2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
2i1．在复平面内，复数z?（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于
1?iA．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12．已知全集为R，集合A?{x()x?1}，B?{xx2?6x?8?0}，则A?eRB?
2A．{xx?0}
B．{x2?x?4}
D．{x0?x?2或x?4}
C．{x0?x?2或x?4}
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A．(?p)∨(?q) B．p∨(?q)
C．(?p)∧(?q) D．p∨q
4．将函数y?3cosx?sinx(x?R)的图象向左平移m(m?0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是
πππ5πA． B． C． D．
12636πx2y2y2x25．已知0???，则双曲线C1：??1与C2：2?2?1的
4cos2?sin2?sin?sin?tan2?A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
????????6．已知点A(?1,1)、B(1,2)、C(?2,?1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为 3231532? B． C．
222315 D．? 27．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
25（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止. 在此期间v(t)?7?3t?1?t汽车继续行驶的距离（单位：m）是
11A．1?25ln5 B．8?25ln
3 C．4?25ln5 D．4?50ln2
第8题图
A．第1页（共11页）
8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，
V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为
多面体，则有
A．V1?V2?V4?V3 B．V1?V3?V2?V4 C．V2?V1?V3?V4 D．V2?V3?V1?V4
9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅
拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)? A．
71266168 B． C． D．
51251255第9题图
10．已知a为常数，函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点x1，x2(x1?x2)，则
11A．f(x1)?0，f(x2)?? B．f(x1)?0，f(x2)??
2211C．f(x1)?0，f(x2)?? D．f(x1)?0，f(x2)??
22
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题．．．．．．
号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. ．
（一）必考题（11—14题）
11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图
如图所示.
（Ⅰ）直方图中x的值为_________；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.
开始 a?10, i?1 a?4?是 是 ? 否 否 a是奇数a?3a?1a?a2 输出i
i?i?1 结束 第11题图 第12题图 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i?_________.
13．设x,y,z?R，且满足：x2?y2?z2?1，x?2y?3z?14，则x?y?z?_________.
第2页（共11页）
14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，?，
第n个三角形数为
n(n?1)121?n?n. 记第n个k边形数为N(n,k)(k?3)，以下列出 222了部分k边形数中第n个数的表达式：
11三角形数 N(n,3)?n2?n，
22正方形数 N(n,4)?n2，
31五边形数 N(n,5)?n2?n，
22六边形数 N(n,6)?2n2?n， ………………………………………
可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)?_________.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按作答结果计分.）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上
为E．若AB?3AD，则
C题卡指第15题
AED OB的射影
CE的值为_________． EO第15题图
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
?x?acos?,在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为?（?为参数，a?b?0）. 在
y?bsin??极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴 π2m（m为非零常数） 为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为?sin(??)?42与??b. 若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos2A?3cos(B?C)?1. （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S?53，b?5，求sinBsinC的值. 18．（本小题满分12分）
已知等比数列{an}满足：|a2?a3|?10，a1a2a3?125. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m，使得 19．（本小题满分12分）
第3页（共11页）
111?????1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由. a1a2am如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC?平面ABC，E，F 分别是PA，PC的中点.
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与
位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点
??1??????. 记直线D?QCPPQ与平面ABC所成的角为?，2PQ与EF所成的角为?，二面角E?l?C的大小为
sin??sin?si?n.
平面PAC的Q
满
足
异面直线
?，求证：
第19题图
20．（本小题满分12分）
假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0. （Ⅰ）求p0的值；
（参考数据：若X～N(?,?2)，有P(????X????)?0.6826，P(??2??X???2?)?0.9544，P(??3??X???3?)?0.9974.）
（Ⅱ）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A、
B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400
元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆. 若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆?
第4页（共11页）
21．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为在x轴上，短轴长分别
为2m，2n(m?n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，个交点按纵坐标从
大到小依次为A，B，C，D．记??分别为S1和S2.
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1??S2，求?的值；
y A B M C O N x MN且
C2的四
D m，△BDM和△ABNn第21题图
的面积
（Ⅱ）当?变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2？并说明理由． 22．（本小题满分14分）
设n是正整数，r为正有理数.
（Ⅰ）求函数f(x)?(1?x)r?1?(r?1)x?1(x??1)的最小值；
nr?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1r（Ⅱ）证明：； ?n?r?1r?1?3?x（Ⅲ）设x?R，记?为不小于的最小整数，例如，，2?2π?4x?????????????2???1. ．．．??令S?381?382?383???3125，求??S??的值.
（参考数据：80?344.7，81?350.5，124?618.3，126?631.7）
434343432013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题
11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 13．14．1000 15．8 16．6 3314 7三、解答题 17． （Ⅰ）由cos2A?3cos(B?C)?1，得2cos2A?3cosA?2?0, 即(2cosA?1)(cosA?2)?0，解得cosA? 因为0?A?π，所以A?1 或cosA??2（舍去）. 2π. 3第5页（共11页）
1133?bc?53,得bc?20. 又b?5，知c?4. （Ⅱ）由S?bcsinA?bc?2224由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA?25?16?20?21,故a?21.
bcbc2035又由正弦定理得sinBsinC?sinA?sinA?2sin2A???.
aaa2147
18．
?a13q3?125,?（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得? 2|aq?aq|?10,??115??a1??5,?a1?,解得? 3 或?q??1.???q?3,13115531故an??3n?1，或an??5）若an??3n?1，则??()n?1，故{}是首项为，公比为?(?1)n?1. （Ⅱ
anan533353的等比数列，
31?[1?()m]19193从而??5??[1?()m]??1.
110310n?1an1?31111若an?(?5)?(?1)n?1，则??(?1)n?1，故{}是首项为?，公比为?1的等比数列，
anan55m?1m11??,m?2k?1(k?N?),从而???5 故??1.
n?1ann?1an??0,m?2k(k?N?).m1综上，对任何正整数m，总有??1.
n?1anm故不存在正整数m，使得
19．
111?????1成立. a1a2am（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC. 而EF?平面BEF，且平面BEF?平面ABC?l，所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直线l∥平面PAC.
第19题解答图1
第19题解答图2
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC.
第6页（共11页）
因为AB是?O的直径，所以AC?BC，于是l?BC.
已知PC?平面ABC，而l?平面ABC，所以PC?l. 而PC?BC?C，所以l?平面PBC.
连接BE，BF，因为BF?平面PBC，所以l?BF.
故?CBF就是二面角E?l?C的平面角，即?CBF??.
????1????1由DQ?CP，作DQ∥CP，且DQ?CP.
22连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP?2PF，所以DQ?PF， 从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.
连接CD，因为PC?平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影， 故?CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即?CDF??. 又BD?平面PBC，有BD?BF，知?BDF为锐角，
故?BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即?BDF??， 于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得
sin??CFBFCF，sin??，sin??， DFDFBFCFBFCF???sin?，即sin??sin?sin?. BFDFDF????1????1（Ⅱ）（向量法）如图2，由DQ?CP，作DQ∥CP，且DQ?CP.
22从而sin?sin??连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD. ????????????以点C为原点，向量CA,CB,CP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA?a,CB?b,CP?2c，则有
1C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E(a,0,c),F(0,0,c).
2????????????1于是FE?(a,0,0)，QP?(?a,?b,c)，BF?(0,?b,c)，
2????????|FE?QP|ab2?c22??????所以cos?????，从而sin??1?cos??.
222222|FE|?|QP|a?b?ca?b?c????|m?QP|c?????又取平面ABC的一个法向量为m?(0,0,1)，可得sin??，
222|m|?|QP|a?b?c设平面BEF的一个法向量为n?(x,y,z)，
?????1?n?FE?0,?ax?0,?所以由???? 可得 取n?(0,c,b). ??2???n?BF?0,??by?cz?0.于是|cos?|?|m?n|bc?，从而sin??1?cos2??.
2222|m|?|n|b?cb?c第7页（共11页）
故sin?sin??20．
b2?c2a?b?c222?cb?c22?ca?b?c222?sin?，即sin??sin?sin?.
（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有??800，
??50
P(700?X?900)?0.9544.
由正态分布的对称性，可得
第20题解
p0?P(X?900)?P(X?800)?P(800?X?900)
?11?P(700?X?900)?0.9772. 22（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x, y辆，则相应的营运成本为1600x?2400y.
依题意, x, y还需满足:x?y?21, y?x?7, P(X?36x?60y)?p0.
由（Ⅰ）知，p0?P(X?900)，故P(X?36x?60y)?p0等价于36x?60y?900. ?x?y?21, ?y?x?7,?于是问题等价于求满足约束条件?
36x?60y?900,???x, y?0，x, y?N,且使目标函数z?1600x?2400y达到最小的x,y. 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12), Q(7,14), R(15,6).
由图可知，当直线z?1600x?2400y经过可行域的点P时，直线z?1600x?2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值.
故应配备A型车5辆、B型车12辆.
21． 依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
z2400mx2y2x2y2C1：2?2?1，C2：2?2?1. 其中a?m?n?0，???1.
naman（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x?0，则 S1?S|BD|1111. |BD|?|OM|?a|BD|，S2?|AB|?|ON|?a|AB|，所以1?S2|AB|2222|BD||yB?yD|m?n??1???. |AB||yA?yB|m?n??1在C1和C2的方程中分别令x?0，可得yA?m，yB?n，yD??m， 于是若
S1??1??，则??，化简得?2?2??1?0. 由??1，可解得??2?1. S2??1第8页（共11页）
故当直线l与y轴重合时，若S1??S2，则??2?1. 解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则
|BD|?|OB|?|OD|?m?n，|AB|?|OA|?|OB|?m?n；
S1?1111|BD|?|OM|?a|BD|，S2?|AB|?|ON|?a|AB|. 2222y A B ONxy AM C D 第21题解答图1
BNxO MC D 21题解答图2 第
所以若
S1|BD|m?n??1???. S2|AB|m?n??1S1??1??，则??，化简得?2?2??1?0. 由??1，可解得??2?1. S2??1故当直线l与y轴重合时，若S1??S2，则??2?1.
（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2. 根据对称性， 不妨设直线l：y?kx(k?0)，
点M(?a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则 因为d1?又S1?|?ak?0|1?k2?ak1?k2，d2?|ak?0|1?k2?ak1?k2，所以d1?d2.
S|BD|11??，即|BD|??|AB|. |BD|d1，S2?|AB|d2，所以1?S2|AB|22由对称性可知|AB|?|CD|，所以|BC|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|， |AD|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|，于是
|AD|??1?. ① |BC|??1将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得 xA?ama2k2?m2，xB?ana2k2?n2.
根据对称性可知xC??xB，xD??xA，于是
1?k2|xA?xD|2xAma2k2?n2|AD|. ② ???2222|BC|1?k|xB?xC|2xBnak?m从而由①和②式可得
a2k2?n2??1?. ③
a2k2?m2?(??1)第9页（共11页）
??1n2(?2t2?1)2令t?，则由m?n，可得t?1，于是由③可解得k?2.
?(??1)a(1?t2)n2(?2t2?1)?0， 因为k?0，所以k?0. 于是③式关于k有解，当且仅当2a(1?t2)2等价于(t2?1)(t2?即1?1?)?0. 由??1，可解得21??t?1，
???1?1，由??1，解得??1?2，所以
?(??1)当1???1?2时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2； 当??1?2时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1??S2. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2. 根据对称性， 不妨设直线l：y?kx(k?0)，
点M(?a,0)，N(a,0)到直线l的距离分别为d1，d2，则 因为d1?又S1?|?ak?0|1?k2?ak1?k2，d2?|ak?0|1?k2?ak1?k2，所以d1?d2.
S|BD|11??. |BD|d1，S2?|AB|d2，所以1?S|AB|222x??11?k2|xB?xD|xA?xB|BD|因为. ????，所以A?2x??1|AB|x?xB1?k|xA?xB|AB由点A(xA,kxA)，B(xB,kxB)分别在C1，C2上，可得
xA2k2xA2xB2k2xB2xA2?xB2k2(xA2??2xB2)??1，2?2?1，两式相减可得??0， a2m2ana2m2依题意xA?xB?0，所以xA22m2(xA2?xB2). ?xB. 所以由上式解得k?222a(?xB?xA2)22xm2(xA2?xB2)?0，可解得1?A??. 因为k?0，所以由2222xBa(?xB?xA)从而1???1??，解得??1?2，所以 ??1当1???1?2时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2； 当??1?2时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1??S2.
22． （Ⅰ）因为f?(x)?(r?1)(1?x)r?(r?1)?(r?1)[(1?x)r?1]，令f?(x)?0，解得x?0.
当?1?x?0时，f?(x)?0，所以f(x)在(?1,0)内是减函数； 当x?0时，f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)内是增函数.
故函数f(x)在x?0处取得最小值f(0)?0. （Ⅱ）由（Ⅰ），当x?(?1,??)时，有f(x)?f(0)?0，即
(1?x)r?1?1?(r?1)x，且等号当且仅当x?0时成立，
故当x??1且x?0时，有
(1?x)r?1?1?(r?1)x. ①
第10页（共11页）
在①中，令x?11r?1（这时x??1且x?0），得(1?)r?1?1?. nnn上式两边同乘nr?1，得(n?1)r?1?nr?1?nr(r?1)，即
(n?1)r?1?nr?1n?. ②
r?11当n?1时，在①中令x??（这时x??1且x?0），类似可得
nrnr?1?(n?1)r?1n?. ③
r?1且当n?1时，③也成立.
r综合②，③得
nr?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1r?n?. ④
r?1r?11（Ⅲ）在④中，令r?，n分别取值81，82，83，?，125，得
34443433333（81?80）<81?(82?813)， 444444333333（82?81）<82?(83?823)， 444444333333（83?82）?83?(84?833)， 44 ???
4444333333（125?124）?125?(126?1253). 44将以上各式相加，并整理得
444433333（125?80）?S?(126?813). 44444433333125?80）?210.2，（126?813）?210.9. 代入数据计算，可得（44 由??S??的定义，得??S???211.
第11页（共11页）
在①中，令x?11r?1（这时x??1且x?0），得(1?)r?1?1?. nnn上式两边同乘nr?1，得(n?1)r?1?nr?1?nr(r?1)，即
(n?1)r?1?nr?1n?. ②
r?11当n?1时，在①中令x??（这时x??1且x?0），类似可得
nrnr?1?(n?1)r?1n?. ③
r?1且当n?1时，③也成立.
r综合②，③得
nr?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1r?n?. ④
r?1r?11（Ⅲ）在④中，令r?，n分别取值81，82，83，?，125，得
34443433333（81?80）<81?(82?813)， 444444333333（82?81）<82?(83?823)， 444444333333（83?82）?83?(84?833)， 44 ???
4444333333（125?124）?125?(126?1253). 44将以上各式相加，并整理得
444433333（125?80）?S?(126?813). 44444433333125?80）?210.2，（126?813）?210.9. 代入数据计算，可得（44 由??S??的定义，得??S???211.
第11页（共11页）