
X1 原消费点 禀赋 转变为净购买者时可能的消费点 新消费点 p1上升 福利增加 福利损失
p1下降 福利损失 福利增加
X1??1?0，x1的净销售者 X1??1?0，x1的净购买者
因此，一般说来当价格上升时，如果他是净销售者，他会继续销售该商品而不会转变为净购买者。当价格下降时，如果他是净购买者，他会继续购买而不会转变为净销售者。
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三、
价格提供曲线和需求曲线
考察在资源禀赋不变而价格发生变化的情况下消费者均衡变动的轨迹。
（一）价格提供曲线
如果假定消费者的初始状态是即不购买也不销售，那么价格提供曲线一定通过初始禀赋点。在价格变化的条件下其可能向左上方或右下方移动。
对于x1而言，p1下降，如果是净购买者，提供曲线处于禀赋点以右；
p1下降，如果是净供给者，提供曲线处于禀赋点以左。
对于x2而言，当价格p2下降时，方向正好相反 正如上面所述，只有这样才能获得净福利的增加。
（二）需求曲线
根据价格提供曲线可以求出需求曲线，包括总需求和净需求。
1．总需求x(p1,p2)
它反映消费者的实际消费数量。等于禀赋加上净需求：即
x1(p1,p2)??1?d1(p1,p2)
当x1的价格p1下降时，消费者会通过出售另一种商品x2来增加对x1商品的购买或消费。因此，总需求曲线是随着价格的变化而向右下方倾斜的。 P1’
P1* P1 禀赋曲线 P1’’
50
O w1’ w1 w1’’ X1