第七章 点的合成运动习题解析
[习题7-1] 汽车A以v1?40km/h沿直线道路行驶，汽车B以v2?402km/h沿另一叉道行驶。求在B车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A车。
动系：固连于B车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A相对于地面的运动。 相对运动：动点A相对于B车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。ve?v2。由速度合成定理得：
?v?v1450vr?vABve?v2450v?ve?vr。用作图法求得：
??vr?vAB?40km/h （↑）
故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为vr?vAB?40km/h，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m，流速为0.5m/s，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。
动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的v。 相对速度：vr?1m/s，方向如图所示。 牵连速度：ve?0.5m/s，方向如图所示。 由速度合成定理得：
?BN
vvr?1m/s?ve?0.5m/sC1000mAv?ve?vr
?? 1
v?ve2?vr2?0.52?12?1.118(m/s)
??arctanAC?vr1?arctan?63.4350 ve0.510001000??500(m)，即，船将在北岸下流５００m处靠岸。如图所示，Ａ为出tan?21000m?1000(s)?16分40秒
1m/sNB发点，Ｂ为靠岸点。 渡河所花的时间：t1?（２）
v0.5??arcsine?arcsin?300
vr1v?vr2?ve2?12?0.52?0.866(m/s)
即船头对准方向为北偏西30 渡河所花的时间：
0vvr?1m/s?ve?0.5m/sA1000mt2?1000m?1155(s)?19分15秒
0.866m/s[习题7-3] 播种机以匀速率v1?1m/s直线前进。种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度
v2?2m/s。求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间
水平距离。 解： 动点：种子。
动系：固连于输种管的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。 相对速度：vr?v2?2m/s 牵连速度：ve?v1?1m/s
?v1600v2250mmv?ve?vr
??ve?1m/s?1200v?12?22?2?1?2cos1200?2.65(m/s)
vvr?2m/s 2
12.65 ?sin(600??)sin1200sin120060???arcsin?19.070
2.650??40.930
即v与v1之间的夹角为??40.930。 种子走过的水平距离为：
??s?vxt?vcos??t
h?vyt?12gt 212gt 2nt? h?vsi?02 0.25?2.65sin40.93t?0.5?9.8t
4.9t2?1.736t?0.25?0
0.11(s)?1.736?1.7362?4?4.9?(?0.25)?1.736?2.813???? t?
?0.464(s)(不合舍去）2?4.99.8? s?2.65?cos40.930?0.11?0.22(m)
[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为v1?4m/s，其方向与铅直线成
300角。设传送带Ｂ与水平面成150角，其速度为v2?2m/s，求此时砂石料对于传送带Ｂ的
相对速度。又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B带垂直。 解：
动点：砂石料。
动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：砂石料相对于地面的速度，v?v1?4m/s。 相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。 牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：ve?v2?2m/s
?va?ve?vr
??vr?22?42?2?2?4cos750?3.98(m/s)
3
当vr?vB时，传送带Ｂ的速度为：
vB?vasin150?4sin150?1.04(m/s)
[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成?角。杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度v向右运动，求活塞Ｂ的速度。 解： 动点：Ａ。
动系：固连于凸轮上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。 相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。 牵连速度：凸轮相对于地面的速度。
ve150600ve230015060030015044vavrvavrva?ve?vr
???vrva?vA?vA?vtan?
因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为：
ve?vvB?vA?vtan?
[习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长OA?r的曲柄，以匀角速度?绕Ｏ轴转动。装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成60角。求当曲柄与水平线的夹角?分别为0、30、60时，杆ＢＣ的速度。 解： 动点：Ａ。
0000 4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动，vA?vCBDE?vBC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
900??Avr1200va??ve?vBCOva?ve?vr
???va?r?
vBCva?
sin(1800?1200?900??)sin1200vBCr??
sin(??300)sin1200vBCsin(??300)??r?
sin1200vBC1sin(0?30)2r???3r? |??0??r??3sin1200320?负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。
vBCsin(300?300)|??300??0，此时往复运动改变方向。 0sin120vBC1sin(60?30)2r??3r?，向右。 |??600??r??3sin12003200[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω０＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。 解： 动点：C。
动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
OCvr300veva 5
绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。 相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve?OC???0.4?0.5?0.231(m/s) 0cos30va?ve?vr
???va?ve0.2??0.267(m/s) 020cos30cos30va?vAB?r?1?0.2/0.75
?1?0.267/r1?0.2/0.75?5.33(rad/s)
0.05即齿轮的角速度为?1?5.33rad/s
[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长l，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。已知在图所示位置 ＯＡ⊥ＯＯ１，AB?2l，求该瞬时ＢＣ杆的速度。 解： 动点：Ａ。
动系：固连于O1D杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：Ａ相对于地面的速度，va?l?0。 相对速度：Ａ相对于O1D杆的速度。 牵连速度：O1D杆相对于地面的速度。
va?ve?vr ve?vasin300?ve?O1A??O1D???1l?0 21?l?0 2veva300A9002l??O1D?11l?0 2vr?OD??0
动点：Ｂ。
14 6
动系：固连于O1D杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于O1D杆的速度。 牵连速度：O1D杆相对于地面的速度。
ve900va300Bva?ve?vr
1ve?O1B??O1D?4l??0?l?0
4???vrva?vel?0??1.155l?0
cos3000.866BC作平动，故
vBC?va?1.155l?0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解：
动点：Ｂ。
动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
300900２
vavrBveva?ve?vr
凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。 ve?vA
???vBC?vB?va?vecot300?vAcot300?6003?1039.23(mm/s) vr??ve?2ve?2?600?1200(mm/s) 0sin30????nr?aayaa?ae?ar?ae?a?a?r
a?rx300600300 7
anrBae上式在x轴上的投影为：
aacos600?aecos300?arn
vr2aa?3ae?2a?3ae?2?
r(1200)2aa?1.732?800?2???8214.4(mm/s2)，负号表示方向向下。
300nr[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。 解：
动点：Ｃ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。 相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。 牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。
va?ve?vr
???ve?vC?vA?O1A???100?2?200(mm/s) va?vecos600?200?0.5?100(mm/s)
vavr600vevCD?vC?va?100(mm/s)
aa?ae?ar
???Cae?aA ae?0
?ae600aav2ae?a??O1A??2?100?22?400(mm/s2)
O1Aneaa?aesin600?400?0.866?346.4(mm/s2)
CaraCD?aC?aa?346.4(mm/s)
[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。若已知曲柄
8
ＯＡ作匀速转动，其转速为ω＝４πｒａｄ／ｓ，又Ｒ＝ＯＡ＝１００ｍｍ，求当曲柄与水平轴成角φ＝３０°时滑道ＣＤ的速度及加速度。 解：
动点：Ａ。
动系：固连于滑道ＣＤ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于滑道ＣＤ的速度。 牵连速度：滑道ＣＤ相对于地面的速度。
va?ve?vr
???vCD?ve?va?OA???100?4??1256(mm/s)?1.26m/s
aa?ae?ar?ae?a?a?r
aa?OA??2?0.1?(4?)2?15.775(m/s2)
v21.2562a???15.775(m/s2)
R0.1nr?????nr?vavrve600600A加速度在?方向的投影：
?aacos600??aecos300?arn
?300a?rA300?15.775?0.5??ae?0.866?15.775
ae?27.32(m/s2)
aeaa300900300aCD?ae?27.32(m/s)
2arn
[习题7-12] 销钉Ｍ可同时在槽ＡＢ，ＣＤ内滑动。已知某瞬时杆ＡＢ沿水平方向移动的速度 ｖ１＝８０ｍｍ／ｓ，加速度ａ１＝１０ｍｍ／ｓ２；杆ＣＤ沿铅直方向移动的速度ｖ２＝６０ｍｍ／ｓ，加速度ａ２＝２０ｍｍ／ｓ２。求该瞬时销钉Ｍ的速度及加速度。 解：
动点：Ｍ。
动系：固连于ＡＢ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。
9
相对速度：Ｍ相对于ＡＢ的速度。 牵连速度：ＡＢ相对于地面的速度。
va?ve?vr
2va?ve2?vr2?v12?v2?802?602?100(mm/s) ??????vrvaaa?ae?ar
2aa?ae2?ar2?a12?a2?102?202?22.36(mm/s2)
M
ve[习题7-13] 水力采煤用的水枪可绕铅直轴转动。在某瞬时角速度为ω，角加速度为零。设与转动轴相距ｒ处的水点该瞬时具有相对于水枪的速度ｖ１及加速度ａ１，求该水点的绝对速度及绝对加速度。 解：
动点：水点。
动系：固连于水枪上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：水点相对于地面的速度。 相对速度：水点相对于水枪的速度。
牵连速度：水枪上与水点相重点相对于地面的速度。
va?ve?vr
???ve2r2212122va?v?v?(r?)?v?v?r? aa?ae?ar?aC
?ae?r??r?0?0
nae?r?2 ????2evaWvraC?2?vrsin??2?v1sin900?2?v1
aCar?a1
aa?(a1?r?)?(2?v1) aa?(a1?r?2)2?(2?v1)2
222aenW
ar 10
[习题7-14] 半径为ｒ的圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心Ｏ的铅直轴ｚ转动。一小球Ｍ悬挂于盘边缘的上方。设在图示瞬时圆盘的角速度及角加速度分别为ω及α，若以圆盘为动参考系，试求该瞬时小球的科氏加速度及相对加速度。 解：
动点：小球Ｍ。
动系：固连于圆盘上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：小球Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：小球Ｍ相对于圆盘的速度。
牵连速度：圆盘上与小球Ｍ相重点相对于地面的速度。
nae?r?2
?ae?r?
aC?2?vrsin??2??r??sin900?2r?2，方向如图所示。
a?rarnMarn?r?2 a?r?r?
2ar?(arn)2?(a?r2?4?r2?2?r?4??2 r)?aCaen
?ae[习题7-15] 一半径ｒ＝２００ｍｍ的圆盘，绕通过Ａ点垂直于图平面的轴转动。物块Ｍ以匀速率ｖｒ＝４００ｍｍ／ｓ沿圆盘边缘运动。在图示位置，圆盘的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝４ｒａｄ／ｓ，求物块Ｍ的绝对速度和绝对加速度。 解：
动点：物块Ｍ。
动系：固连于圆盘上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：物块Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：物块Ｍ相对于圆盘的速度。
牵连速度：圆盘上与物块Ｍ相重点相对于地面的速度。
???２
va?ve?vr
M1350vrve?(2r)??2?200?2?4002(mm/s)
ve
11
vava?ve2?vr2?2vevrcos1350
?(4002)2?4002?2?4002?400?(?aa?ae?ar?aC
?ae?2r??2?200?4?8002
nae?2r?2?2?200?22?8002 ????12)?4005?894.43(mm/s)
?aeaeMM?ae?2ae?2?8002?1600(mm/s) ar?0
vr24002a???800(mm/s2)
r200nr?2aenaearnaCaa?aC?arnaC?2?vrsin??2?2?400?sin900?1600(mm/s2)
aa?ae2?(aC?arn)2?16002?(1600?800)2?2884.44(mm/s2)
??arctan2400?56.310 1600２
[习题7-16] 大圆环固定不动，其半径Ｒ＝０.５ｍ，小圆环Ｍ套在杆ＡＢ及大圆环上，如图所示。当θ＝３０°时，ＡＢ杆转动的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝２ｒａｄ／ｓ，试求该瞬时：（１）Ｍ沿大圆环滑动的速度；（２）Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度；（３）Ｍ的绝对加速度。 解：
动点：小圆环Ｍ。
动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：小圆环Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：小圆环Ｍ相对于ＡＢ杆的速度。
牵连速度：ＡＢ杆上与小圆环Ｍ相重点相对于地面的速度。
???va?ve?vr
AM?R2?R2?2R2cos1200
?3R?1.732?0.5?0.866(m)
A300M300300vrOvave 12
ve?AM???0.866?2?1.732(m/s) va?ve1,732??2(m/s) （Ｍ沿大圆环滑动的速度）
cos3000.8660vr?vasin30?2?0.5?1(m/s)（Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度）
aa?ae?ar?aC
2va22a???8(m/s2)
R0.5na????naeM300300naarA300OaaCa?a?aeM300?ae?AM???0.866?2?1.732(m/s2)
aC?2?vrsin??2?2?1?sin900?4(m/s2)
如图所示，aa?ae?ar?aC在aC方向上的投影为：
n0?aacos600?a?acos30?aC?ae
?????A300?a?aOnaa8?0.5?0.866a?a?4?1.732
2a?a?2(m/s)
aan22aa?(aa)?(a?82?22?8.25(m/s2) （Ｍ的绝对加速度）。 a)?a?2??arctana?arctan?14.040 ，如图所示。 n8aa[习题1-17] 曲柄ＯＡ，长为２ｒ,绕固定轴Ｏ转动；圆盘半径为r,绕Ａ轴转动。已知r?100mm，
2在图示位置，曲柄ＯＡ的角速度?1?4rad/s,角加速度?1?3rad/s，圆盘相对于ＯＡ的角
速度?2?6rad/s，角加速度?2?4rad/s2。求圆盘上Ｍ点和Ｎ点的绝对速度和绝对加速度。 解：
动点：Ｍ、Ｎ。
动系：固连于ＯＡ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ、Ｎ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ、Ｎ相对于ＯＡ杆的速度。
牵连速度：ＯＡ杆（包括其延长线）上与Ｍ、Ｎ相重点相对于地面的速度。
???va?ve?vr
13
Ｍ点的速度：
ve?(OA?r)?1?3r?1?3?100?4?1200(mm/s)
veMvr?r?2?100?6?600(mm/s)
va?ve?vr?1200?600?600(mm/s)（方向与ve相同） vM?va?600(mm/s)
Ｍ点的加速度：
?vrOaa?ae?ar?aC
?ae?3r?1?3?100?3?900(mm/s2)
nae?3r?12?3?100?42?4800(mm/s2)
????aCa?rM3600?aeM?500a?(mm/s2) r?r?2?100?4?4002arn?r?2?100?62?3600(mm/s2)
aOnaenraMaC?2?1vrsin??2?4?600?sin900?4800(m/s2)
?2aM?aa?(aen?arn?aC)2?(ae?a?) raM?(4800?3600?4800)2?(900?400)2?3634.56(mm/s2)
??arccos500?82.090
3634.56Ｎ点的速度：
vavrve?5r?1?5?100?4?894.43(mm/s) vr?r?2?100?6?600(mm/s)
ve?N90?0900900rA??arccos2r5r2?63.430
O2rva?ve?vr?2vevrcos?
va?(4005)2?6002?2?4005?600?Ｎ点的加速度：
15?824.62(mm/s)
14
aa?ae?ar?aC
?ae?5r?1?5?100?3?670.82(mm/s2)
nae?5r?12?5?100?42?3577.71(mm/s2)
????ya?(mm/s2) r?r?2?100?4?4002arn?r?2?100?62?3600(mm/s2)
aCNr63.430?aeAaC?2?1vrsin??2?4?600?sin900?4800(m/s2)
a?r2rnaearnx?aax?n?arn?aecos26.570?aecos63.430?aC
?3600?670.82cos26.570?3577.71cos63.430?4800
O?1000.25(mm/s)
2?aayn0?0??a?r?aecos26.57?aesin26.57
y??400?3577.71cos26.570?670.82sin26.570
N??3299.81(mm/s)
aN?aa?(?aax)2?(?aay)2
?1000.252?(?3299.81)2?3448.08(mm/s2)
2??aax?aayx??arccos
?aaaax1000.25?arccos?73.140
3448.08aN[习题1-18] 在图示机构中， 已知ＡＡ′＝ＢＢ′＝ｒ＝０.２５ｍ， 且ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。连杆ＡＡ′以匀角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ａ′转动，当θ＝６０°时，槽杆ＣＥ位置铅直。求此时ＣＥ的角速度及角加速度。 解：
动点：Ｄ。
动系：固连ＣＥ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｄ相对于地面的速度。 相对速度：Ｄ相对于ＣＥ杆的速度。 牵连速度：ＣＥ杆上与Ｄ相重点相对于地面的速度。
15
va?ve?vr
???va?vD?vA?r??0.25?2?0.5(m/s) ve?CD??CE?vacos300 0.5??CE?0.5?cos300
vavrve300600D?CE?0.866(rad/s)
aa?ae?ar?aC
????aC?2?CEvrsin?
?2?0.866?(0.5?0.5)?sin900?0.433(m/s2)
ae?CD??CE?0.5?CE
?ara?a300ae?aC600Daa?r??CE?0.5?0?0
naa?r??2?0.25?22?1(m/s2)
?naanaeaa?ae?ar?aC在aC方向的投影为：
n? aacos600?aC?ae?????1?0.5?0.433?0.5?CE
?CE?0.134(rad/s)
[习题1-19] 销钉Ｍ可同时在ＡＢ、ＣＤ两滑道内运动, ＣＤ为一圆弧形滑槽，随同板以匀角速
?0?1rad/s绕Ｏ转动；在图示瞬时，Ｔ字杆平移的速度v?100mm/s，加速度
a?120mm/s2。试求该瞬时销钉Ｍ对板的速度与加速度。
解： 动点：Ｍ。
动系：固连于Ｔ形板上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于Ｔ形板的速度。
牵连速度：Ｔ形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。
16
va?ve?vr
???ve?100mm/s va?ve100??200(mm/s)
cos6000.5veM600600vavrOvr?vasin600?200?0.866?173.2(mm/s)（相对于ＡＢ）
a??a?ae?a?r
a2e?a?120mm/s
aae1202a?cos600?0.5?240(mm/s) ar?aasin600?207.85(mm/s2)（相对于ＡＢ）
若取 动点：Ｍ。
动系：固连于方形板上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于方形板的速度。
牵连速度：方形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。 则：
v???a?ve?vr
销钉相对于ＣＤ滑槽（方形板）的速度：
200?OM??0?v相对于方形板
v相对于方形 板＝va?OM??０?200?100?1?100(mm/s)a????a?ae?ar?aC
a0C?2?0vrsin??2?1?100?sin90?200(mm/s2)
an?OM??2e0?100?12?100(mm/s2)
nv2ar?rOM?1002100?100(mm/s2)
17
aMe600600aaarOvMrve600vaOM600anranea?ar600aaCO aa?ae?ar?aC在aa方向上的投影为：
?????aa?a?r
a?(mm/s2) r?2402n2222ar?(a?)?(a)?240?100?260(mm/s) rr
[习题1-20] 已知点Ｍ在动坐标系x2O1y2平面内运动，其运动方程为x2?3t2?4t，
y2?4t2?2t，x2与x1（x1轴与x轴保持平行）的夹角??2t，点O1的运动规律为x1?3t，y1?4t?5t2。试用建立运动方程式及合成运动两种方法求点Ｍ的速度。
解：
方法一：建立运动方程法。
对于静坐标系而言，动点Ｍ的坐标为：
y2yyy1M(x2,y2)?x2x?x1?x2cos??y2sin?
x?3t?(3t2?4t)cos2t?(4t2?2t)sin2t
?y1OO1x1x1xxvx?dx?3?(6t?4)cos2t?2(3t2?4t)sin2t?(8t?2)sin2t?2(4t2?2t)cos2t dtvx?3?(4?10t?8t2)cos2t?(2?16t?6t2)sin2t
y?y1?x2sin??y2cos?
y?(4t?5t2)?(3t2?4t)sin2t?(4t2?2t)cos2t
vy?dy?(4?10t)?(6t?4)sin2t?2(3t2?4t)cos2t?(8t?2)cos2t?2(4t2?2t)sin2t dtvy?dy?4?10t?(4?10t?8t2)sin2t?(2?16t?6t2)cos2t dt方法二：合成运动法。 动点：Ｍ。 动系：x1O1y1 静系：xOy。
绝对速度：Ｍ相对于xOy坐标系的速度。
18
相对速度：Ｍ相对于x1O1y1坐标系的速度。
牵连速度：x1O1y1上与Ｍ相重点相对于xOy的速度。
va?ve?vr
牵连速度的水平分量：
???vex?dx1d?(3t)?3 dtdtdy1d?(4t?5t2)?4?10t dtdtyy1???M(x2,y2)?牵连速度的竖直分量：
y2yx2vey?Ｍ点相对于x1O1y1坐标的横坐标为：
xr1?x2cos??y2sin?
xr1?(3t2?4t)cos2t?(4t2?2t)sin2t
相对速度的水平分量为：
y1OO1x1x1xxvrx?vrx?dxr1?(6t?4)cos2t?2(3t2?4t)sin2t?(8t?2)sin2t?2(4t2?2t)cos2t dtdxr1?(4?10t?8t2)cos2t?(2?16t?6t2)sin2t dtＭ点速度的水平分量：
vx?vex?vrx
vx?3?(4?10t?8t2)cos2t?(2?16t?6t2)sin2t
Ｍ点相对于x1O1y1坐标的纵坐标为：
yr1?x2sin??y2cos?
yr1?(3t2?4t)sin2t?(4t2?2t)cos2t
相对速度的竖直分量为：
vry?dyr1?(6t?4)sin2t?2(3t2?4t)cos2t?(8t?2)cos2t?2(4t2?2t)sin2t dtvry?(4?10t?8t2)sin2t?(2?16t?6t2)cos2t
vy?vey?vry
Ｍ点速度的竖直分量：
19
vy?4?10t?(4?10t?8t2)sin2t?(2?16t?6t2)cos2t
[习题7-21] 板ＡＢＣＤ绕ｚ轴以ω＝０.５ｔ（其中ω以ｒａｄ／ｓ计，ｔ以ｓ计）的规律转动，小球Ｍ在半径ｒ＝１００ｍｍ的圆弧槽内相对于板按规律ｓ＝５０πｔ/3（ｓ以ｍｍ计，ｔ以ｓ计）运动，求ｔ＝２ｓ时，小球Ｍ的速度与加速度。 解： 动点：Ｍ。
动系：固连于板ABCD上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于板ABCD的速度。
牵连速度：板ABCD上与Ｍ相重点相对于地面的速度。
v??a?ve?v?r
??s50?t?r?3?100?t6 小球绕CD中点在圆弧槽滑动的角速度为：
?d?1?dt??6(rad/s) vr?r?1?100??6?50?3(mm/s) ?(2)???26??3
v?e????(r?rsin6)?
?100?(1?0.866)?0.5?2?13.4(mm/s)
v2a?(v2e)?(vr)2?13.4?52.32?54(mm/s)
cos??vev?13.454?0.2481，(ve,va)???75.630。
aa?a?a???e?ar?aC
20
vzavrveMyxzv?ra?300eanr?aran300eMyaCx
aC?2?vrsin??2?(0.5?2)?nr50?3.14?sin300?52.3(mm/s2) 3vr252.32ar?a???27.39(mm/s2)
r100?ae?(r?rsin600)?d??100?(1?0.866)?0.5?6.7(mm/s2) dtnae?(r?rsin600)??2?100?(1?0.866)?(0.5?2)2?13.4(mm/s2)
?aax?aC?ae?52.3?6.7?45.6(mm/s2)
naay?arcos300?ae?27.39?0.866?13.4?10.32(mm/s2)
aaz?arsin300?27.39?0.5?13.7(mm/s2)
aa?(aax)2?(aay)2?(aaz)2?45.62?10.322?13.72?48.72(mm/s2)
??arccosaax45.6?arccos?20.620 aa48.72aay10.32??arccos?arccos?77.770
aa48.72??arccosaaz13.7?arccos?73..670 aa48.72[习题7-22] 半径为ｒ的空心圆环刚连在ＡＢ轴上，ＡＢ的轴线在圆环轴线平面内。圆环内充满液体，并依箭头方向以匀相对速度ｕ在环内流动。ＡＢ轴作顺时针方向转动（从Ａ向Ｂ看），其转动的角速度ω为常数，求Ｍ点处液体分子的绝对加速度。 解： 动点：Ｍ。
动系：固连于空心圆环上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于空心圆环的速度。
牵连速度：空心圆环上与Ｍ相重点相对于地面的速度。
aa?ae?ar?aC
????aC?2?vrsin??2?vsin1200?3?v
21
zar?arn?nev r022vr3003005r?2a?(2r?rsin30)???
2Maax?aC?3?v
aay??arcos300??0ne?nae?aeyarn?ar3v 2r2xaCv25r?2aaz??arsin30?a???
2r2aa?(aax)2?(aay)2?(aaz)2
3v22v25r?22?(3?v)?(?)?(??)
2r2r223v41v2?3?v?2?(?5r?2)2
4r4raayaaxa??arccos； ??arccos； ??arccosaz。
aaaaaa222[习题7-23] 瓦特离心调速器在某瞬时以角速度??0.5?rad/s、角加速度??1rad/s绕其
铅直轴转动，与此同时悬挂重球Ａ，Ｂ的杆子以角速度?1?0.5?rad/s、角加速度使重球向外分开。设l?500mm，悬挂点间的距离2e?100mm，?1?0.4rad/s2绕悬挂点转动，
0调速器的张角??30，球的大小略去不计，作为质点看待，求重球Ａ的绝对速度和加速度。
解： 动点：Ａ。
动系：固连于瓦特离心器上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于瓦特离心器的速度。
牵连速度：瓦特离心器上与Ａ相重点相对于地面的速度。
va?ve?vr
???
22
vr?l?1?500?0.5?3.14?785(mm/s)
ve?(e?lsin300)??
?(50?500?0.5)?0.5?3.14?471(mm/s)
zvrva?ve2?vr2?4712?7852?915.5(mm/s) va300yMvax?ve?471(mm/s)
vay??vrcos300??785?0.866??679.81(mm/s) vaz?vrsin300?785?0.5?392.5(mm/s)
xvev471??arccosax?arccos?59.040
va915.5vay?679.81??arccos?arccos?137.950
va915.5z
a?r300600arny??arccos??aaz392.5?arcos?64.610。 aa915.5??aeMaenaCxaa?ae?ar?aC
?aC?2?vrsin??2?(0.5?3.14)?785?sin600?2134.6(mm/s2)
a?(mm/s2) r?l?1?500?0.4?200arn?l?12?500?(0.5?3.14)2?1232.45(mm/s2)
?ae?(e?lsin300)???(50?500?0.5)?1?300(mm/s2)
arn?(e?lsin300)??2?300?(0.5?3.14)2?739.47(mm/s2)
?aax?ae?aC?200?2134.6?2334.6(mm/s2)
0aay?arncos600?a?.45?0.5?200?0.866?443.025(mm/s2) rcos30?12320aaz?arnsin600?a?.45?0.866?200?0.5?1167.3017(mm/s2) rsin30?1232aa?(aax)2?(aay)2?(aaz)2?2334.62?443.0252?1167.30172?2647.5(mm/s2)
??arccosaax2334.6?arccos?28.140 aa2647.5 23
??arccosaay443.025?arccos?80.370 aa2647.5??arccosaaz1167.3017?arccos?63.840 aa2647.5'[习题7-24] 套筒Ｍ套在杆ＯＡ上，以x?30?200sin?2t沿杆轴线运动，x'以mm计，t以s计。杆ＯＡ绕Oz轴以n?60r/min的转速转动，并与Oz轴的夹角保持为300。求t?1s时，Ｍ的速度及加速度。 解： 动点：M。
动系：固连于ＯＡ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：M相对于地面的速度。 相对速度：M相对于ＯＡ的速度。
x300zzvrAMveynM300Ox'牵连速度：ＯＡ上与M相重点相对于地面的速度。
va?ve?vr vr?d'd????(x)?(30?200sint)?(200cost)??100?cost dtdt2222???vr(1)?100?cos?2?0
ve?(x'sin300)?2?n?2??60?{[30?200sin(?1)]?0.5}??722.2(mm/s) 60260va?ve?722.2(mm/s)
aa?ae?ar?aC
????z
araC?2?vrsin??2?(2?3.14)?0?sin300?0 vr?100?cosaCy?2t
ane300?aeMar?100?(?sin?2t)??2??50?2sin?2t
x 24
ar(1)??50?2sin(?ae?0
?2?1)??50?2??492.98(mm/s2)
z
araen?{[30?200sin(?2?1)]?0.5}?(2?)2
aen300yM?115?(2?3.14)2?4535.416(mm/s2) aax?0
xnaay?arsin300?ae??492.98?0.5?4535.416??4781.906(mm/s2)
aaz?arcos300??492.98?0.5??246.49(mm/s2)
aa?(aax)2?(aay)2?(aaz)2?02?(?4781.906)2?(?246.49)2?4788.25(mm/s2)
??arccosaax0?arccos?900 aa4788.25aay?4781.906??arccos?arccos?177.050
aa4788.25??arccos
aaz?246.49?arccos?92.950 aa4788.25 25