?sE?dS?E?4?r2?q1?q2
4??0r2q1?q21?0
解得 E?
当R1 q1 E?dS??S2?0因场强有球对称性，故 ?S2E?dS?E?4?r2?q14??0r2q1?0 解出 E? 当r ?S3E?dS?0 因场强是球对称的，则有 ?S3E?dS?E?4?r2?0 所以 E=0 从上面计算的结果得到场强的分布为 ?q1?q2?4??r2,r?R20??q1E??,R1?r?R224??r0??0,r?R1?? 知道了场强分布，可以从电势的定义出发求出空间的电势分布 125 当r>R2时 U??E?dr??r??rq1?q2q1?q2 dr?4??0r4??0r2q14??0r2q1?q2drR24??r20?当R1 U??E?dr??r?R2rdr??q?11?q1?q2q1q2??1??????4??0??rR2?4??0R24??0r4??0R2 当r U??E?dr??0?dr??rr?R1R2q14??0r2R1dr??q1?q2dr R24??r20??q1?1q1q21?q1?q2?? ?????4??R4??0?RR4??R4??R2?020102?1当然，也可以用电势叠加原理来求电势的分布，把空间各点 的电势看为两个带电球壳在空间产生的电势的叠加，求得的结果和从电势定义出发求得的结果相同。如果我们对一个均匀带电球面在空间产生的电势分布的函数关系比较熟悉，那么用后一种解法是比较方便的。 习 题 一、填空题 1、两个正点电荷所带电量分别为q1和q2，当它们相距r时，两电荷之间相互作用力为F= 。若q1+q2=Q，欲使两电荷间的作用力最大，则它们所带电量之比q1：q2= 。 2、四个点电荷到坐标原点O的距离均为d，如图8—10所示，则O点的电场强度E= 。 126 y +2q P· B· +2q O -q x ·q -q A·q' 图8—10 图8—11 3、真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面，其中一块的面电荷密度为+σ,另一块的面电荷密度为+2σ，两极板间的电场强度大小为 。 4、半径为R，均匀带电Q的球面，若取无穷远处为零电势，则球心处的电势V0= ；球面外离球心r处的电势Vr= 。若在此球面挖去一小面积ΔS（连同其上电荷），则球心处的电势V0= 。 二、选择题 1、边长为a的正方体中心放置一个电荷Q，通过一个侧面的电位移矢量通量为：[ ] QQQQA.； B.； C.； D. 4????62??2、如图8—11所示，闭合面S内有一点电荷q, P为S面上一 点，S面外A点有一点电荷q'，若将q' 移到S面外另一点B处，则下述正确的是：[ ] A.S面的电通量改变，P点的场强不变； B.S面的电通量不变，P点的场强改变； C.S面的电通量和P点的场强都不变； D.S面的电通量和P点的场强都改变。 3、关于电场强度定义式E=F/q0，指出下列说法中的正确者：[ ] A.场强E的大小与检验电荷q0的电量成反比； 127 B.对场中某点，检验电荷受力F与q0的比值不因q0而变； C.检验电荷受力F的方向就是场强E的方向； D.若场中某点不放检验电荷q0，则F=0，从而E=0。 4、电场强度定义式E=F/q0,这一定义的适用范围是：[ ] A.点电荷产生的电场； B.静电场； C.匀强电场； D.任何电场。 5、在SI 制中，电场强度的量纲是：[ ] A.I?1MLT?1； B.I?1MLT?2； C.I?1MLT?3； D.IMLT?3。 6、若将负点电荷q从电场中的a点移到b点，如图8—12所示，则下述正确的是：[ ] A.电场力作负功； B.电场强度Ea -Q A O B ·a ·b? C E D 图8—13 图8—12 7、一电量为-Q的点电荷位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆上的四个点，如图8—13所示。现将一实验电荷从A点分别移到B、C、D各点，则：[ ] A.从A到B，电场力做功最大； B.从A到C，电场力做功最大； C.从A到D，电场力做功最大； D.从A到各点，电场力做功相等。 128 三、判断题 （ ）1、闭合曲面内的电荷的代数和为零，闭合曲面上任一点的场强一定为零。 （ ）2、闭合曲面上各点的场强为零，闭合曲面内一定没有电荷。 （ ）3、闭合曲面上各点的场强仅由面内的电荷决定。 （ ）4、通过闭合曲面的电通量仅由面内的电荷决定。 （ ）5、凡是对称分布的均匀带电系统都可以通过高斯定理求它的电场强度。 四、计算题 1、用细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，棒两端点间的缝隙为1cm，棒上均匀分布着3.12×10-9C的正电荷。求圆心处场强的大小和方向。 2、半径为R的非金属球带有正电荷，电荷体密度随径向距离变化的规律满足ρ?br，其中b为常数，r为离球心的距离，求球内、外的场强和电势分布。 3、在半径为R1和R2的同心球面上，分别均匀地分布着正电荷q1和q2，求场强分布，并画出场强分布曲线。 R C c C L +q -q A O B D 图8—14 图8—15 4、如图8—14所示，一均匀带电直线，长度为L，电荷线密度为λ。求： 129 （1）通过以直线的中点为球心，半径为R的球面的电位移通量； （2）带电直线的延长线与球面的交点C处的电场强度E。 5、如图8—15所示，AB=2l，弧OCD是以B为中心 、l为半径的圆，A点有一正电荷+q，B点有一负电荷-q，求： （1）O点的场强与电势，D点的场强与电势； （2）把单位正电荷从O点沿弧OCD移动到D点，电场力对它做了多少功； （3）把单位负电荷从D点沿AB的延长线移动到无穷远处，电场力对它做了多少功。 6、如图8—16所示，长L的均匀带电细锡棒带电Q。求轴上一点P(O，a)的电势。 y Q· P d2 a ·P l d1 L x 图8—16 图8—17 7、半径为R1和R2（R1 8、图8—17所示，长l=15.0cm的直导线AB上，设想均匀地分布着线密度λ=5.00×10-9C·m-1的正电荷。已知d1=d2=5.0cm，求P点和Q点的电势。 9、一无限长直线，线电荷密度为λ=0.40×10-6 C·m-1，如果B点离直线的距离是A点的2.0倍，求A、B两点之间的电势差。 130 第八章 真空中的静电场 基 本 要 求 一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内 容 提 要 一、真空中的库仑定律 F?14??0?q1q2r() 2rr库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。 电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。 电场强度的定义式 F E?q0点电荷场强公式 1qrE??2?() 4??0rr场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点 产生的场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强 110 1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强 λ E?2??0a2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 σ E?2?0方向垂直于带电平面。 3、带电Q、半径为R的均匀带电导体球面或导体球的场强分布 r Qr>R时，E?r 204??0r4、带电Q、体密度为ρ的均匀带电球体场强分布 Qr 4??0R3r>R时，E?Q4??0r2r0 三、电通量 高斯定理 电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E的单位面积的电场线的条数等于该点E的大小。 电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。 电场强度通量 Φe???E?dS s电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S的电场线的条数。 高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度 111 通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/? 0倍。 ??E?dS?S?qS内?0 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 四、静电场的保守性 环路定理 静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关。 静电场的环路定理 ?E?dl?0 上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保守力场。 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场是无旋场。 五、电势能、电势和电势差 保守力做功和势能增量的关系 Aa?b = ?(Wb ? Wa) q0在电场中a、b两点电势能之差等于把q0自a点移至b点过程中电场力所做的功。 Wa?Wb??F?dl?q0??E?dl aabb电势能 选标准点（势能零点），且取W标=0，q0在电场中某点a的电势能为 Wa?q0?E?dl a标即q0自a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统共有。 112 电势差 a、b两点的电势差即把单位正电荷自a?b过程中电场力做的功。 bW?WbUa?Ub?a??E?dl aq0电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标 准点”过程中电场力做的功。 标WUa?a??E?dl aq0点电荷电势公式 U?q4??0r 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产 生的电势的叠加（代数和）。 六、场强和电势的关系 电势梯度 等势面 电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系 ①等势面与电场线处处垂直；②电场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系 E??gradU 或 E???U 解题方法与例题分析 一、求场强的方法 在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的场强；3. 已知或求出电势分布U后，再由E??gradU求场强。熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。 113 1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。 用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主要步骤如下： ①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，任一电荷元在空间某点场强为 1dqdE???r0 4??0r2②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 1dqE??dE??r0 4??0r2选择适当的坐标系，把矢量积分E??dE化为分量积分式，如取直角坐标系，则Ex=?dEx ，Ey=?dEy ，Ez=?dEz。 ③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电体。 ④进行积分求得Ex 、E y 、Ez，再求出E 。 在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳）所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成，这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积分化为单重积分来做，使运算简化。 114 2. 由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高斯面使场强E能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如下： ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯定理求解； ②选择适当的高斯面，使场强E能提到积分号外面。如电场具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面取轴垂直于平面并于平面对称的柱面； ③求出高斯面所包围的净电荷q，代入高斯定理的表示式求出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3. 求电势分布U后，由E???U求场强 因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。 例1 长l厘米的直导线AB均匀地分布着线密度为λ的电荷。求： （1）在导线的延长线上与导线一端B相距R处P点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距R?处Q点的场强。 dE Q? R′ A dx O B P x l A dx B x R l （b） （a） 图8—1 115 解 （1）如图8—1（a）所示，取A点为坐标原点，向右为x轴正方向。直导线上任一dx线元到A点距离为x，其电场强度为 1?dx dE?4??0(l?x?R)2而各段在P处产生场强方向相同（沿x轴正方向），故总场强为 EP??dE??14??0?14??0l?(l?x?R)0l?dx2λ(l?x?R)?0λ4??0(11?)RR?l 方向沿x轴正方向。 （2）若以导线AB中心为坐标原点，如图8—1（b）所示。dx线元在Q点产生的电场为 1?dx（方向如图所示） dE?4??0(x2?R?2)由于对称性，其叠加场强沿y正方向，水平方向相互抵消。在Q点的场强为 EQ??dEcos??l214??0l2?(x2?R?2)(x2?R?2)12?l2l2??dx?R? ?2?R?dx?R?x ??322222??4??0?2??R(R?x)200(x?R?)0??l1?4??0R?R?2??l2?2??12 方向沿y轴正方向。 当导线l为无限长时，由上式可求得场强为E??/(2??0R?)。 116 例2 一带电细线弯成半径为R的半圆形，其电荷线密度为λ=λ0sinθ，式中θ为半径R与x轴所成的夹角，λ 0为一常数，如图8—2所示，试求环心O处的电场强度。 y解 在θ处取电荷元，其电量 为 dqdq??0dl??0Rsin?d? dEx它在O点处产生的场强为 ?sin?d?dq ?0dE?24??0R4??0R在 x、y 轴上的两个分量 dEodEy?x图8—2 ? dEx??dEcos?， dEy??dEsin??0sin?cos?d??0 4??0R?0??0?02 Ey??sin?d???4??0R?08?0REx??所以 E?Exi?Eyj??λ0j 8?0R例3 利用带电量为Q、半径为R的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式E?Qx4??0R?x?22?3推导一半径为R、电荷 2面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步推导电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的场强。 解 设盘心O点处为原点，x轴沿轴线方向，如图8—3所示，在任意半径r处取一宽为dr的圆环，其电量 dq?2??rdr 117 dE?xdq4??0r?x?22?3 2RdrrO图8—3 pdEx??xrdr ?2?0?r2?x2?32?xRrdr 3?0222?0?r?x?2?1?x??r2?x2??02?0RE??dE??x????2?0???1????x?? 22R?x??1当 R →∞时，即为“无限大”带电平面 ?x?E??? 2?x2?0例4 如图8—4所示，一厚为a的无限大带电平板，电荷体 密度??= kx (0≤x≤a)， k为一正值常数。求： （1）板外两侧任一点 M1、M2的电场强度大小； （2）板内任一点M的电场强度； （3）场强最小的点在何处。 解 （1）在x处取厚为dx的平板，此平板带电量 dq??dx?S MM1M2dqxO电荷面密度为 ????dx Sa??dxkxdx则 dE? ??2?02?02?0图8—4 akxka2 E??dx?02?4?00（2）板内任一点M左侧产生的场强方向沿x轴正向 118 Akx2kx E1??dx?02?4?00aM右侧产生的场强方向沿x轴负向 akxka2?x2 E2??dx?x2?4?00??kx2ka2?x2k所以 E???2x2?a2 4?04?04?0????（3）E = 0 时场强最小，即2x2?a2?0 x?a2 例5 如图8—5所示，圆锥体底面半径为R，高为H，均匀 带电，电荷体密度为ρ，求顶点A处的场强。 解 在离顶点A为x处选厚为dxx的薄圆盘，此圆盘半径为r。由图知 RxH ?HrR即 r?Rx H图8—5 此薄圆盘的带电量 dq??dV???r2dx ??r2dx电荷面密度 σ=电量/面积=??dx ?r2利用例3均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果 E??x?1?1?2?0?x2?R2?x?? ??可得此薄圆盘在A点的场强 dE? ??x?1?2?0?r2?R2??? ??119 ??1?H2?0H0?H2?R2dx ?E????H?1?2?0?H2?R2??? ????dx ???H?H?1??2?0?R2?H2?此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算。 例6 半径为R、长为?的均匀带电圆柱 O 体，电荷体密度为?0，求圆柱体轴线上O b 点的场强。设O点离圆柱体近端的距离为b， y τ 如图8—6所示。 解 用积分法求解这题目时，如取点电 荷为积分元，则要用三重积分。但是我们取 Y 圆盘为积分元，用圆盘在轴线上一点产生的图8—6 场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上一点的场强。 如图8—6取坐标，距O点的距离y处，一厚度为dy的圆盘在O点产生的场强的大小 dE = dE??y[1?] 222?0R?y方向与Y轴相反，式中?是厚度为dy的圆盘上的电荷面密度，?和圆柱体的电荷密度?0的关系 ?0?R2dy=?0dy ???R2所以有 120 dE =?dE?b?????bb?0dyy[1?] 222?0R?y= ?b?0dy?2?0?b???0ydy2?0R?y2b = ?[??2?0R2?(??b)2?R2?b2] 例7 如图8—7（a）所示，在XY平面内有与Y轴平行、位于x= a/2和x=? a/2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为λ和?λ，求Z轴上任一点的电场强度。 Z Z??a?2oa2E?Y?XEE?a?2zo（b） aX2（a） 图8—7 解 过Z轴上任一点(0，0，z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图8—7（b）所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 E????1/(2??0r) 式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外和朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为 ?a/2E?2E?cos?? ???0rr 121 ?2a? ??0(a2?4z2)方向如图所示或用矢量表示 2a?E??i 22??0(a?4z)例8 真空中有一高h=20cm、底面半径R=10cm的圆锥体。在其顶点与底面中心的中点上置一q =10-6C 的点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场强度通量。 hh/2rq R R （a） （b） 图8—8 解 以顶点与底面圆心的中点为球心，r?R2?(h/2)2为半径做一球面。可以看出，通过圆锥侧面的电通量等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠面的电通量。整个球面的电通量为 ?0?q/?0 通过球冠面的电通量 q2?r(r?h/2) ??04?r2?? R2?(h/2)2??h/2 ?1??0S/S0?q?2?0??1???式中S为球冠面面积 S=2?r(r??h/2)，S0为整球面积。 通过圆锥侧面的电通量 122 ?2??0??1 ?q?qqh ?2?04?R2?(h/2)20?0q?2?0?h/2?1??R2?(h/2)2????0.6?104N?m2/C ??二、求电势的方法 在普通物理学范围内，求解静电场电势的基本方法通常有以下两种：1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强；2. 已知或求出场强分布E后，再由UP=?E?dl求电势。熟练掌握求解静 P?电场电势的这两种方法是对学好电磁学大有裨益的。 1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强 把带电体看为由许多电荷元组成的，带电体在电场中某点产生的电势为各电荷元在该点产是的点势dU的叠加，即 U=?dU 用积分求电势的步骤和用积分求场强相同，只是U =?dU是一个标量积分，不用取分量式。 2. 已知或求出场强分布E后，再由UP =?Edr，求电势 p?对有限大小的带电体，通常选无限远为电势的零点，所以有 UP=?Edr p?用上式求电势时应注意： ①选择适当的路径，因为上述积分与路径无关，我们取积分 123 路径时，总是设法选取使积分计算比较简便的路径； ②对于在积分路径上不同区域内场强的函数形式不同的情况，积分必须分段进行。如从r到R范围内的场强为E1(r)，从R到“无穷远”处场强为E2(r)，则P点的电势 UP（r）=?E1(r)dr+?E2(r)dr rRR?对能用高斯定理求场强的问题，用这种方法求电势比较方便。 例9 一根长为L的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为??，试求在圆心O点的电势。 解 半圆形导线半径：R? ?O点电势由电势迭加原理求解。 dU?dq4??0RL ， dq??dl ∴ U??dU???dl?L? ??04??R4??R4?000L例10 如图8—9所示，两个均匀带电的同心球面，半径分 别为R1和R2，带电量分别为q1和q2。求场强和电势的分布。 解 （1）对称性分析：①场强沿径向；②离球心O距离相等处，场强的大小相同。可见场强具有球对称性可以用高斯定理求场强。 S1 （2）选择高斯面：选与带电球面同 R1心的球面作为高斯面。 S1 S2S3OR2当r>R2时，取半径为r的高斯面S1， 如图所示。由高斯定理 q1?q2 ?s1E?dS??0 图8—9 因为场有上述的对称性，所以 124 （1）通过以直线的中点为球心，半径为R的球面的电位移通量； （2）带电直线的延长线与球面的交点C处的电场强度E。 5、如图8—15所示，AB=2l，弧OCD是以B为中心 、l为半径的圆，A点有一正电荷+q，B点有一负电荷-q，求： （1）O点的场强与电势，D点的场强与电势； （2）把单位正电荷从O点沿弧OCD移动到D点，电场力对它做了多少功； （3）把单位负电荷从D点沿AB的延长线移动到无穷远处，电场力对它做了多少功。 6、如图8—16所示，长L的均匀带电细锡棒带电Q。求轴上一点P(O，a)的电势。 y Q· P d2 a ·P l d1 L x 图8—16 图8—17 7、半径为R1和R2（R1 8、图8—17所示，长l=15.0cm的直导线AB上，设想均匀地分布着线密度λ=5.00×10-9C·m-1的正电荷。已知d1=d2=5.0cm，求P点和Q点的电势。 9、一无限长直线，线电荷密度为λ=0.40×10-6 C·m-1，如果B点离直线的距离是A点的2.0倍，求A、B两点之间的电势差。 130