课题：函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质 教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书 授课教师：无锡市辅仁高级中学 张长贵
Ⅰ．教学内容解析
本节课的教学内容是函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的性质．教学重点是函数
f(x)?ax3?bx2?cx?d单调性、极值和最值的研究方法及其应用．
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．在高中，其研究经历了三个阶段，一是数学1中指数函数、对数函数和幂函数的研究，二是数学4中三角函数的研究，三是选修系列中的导数及其应用．导数是研究函数的单调性、极值和最值等性质的有力工具，函数及其导数具有丰富的思想内涵和应用价值．在复习了导数的概念、导数的计算及其简单应用后，以函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的性质研究为载体，设计此教学内容，具有承上启下的作用．
通过对函数f(x)?ax3?bx2?cx?d性质的探索，一方面可以让学生感受导数在研究函数性质中的意义和价值，另一方面可以帮助学生建立并完善讨论函数性质的基本框架，掌握研究函数性质的过程和方法，知道函数性质的基本内容及其作用．更为重要的是，在此过程中，可以使学生进一步体会数形结合、分类讨论、转化与化归等思想方法，为继续学习和研究其他函数问题奠定基础． Ⅱ．教学目标设置
本节课教学是为了帮助学生系统了解研究函数性质的思维过程，掌握运用导数研究函数性质的基本方法，感受导数在研究函数中的作用和价值，体会导数的思想与丰富内涵，提高学生运用所学知识分析问题解决问题的能力．具体目标是：
1．从已有的研究函数的经历中建立函数f(x)?ax?bx?cx?d性质的研究思路，体会对函数从具体到一般的研究过程和数形结合的研究方法；
2．能用导数研究函数f(x)?ax?bx?cx?d的单调性、极值、最值、零点个数等性质，感受导数在研究函数性质中的意义和作用；
3．构建讨论函数性质的基本框架，完善数学认知结构，提高运用等价转化、分类讨论和数形结合等数学思想方法分析问题、解决问题的能力．
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Ⅲ．学生学情分析
本节课的授课对象为无锡市辅仁高级中学高三（3）班的学生，选修物理和化学，他们思维活跃，学习数学的积极性较高，数学基础较好．
1、学生已有的认知基础
学生已经有了研究指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等函数模型的直接经验，具备了从图象直观获得结论和从数量关系上进行逻辑推理的能力，掌握了导数的概念和求法，了解了运用导数研究函数的单调性、极值、最值和零点等性质的过程和方法．
2、达成教学目标所需具备的认知基础
函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的性质比较复杂，图象也不容易作出，为了实现本节课的教学目标，对学生运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的能力有较高的要求．
3、“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异
一般情况下，研究函数离不开图象，要作出函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象，并利用图象解决问题，学生有一定的困难，需要教师精心设计，帮其化解；学生有运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的意识，但面对具体问题，如何正确的运用，需要教师做好示范和引领．
4、教学难点及其突破策略
难点：研究函数的性质，学生习惯于由形到数，由具体到一般，本节课中，需要通过对函数f(x)?ax?bx?cx?d的性质的研究，得出其图象特征，再运用图象分析思路、解决问题，这在思维上是一个逆转，成为教学的难点．
突破策略：摆正教师的主导作用和学生的主体地位之间的关系，设计问题串让学生回顾已有经验，进而从整体上认识研究目标，构建研究思路，发挥信息技术的辅助功能，引导学生观察发现，归纳总结f(x)?ax?bx?cx?d的图象与系数之间的关系以及导函数的图象与原来函数之间的关系，实现数和形的灵活转换． Ⅳ．教学策略设计
本节课是高三复习课，帮助学生系统地掌握知识和方法，形成良好的认知结构，培养学生的思维品质、提高学生的解题能力是主要目标．为了实现这一目标，教学中采用了以下策略：
1、站在系统的高度组织复习内容．通过精心设计的“问题串”引导学生回顾研究函数性质的过程和方法，在实际问题中构建具体的函数模型，运用“数”和“形”结合的手段展开性质探究，从中归纳出以导数为工具研究函数性质的一般方法，帮助学生形成完整的认知结构，学会学习．
2、站在学生的角度组织教学活动．根据学生的思维特点和认知基础，运用引导发现和讲
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3232练结合的方法，尽可能多地给学生提供课堂参与的机会，提出问题让学生分析、思考和交流，借助多媒体课件、图形计算器等工具，让学生动手操作，在尝试和探索中掌握方法，体会思想，形成技能．
3、突出数学思想方法的提炼和渗透．通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，不断地给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，保持积极有效的思维活动，帮助学生在解题总结和反思中领悟转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法在数学学习中的价值和作用． Ⅴ．教学过程
1、问题引领
师：同学们，今天我们要来研究函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质．老师先与大家交流几个问题．
[问题1]在高一高二阶段我们主要研究过哪些函数模型？
师：今天我们要研究的函数是一个多项式函数．如果a?0，这个函数我们已经研究过．今天我们着重研究a?0的情形，不妨称之为三次函数．在研究之前，我们先回忆一下对已有函数的性质是怎么研究的，研究了哪些问题，以便为我们今天的研究提供参考．以指数函数为例．
[问题2]你能回忆一下指数函数性质的研究过程和方法吗？
[师生活动]引导学生回忆指数函数性质的研究过程和方法，得到：由具体的几个指数函数的图象概括得到一般的指数函数的性质．
教师总结：具体 一般 数 形（板书）
[设计意图]用问题串启发，引导学生回忆研究函数性质的过程和方法，并展开积极的思考，给学生营造一个良好的探究学习的氛围．
2、整体感知
[问题3]我们常研究函数的哪些性质？
师：我们研究一类函数的性质，实际上就是要探讨这类函数有哪些共同的特征．那么，我们常研究函数的哪些性质呢？
生：定义域，值域，定点，奇偶性（对称性），单调性，极值，最值，零点，周期性等． 师：（板书学生回答）总结的很好．函数的性质就是函数的运动变化中的规律性，不变性和特殊性．
[问题4]你能勾画一下函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)性质的研究过程和方法吗？
[设计意图]从宏观上把握，让学生整体感知研究函数性质的思路、过程和方法，发现问
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题的本质，抓住要点，为研究函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)性质指明方向．
3、组织探究
问题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8?r分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0．2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．瓶子半径r多大时，能使每瓶饮料的利润y最大？（球的体积公式为V球?243?r） 3[师生活动]教师引导学生首先要建立利润与半径的函数关系式,将实际问题转化为函数模型，将利润最大问题转化为研究函数的最值问题．
生：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
44y?f(r)??r3?0.2?0.8?r2??(r3?3r2)，r?(0,6]．
315师：我们将实际问题的研究转化为研究函数．如果抛开实际背景，我们可以得到一个函数f(x)?x3?3x2．我们就从它先研究起．
[问题5]你准备如何研究函数f(x)?x3?3x2的性质？分别从什么角度入手研究？ [设计意图]在实际问题中抽象出一个具体的三次函数模型，为从具体函数入手探究函数的性质提供一个载体，让学生构建研究函数性质的思路，展开探究活动．
[师生活动]学生根据上述性质在预先准备好的方格纸上作出函数的草图．教师投影展示学生画出的草图．教师用图形计算器作出函数图象，请学生验证自己的草图，并交流作图时注意运用函数的变化趋势、极值以及零点等性质．
师：（教师利用图形计算器画出导函数f?(x)?3x2?6x的图像）你能描述导函数f?(x)的性态对函数f(x)单调性的影响吗？
生：在(??,0)上，f?(x)?0，所以f(x)?x3?3x2在(??,0)上单调递增；在(0,2)上，
f?(x)?0，所以f(x)?x3?3x2在(0,2)上单调递减；在(2,??)上，f?(x)?0，所以
f(x)?x3?3x2在(2,??)上单调递增.
师：一个函数的导函数也是我们研究该函数性质的重要方面.（教师板书：导函数图像） [即时调查]
f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)的导函数f?(x)?3ax2?2bx?c(a?0)的图象如图
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所示，则f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)的大致图象可能是（A）（B）（C）（D）中的哪一个？
y o o x1x2x3x y y f?(x)f?(x)x x1o x f?(x)x1(1) (2) (3)
(A)
(B)
(C)
(D)
[问题6]你能借助导数写出（A）（B）（C）（D）不同情形下，各系数应满足的关系式吗？
[设计意图]让学生体会研究函数性质既可以从形的角度进行直观描述，又可以从数的角度进行精确刻画，数与形之间可以灵活转换，数与形协同作战威力无限，从而培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的意识和能力．
生：系数应满足的关系式分别为：
f?(x)?3ax2?2bx?c，f?(x)?0的判别式??4(b2?3ac)
（A）a?0,??0；（B）a?0,??0；（C）a?0,??0；（D）a?0,??0
师：这就告诉我们，对一个函数“形”的研究最终回到了对“数”的研究．好，回到开头提出的实际问题，饮料公司若想利润最大，饮料瓶的半径应为多大？
32生：f(x)?x?3x在(0,6]上的最大值在x?6时取到，所以半径应定为6cm．
师：那么是不是半径越大利润就越大？
生：不对．在(0,2]上半径越大，利润越小（利润为负值，是亏本的）．在(2,??)上半径
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