第六章 数理统计基本概念与抽样分布
第一节 数理统计基本概念习题
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1、 设总体?分布为下述情形（1）??B(k,p)；（2）?服从参数为?的指数分布；（3）
??N(?,1)，?1,??4为取自总体n?4的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联
合分布律（或联合密度）。
ll解答：（1）因??B(k,p)，所以P{??l}?Ckp(1?p)k?l,l?0,1,?k，故样本空间为
X?{(k1,?,k4)|k1,?,k4?0,1,?,k}，P{?1?k1,?,?4?k4}?P{?1?k1}?P{?4?k4}
?Ckk1pk1(1?p)k?k1???Ckk4pk4(1?p)k?k4，k1,?,k4?0,1,?,k；
（2）因???(?)，所以P{??k}??kk!e??,k?0,1,?，故样本空间 X?{(k1,?,k4)|k1?k4?0,1,?}，P{?1?k1,?,?4?k4}?P{?1?k1}?P{?4?k4}
??k1k1!e??????k4k4!e??,k1,?,k4?0,1,?； 21(x??)(???x??)，故样本空间（3）因??N(?,1)，所以f(x)?exp(?)22?X?{(k1,?,k4)|k1,?,k4?R}， (x1??)21f(x1,?,x4)?exp(?)???22?(x4??)21exp(?)(???x1,?,x4??)。
22?2、 设样本观察值x1,x2,?,xn中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为x(1)?x(2)???x(k)，取x(1),x(2),?,x(k)得频数分别为n1,n2,?nk，(?ni?n)，显
i?1_1k1k2然有样本均值x??nix(i)，样本方差S?ni(x(i)?x)2。 ?ni?1n?1i?1__1k2（1） 求证：S?[?nix(i)?n(x)2]；
n?1i?12_k（2） 有一组n?25的样本观察值，其数据如下，试求x、s2,b2。
x(i) ni 20 8 1 5 3 7 4 3 6 2 ___1k1k1k222解答：（1）S?ni(x(i)?x)?ni(x(i)?2x(i)?x?(x))=[?nix(2i) ??n?1i?1n?1i?1n?1i?1___1k2?2x?nix(i)?(x)?ni]?[?nix(i)?2x?nx?n(x)2]
n?1i?1i?ii?1__2_1k2 ?[?nix(i)?n(x)2]。
n?1i?1kk（2）x?_1?ni?ni?xi?1(8*0?5*1?7*3?3*4?2*6)?2，
8?5?7?3?22?32?4?2?6_11222[?ni?xi?n(x)2?](?8?0?5?1?7?23? s?n?124_1n?12241122]s???3. 52 b2?[?ni?xi?n(x)?nn253211?225，2 )33、 设?1,?2,?3为取自正态总体N(?,?2)的一个样本，其中?未知但?已知。问下述样本
函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？ （1）??1??2,?3?；（2）（5）
2
???i???i?132；（3）1?2；（4）max(?1,?2,?3)； ?2?ii?1311(?(1)??(3))；（6）(?1??3)。 2?2解答：因统计量是样本的连续函数且不包含任何未知参数。由题意，?未知但?已知，因此可知除（2）不是统计量外，其余5个都是统计量。 4、 在计算样本均值与样本方差时，常常对数据作线形变换yi?xi?a,i?1,2,?,n，使yib_?___1n1n?x?by?a成为较简单的整数以简化运算，求证：?。其中：x??xi,y??yi，
222ni?1ni?1??sx?bsy__1n1n22s?(xi?x),sy?(yi?y)2。 ??n?1i?1n?1i?12x_xi?a1n1n,所以xi?a?byi(i?1?解答：因为yi?,n,，)x??xi??(a?byi) bni?1ni?1
___1n1n1n22?a?b?yi?a?by；sx?(xi?x)?(a?byi?(a?by))2 ??n?1i?1n?1i?1ni?1_b2n?(yi?y)2。 ?n?1i?15、 设某工厂生产轴承，从某天的产品中随机抽取10根，测量直径如下（单位：mm）：14.6、14.7、15.2、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8、 14.7。试用原始数据和作变换
2y?(x?14)*10后的数据分别求x和sx，并比较哪种方法计算方便。
_解答：x?_1(14.6?14.7?15.2?14.9?14.8?15.0?15.1?15.2?14.8?14.7)?14.9， 10?xi?12x102i?(14.62?14.72?15.22?14.92?14.82?15.02?15.12?15.22?14.82?14.72) ?2220.52， _1102s?(?xi?10?(x)2)?0.0467。 9i?1_通过变换y?(x?14)*10，我们可得yi：6、7、12、9、8、10、11、12、8、7，得y?9，
2sy?4.67，由上题的公式可知 ??B(k,p)；???(?)；6、 设总体?分布为下述情形（1）（2）（3）??N(?,?2)，?1,?,?n为取自总体的样本，?与S分别为样本均值与样本方差，试分别求E(?),D(?),E(S)。 解答：有定理6.1及其推论、定理6.2可知：E(?)??,D(?)?___2__2?2n,E(S2)??2。（1）因
)???kp,??B(k,p)，则E(?__D(?)?_?2n_?kp1(?)p， E(S2)??2?kp(1?p)；n? （2）因???(?)，则E(?)????,D(?)??2n?n,E(S2)??2??；
（3）因??N(?,?)，则E(?)??,D(?)?
2__?2n,E(S2)??2。
第二节 抽样分布与分位数
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1、 在正态总体N(52,62)中随机抽取一个容量为36的样本，求样本平均值落在50.8和53.8
之间的概率？
解答：因从正态总体N(52,62)中抽取容量为36的样本，由6.2节的推论可知，其样本均值
??N(52,6/36)=N(52,1)，因此??52?N(0,1)???53. 8}，由此P{50.8?P{?1.2???52?1.8}=?(1.8)??(?1.2)?0.8599?(1?0.8461)?0.706
2、 设总体??N(20,32)，今从中抽取容量分别为10和15的两个独立样本，试问这两个
样本的平均值之差的绝对值大于0.3的概率有多大？
解答：由题意，令?表示样本容量为10的样本均值、?表示样本容量为15的样本均值，且
____2__?与?相互独立。由6.2节的推论可知，??N(20,0.9)、??N(20,0.6)，因此由例3.16可知：????N(0,1.5)，所以P{|???|?0.3}=2(1?P{????0.3}) __________?2(1??(0.3))=0.8065。 1.53、 设总体N(10,3)，问样本容量n取多大时，才能以0.95的概率保证样本平均值与总体期望之差的绝对值不超过0.3？ 解答：因样本均值??N(10,3/n)，即0.95?P{|???|?0.3}?2P{????0.3}?1，即得：___?(0.30.3)?0.975，因此?1.96，因n为整数可得：n?129。 3n3n24、 已知?1,?,?4是N(0,2)的一个样本，令??a(?1?2?2)2?b(3?3?4?4)2，问a,b取什么值时，?服从?分布？并给出自由度。
解答：因?1,?,?4是N(0,2)的一个样本，所以a(?1?2?2)与b(3?3?4?4)相互独立，且由例3.16可知它们分别服从N(0,20a)、N(0,100b)，要使?服从?分布，只要使a(?1?2?2)与b(3?3?4?4)均服从标准正态分布，即令a?0.05,b?0.01即可，此时，可知??222?2(2)。
5、 设总体??N(0,0.3)，从中抽取容量为10的样本，求满足P{大的?。 2??i?1102i??}?0.05的最
解答：因总体??N(0,0.32)，所以?0.3?N(0,1)，即从中抽取的容量为10的样本，去我们有2，所以(?0.3)??(10)0.05?P{???}?P{(?/0.3)????222i?1i?1i?1101010}0.09?查表可知?0.09?18.307，即??1.64763。 2_6、 设?1,?,?n为取自?(m)总体的样本，求样本均值?的期望与方差。 解答：由定理6.1及其推论知：E(?)??,D(?)?___?2n，因?1,?,?n为取自?2(m)总体的样
_本，因此E(?)?m,D(?)?2m，即E(?)?m,D(?)?2n2m。 n2i1n27、 设?1,?,?n为取自N(0,?)总体的样本，令（1）?1???；（2）?2???i；（3）ni?1i?11?n??n?（4）?4????i?。求常数ki，使?i?ki?i服从?2分布。 ?3????i?；n?i?1??i?1?解答：?1,?,?n为取自N(0,?)总体的样本，所以互相独立，且222?i?N(0,1)i?1,?,n，???i?1ni?N(0,n?)，即12??i?1nin??N(0,1)。因此： （1）k1??2n，则?1?k1?1??i2??()??2(n)； ?2??i?1i?1?1n2in （2）k2??2，则?2?k2?2?1?2??i?1n2i??(i)2??2(n)； i?1n??????i??11n22i?1?? （3）k3?，则??k??(?)???(1)； ?333i22n?n?i?1?n??????n2
?n????i?11n （4）k4?2，则?4?k4?4?(?)2??i?1???2(1)。 2?i?n?i?1?n??????2m8、 设?1,?,?n,??n?m是取自N(0,?2)的容量为n?m的样本，令（1）?1?n??i?1n?mj?n?1ni，
2j??（2）?2?m??i2n??j2j?n?1i?1n?mn，问?1,?2分别服从什么分布。
解答：因?1,?,?n,??n?m是取自N(0,?)的容量为n?m的样本，因此：
2???i?n?m??jj22i?1i?1与?()2相互独立，由此可得 ?N(0,1)，?()??(m)，且n?n?j?n?1?j?n?1?innn?mm?1?n??i?1n?mj?n?1ni?2j??i?in?mj?n?1nin????(?j2)m?n?i2?2?t(m)；又因?()??(n)，且?(i)2
i?1?i?1?n?n?m?j1i?1?与?()2相互独立，因此?2?ni??m?n??F(n,m)。 m?j?n?1?n??j2(j)2m?j?n?1j?n?1?m??n2i?(i)2nn9、 设?1,?,?11为N(11,0.3)的一个样本，问样本方差大于0.144的概率？ 解答：因?1,?,?11为N(11,0.3)的一个样本，而由定理6.4知：
22(n?1)S2?2??2(n?1)。
10?S210??0.144}?P{?2?16}?0.10。 所以，P{S?0.144}?P{220.30.3210、
_1n设?1,?,?n为来自N(?,?)总体的一个样本，令S?(?i??)2，求?n?1i?122E(S2),D(S2)。
解答：由定理6.4可知：??(n?1)S2?2??2(n?1)，而E(?)?n?1，D(?)?2(n?1)，
2??2?2?4222E(?)??，D(S)??因此，E(S)?。 ?D(?)?n?1n?1?n?1??211、
设?1,?,?n为来自N(?,?)总体的一个样本，?与S是它的样本均值与样本方
2_2差；又设?n?1与?1,?,?n相互独立。且服从N(?,?2)，试证：
?n?1??S2_n?t(n?1)。 n?1_解答：因?1,?,?n为N(?,?)总体的样本，所以??N(?,_?2n)，(n?1)S2?2??2(n?1)，又因?n?1与?1,?,?n相互独立，所以?n?1与?、(n?1)S2?2相互独立，因此我们有(n?1)?2????n?1???N(0,)，即n?1nS__n?n?1?n?1???2_(n?1)S2(n?1)?2n?t(n?1)。 (n?1)12、 ?e?x,x?0设??f(x)??，求?的??0.05和0.10的上侧分位数。 0, x?0??e?x,x?0解答：由上侧分位数的定义，即要求P{??x}??的x。今??f(x)??，显然?0, x?0????由??0.05和0.10可知x1,x2>0，??P{??x}??xf(t)dt??ex?tdt?e?x，即：x?ln13、
1?，因此x1?ln1?1?ln111?2.996，x1?ln?ln?2.996。 0.05?10.05查表求下列分布的上侧?分位数： （1）?0.01，?0.95；
22（2）?0.025(13)，?0.99(20)，?0.10(70)；
2（3）t0.10(12)，t0.95(17)，t0.5(20)，t0.01(60)；
2（4）F0.01(12,15)，F0.975(12,15)。
解答：因表中不一定恰好有我们所需要的数值，因此可通过线形内插法求出它的近似解。即：
若有(x1,f(x1))、(x2,f(x2))，假定x1?x2，现要求x1?x?x2的函数值f(x)，则：
f(x)?f(x1)?f(x2)?f(x1) ?(x2?x1)，或利用该式计算f(x)对应的x。即可得：
x2?x12.33?2.32(0.01?0.0102)?2.32667，
0.0099?0.01021.65?1.64??(1.64?(0.05?0.0505))??1.645。
0.0495?0.0505 （1）u0.01?2.32? u0.95??u0.05 （2）
22?0.025(13)?24.736,?0.99(20)?8.260，因表中没有自由度为70的值，因此利
22用：当n充分大时，2??N(2n?1,1)，即2??2n?1?N(0,1)，因此：
222??P{?2???}?P{2?2?2n?1?2???2n?1}?1??(2???2n?1)今n?70,??0.1，可得u0.1?1.28?20.11.29?1.28(0.1?0.1003)?1.28375，
0.0885?0.1003(1.28735?139)2即?(70)??85.4592。 2 （3）t0.10(12)?1.3562,t0.95(17)??t0.05(17)??1.7396，t0.05(20)?2.086，因表中
2没有自由度为60的值，因此可利用：当n充分大时，T分布的渐进分布为标准正态分布，可得：t0.01(60)?u0.01?2.32667。 （4）F0.01(12,15)?3.67，因表中没有??0.975的值，利用1?F(15,12)，
F(12,15)可得：F0.975(12,15)?11??0.3145。 F0.025(15,12)3.18
复习题
1、 总体抽取n?60的样本，它的频数分布为 xi ni _1 8 23 40 6 10 26 2 求样本均值x，样本方差S和标准差S。
1n1k1解答：x??xi??ni?xi?(8?1?40?3?10?6?2?26)?4，
ni?1ni?160__1k12S?[?ni?xi?n?(x)2]?(8?12?40?32?10?62?2?262?60?42)?18.983，n?1i?1592S?S2?4.357。 2、 设总体???(?)，?1,?,?n为其样本，?与S是它的样本均值和样本方差，求E(?)和_2_E(S2)。 解答：由定理6.1及其推论、定理6.2可知：E(?)????,E(S)????。 3、 下面是100个学生的身高（单位：厘米） 身高 学生数 154~158 158~162 162~166 166~170 170~174 174~178 178~182 10 14 26 __2228 212 8 2 同组内学生以组中值表示其身高，试求x与S。 解答：因同组内学生以组中值表示其身高，因此可得个各身高的频数为： 身高 学生数 156 10 160 14 164 26 168 28 172 12 176 8 180 2 令：y?x?168，则可得： yi ni ni?yi -12 10 -120 1440 __-8 14 -112 896 -4 26 -104 416 0 28 0 0 4 12 48 192 8 8 64 512 12 2 24 288 ni?yi2 1k1得：x?168?y?168??ni?yi?168?(?200)?166，
ni?1100
_1k13042 S?S?[?ni?yi?n?(y)2]?(3744?100?4)?n?1i?19992x2y_4、 设?1,?,?n为N(?,4)的一个样本，?是样本均值，试问样本容量n取多大才能使下式
成立：
（1）E|???|?0.1； （2）P{|???|?0.1}?0.95。
解答：因?1,?,?n为N(?,4)的一个样本，因此??N(?,)，即??___4n???4n??_?N(0,1)，得
1x2E(|???|)?4nE(?)?4n?|x|exp(?)dx?22???_??42n?x2x2exp(?)d ?220?8004?0.1，因此n?。 ?2n?__n|???|0.10.10.95?P{|???|?0.1}?P{?}?2?()?1，即?()?0.975，
204n4n4n也即：n ?1.96，由此n?(1.96?20)2?1536.64。因n为正整数，所以n?1537。
205、 设?1,?2,?,?6为N(0,1)的样本，令??(?1??2??3)2?(?4??5??6)2，求参数c，使
c?满足?2分布，并给出自由度。 解答：因?1,?2,?,?6为N(0,1)的样本，因此?1??2??3与?4??5??6相互独立，且均服从
N(0,3)，也就是说：?1??2??33?N(0,1)，?4??5??63?N(0,1)。要使
c??c((?1??2??3)2?(?4??5??6)2)服从?2分布，由?2的定义可知：c?3，且此时，c???2(2)。
26、 设?1,?,?n为N(?,?)的样本，利用（6.11）给出（1）?1?n?(i?1n?i??2（2） )；
??2??(?i??)2的密度函数。
i?1
解答：因?1,?,?n为N(?,?2)的样本，所以
?i???N(0,1)i?1,?,n，且相互独立，因?x?1??n22?xe,x?0?n此?1??2(n)，即?1得密度函数为：f?1(x)??22?(n)。因?2??2?1，所
?2?0, x?0?ny?y?y2?1?2?n?1?2?1(2)ey2e2??,x?0,x?0?n1y?2?nn以f?2(y)?2f?1(2)???。 ???2n22?()n22?()????22??0, x?0???0, x?027、 设??t(n)，求证???2?F(1,n)。
解答：因??t(n)，所以?可看成有两个相互独立的随机变量??N(0,1),???2(n)通过
?21?222?F(1,n)。 构造而来，而???(1)，因此???????n?n8、 设?1,?,?m为N(?1,?2)的样本，?1,?,?n为N(?2,?2)的一个样本，且两样本独立，2(m?1)S12?(n?1)S2?与?分布为样本均值，S,S分别为样本方差，S?，a,b为
m?n?2__21222w常数： a2b22（1） 求证：a??b??N(a?1?b?2,(?)?)； mn__（2） 求证：a??b??(a?1?b?2)2Sw__ab?mn222?t(m?n?2)。 解答：由题意可知，??N(?1,?_m)、??N(?2,?2n)，且这两个随机变量相互独立。
___a2b22因此，由例3.16可知。a??b??N(a?1?b?2,(?)?)，因此
mna??b??(a?1?b?2)a2b22(?)?mn__?N(0,1)。由定理6.4可知：
(m?1)S12?2??2(m?1)、
2(n?1)S2?2??2(n?1)，且这两个随机变量相互独立，由?2的性质3可知：
2(n?1)S22(m?n?2)Sw(m?1)S12?2_?_?2??(m?n?2)，即
2?2??2(m?n?2)，因此：
a??b??(a?1?b?2)a2b22__(?)?a??b??(a?1?b?2)mn??t(m?n?2)。
222(m?n?2)SwabS?(m?n?2)wmn?2