北京市101中学2012届上学期高三年级统考二数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合M??x|y?2 A. （0，2） C. （0，??）
x?，N
?x|y?lg2x?x??2??，则M?N为
B. （2，??）
D. ???,0???2,???
2. 在△ABC中，“A?B”是“sinA?sinB”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知等比数列?an?中，a1?1，公比|q|?1，若am?a1a2a3a4a5，则m? A. 9
2B. 10
2
C. 11
2D. 12
?mx?1?0，若p或q为假，则实数m的取值范围为
4. 已知p：存在x?R,mx A. m??2 5. 函数f?x??2cos ①函数在区间? ②直线x??8???8,?1?0；q：对任意x?R，xB. m?2 C. m?2或m??2 D. ?2?m?2
x?sin2x?1，给出下列四个命题： 5??上是减函数； ?8?是函数图象的一条对称轴；
2sin2x的图象向左平移
③函数f?x?的图象可由函数y? ④若x??0,???4而得到；
??2??，则f?x?的值域是[0，2]。
其中正确命题的个数是 A. 1
B. 2
C. 3
2
nn?1D. 4
6. 已知数列?an?的通项公式an?log A. 最大值15
1627?n?
34N*?，设其前n项和为Sn，则使Sn??4成立的自然数n有
B. 最小值15
23C. 最大值16 D. 最小值16
33 7. E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF= A.
B.
C.
D.
8. 已知函数f?x?是定义在R上的奇函数，f?x?4???f?x?，在?0,2?上f?x?是增函数，则下列结论：①若
0?x1?x2<4且x1?x2?4，则f?x1??f?x2??0；
②若0?x1?x2?4,且x1?x2?5，则f?x1??f?x2?；
③若方程f?x??m在??8,8?内恰有四个不同的解x1,x2,x3,x4，则x1?x2?x3?x4??8。其中正确的有 A. 0个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 若关于x的不等式x?4x?m对任意x??0,1?恒成立，则实数m的取值范围是___________。
2 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10. 已知0???3???3?,cos???，则tan??___________。 ??44?5?12x2 11. 已知f?x??lnx,g?x???mx?72?m?0?，直线l与函数f?x?、g?x?的图象都相切，且与函数f?x?的图
象的切点的横坐标为1，则m的值为___________。
12. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析其利润y（单位10万元）与运营年数x?x?N
*?为
二次函数关系（图象如下图），则每辆车运营年数x?___________时，其平均年利润最大。
2 13. 用max?a,b?表示a，b两个数中的最大数，设f?x??max?x,1??x?x??，那么由函数y?f?x?的图象、x4???轴、直线x?14和直线x?2所围成的封闭图形的面积是___________。
abcda12112?1,n,n?1anan?1 14. 定义运算
若数列?an?满足?ad?bc，
?2n?N?*?，则a3?___________；数列?an?的
通项公式是___________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。 15. 已知cos?x???????23?????,x?,???。 4?104??2 （I）求sinx的值； （II）求sin?2x????的值。 3?2 16. 已知数列?an?的前n项和，Sn?n?2n?1。
（I）求数列?an?的通项公式an； （II）记Tn?1a1a2?1a2a3?...?1anan?1，求Tn。
17. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=?，△BCD是正三角形。 （I）将四边形ABCD的面积S表示为?的函数； （II）求四边形ABCD的面积S的最大值及此时?的值。
18. 已知函数f?x???2x?x?a?x?a?,a?R。
2
（I）当a?1时，解不等式f?x???2； （II）求f?x?的最大值。 19. 已知函数f?x??lnx,g?x??x?2x。
（I）求??x??g?x??kf?x??k?R?的单调区间；
（II）若对于所有的x?[e,??)都有xf?x??ax?a成立，求实数a的取值范围。
20. 已知数列?an?各项均为正数，a1?a,a2?b，且对于正整数m,n,p,q,当m?n?p?q时，都有
am?an?1?am??1?an??12ap?aq?1?a??1?a?pq。
（I）当a?,b?45，求a3,a4的值，并求数列?an?的通项公式；
1?an??。
（II）证明：对于任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有
?
【试题答案】
一、1-5 ACCBB 6-8 DCD； 二、
9. (??,?3]； 13. 三、
15. （13分） 解：（I）由已知，x???3512 10.
17 11. -2 12. 5
；
14. 10；an?4n?2
???????,?， 42??42 ∴sin?x? 又x??x???????4??2??1???10????7102
??， ??4?4??? ∴sinx?sin?x???????4??cos?x??； ?cos?sin4?4445??35 （II）由已知：cosx??，
2425,cos2x?2cos2 ∴sin2x?2sinxcosx?? ∴sin?2x???x?1??725，
???cos2xsin???sin2xcos3?33???24?7503。
16. （13分）
解：（I）当n?1时，a1?S1?4， 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1， 又a1不适合上式， ∴an?? （II）∵
∴Tn??120??4,n?1?2n?1,n?21a1a214?5
1anan?1?1?1?11????，
2?2n?12n?3??14?5，当n?2时,?2n?1??2n?3??1?111111????...?????
2?57792n?12n?3?1?11???? 2?52n?3??320?12?2n?3?。
17. （13分）
解：（I）在△ABD中，BD ∴S△ABD?1222?1?1?2?1?1?cos??2?2cos?，
34BD222?1?sin?，S△BCD??32?32cos?，
∴SABCD?12sin??32cos??32，且???0,??；
?2???????,? 333?? （II）∵S?sin?????????3?32，且????32????sin?????1
3?? ∴当???3??2时，Smax?1?322，此时??5?6。
18. （14分）
???x?2x?1,x?1 解：（I）当a?1时，f?x???
2???3x?2x?1,x?1 原不等式等价于??x?1??x?2x?1??2??12，或??x?1??3x?2x?1??22
故原不等式的解集为?x|?2??x?1?； 3?2???x?2ax?a,x?a （II）∵f?x???
22???3x?2ax?a,x?a???即f?x???????x?a??2a,x?a,222 a?22?3?x???a,x?a3?3?2 ①当a?0时，在[a,??)上f?x?单减，最大值为f?a???2a，
在???,a?上f?x?先增后减，最大值为f?此时，f?x?在???,???上最大值为?2322?a????a，
3?3?2a；
2②当a?0时，在[a,??)上f?x?先增后减，最大值为f??a??2a， 2在(??,a]上f?x?单增，最大值为f?a???2a，
2此时，f?x?在???,???上最大值为2a
③当a?0时，f?x?在???,???上最大值为0。 综上，当a?0时，f?x?最大值为? 19. （14分）
解：（I）定义域为?0,???,???x??1? ①△?k②△?kx1?223a；当a?0时，f?x?最大值为2a。
222x2?kx?x2?kx?2x2，
?8?0即?2?8?0,2?k?22时，???x??0恒成立；
2时,方程x22即k??22或k?2?kx?2?0有两不等实根
?k?2k2?8,x2??k?2k2?8，
且若k?22,则x1?x2?0,???x??0恒成立，
若k??22，则0?x1?x2，在?0,x1?上??x??0，在(x1,x2)上??(x)?0，在(x,??)上??(x)?0，